九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案。

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案

一、知识要点：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有的实数根；方程有的实数根；方程无实数根。

2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。

（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

二、典例精析：

一元二次方程根的判别式

[基础知识]

例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情况。

[跟踪练习]

1、不解方程判断下列方程的根的情况

（1）2x2+3x-4=0（2）3x2+x+5=0（4）7x2+(m+5)x+m-6=0

例2、若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。

[跟踪练习]

已知关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据下列条件求实数m的取值范围：

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；

（3）有两个实数根；

（4）没有实数根；

（5）有实数根。

[拓展研究]

例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。

[跟踪练习]

已知关于x的方程有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）化简。

例4、已知a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABC的形状。

例5、已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。

同步练习：（中考链接）

1、（2009上海金山）下列一元二次方程没有实数解的是（）

A、x2-2x-1=0B、(x-1)(x-3)=0C、x2-2=0D、x2+x+1=0

2、（2008四川）已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（）

A、-2B、-1C、0D、1

3、（2009北京石景山）若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是。

4、（2008天津）已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是。

5、（2008浙江宁波）已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0

（1）当m取何值时，方程有两个实数根；

（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。

一元二次方程根与系数的关系

例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。

（1）x1+x2（2）x1x2（3）x12+x22（4）（5）|x1-x2|

[跟踪练习]

若方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β=，②αβ=，③α2+β2=，④=，⑤（α-1）（β-1）=。

例2、已知方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。

[跟踪练习]

已知一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为，则另一个根是，且m=。

例3、已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。

[跟踪练习]

1、（2007重庆市）已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足，求m的值。

2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。

例4、已知一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。

[跟踪练习]

已知一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。

例5、（2006青岛市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，则αβ+α+β的值为。

同步练习：

1、（2009兰州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值为。

2、（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k的值是。

3、（2007锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则（α-1）（β-1）的值等于。

4、已知是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是。

5、若方程组的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是。

6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。

（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。

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一元二次方程根的判别式教案

为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，准备教案课件的时刻到来了。在写好了教案课件计划后，新的工作才会如鱼得水！你们知道哪些教案课件的范文呢？以下是小编为大家收集的“一元二次方程根的判别式教案”但愿对您的学习工作带来帮助。

2.3一元二次方程根的判别式
教学目标
【知识与技能】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【过程与方法】
经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
【情感态度】
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.
【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
教学过程
一、情景导入，初步认知
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.
【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.
二、思考探究，获取新知
1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？
2.观察求根公式回答下列问题：
（1）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
3.综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b2-4ac来判断的.
【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac
⑴当Δ=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，.
⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根.
⑶当Δ=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
4.不解方程判定下列方程的根的情况.
(1)3x2+4x-3=0
(2)4x2=12x-9
(3)7y=5(y2+1)
解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×（-3）
=520
所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2）将原方程化为一般形式，得
4x2-12x+9=0
因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9
=0
所以，原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0
因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5
=-510
所以，原方程没有实数根.
【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.
三、运用新知，深化理解
1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是．
【答案】p2-4q=0
2.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为.
【答案】-1，-6
3.判断下列方程是否有解：
（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0
解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根
解：（1）有（2）没有
4.不解方程，判定方程根的情况.
（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-1280
所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=170
∴方程有两个不相等的实根．
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=1210
∴方程有两个不相等的实根．
5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80
∴a-2
∵ax+30即ax-3,∴x-3/a
∴所求不等式的解集为x-3/a
6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根.
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.
解：（1）∵当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程无实数根.
（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.
∴x1=1，x2=-3.
7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；
（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，
即q=-2p-5；
（2）证明：令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，
所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.
教学反思
本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！

中考数学一元二次方程根的判别式复习

教案课件是老师工作中的一部分，大家应该开始写教案课件了。将教案课件的工作计划制定好，才能使接下来的工作更加有序！那么到底适合教案课件的范文有哪些？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“中考数学一元二次方程根的判别式复习”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

初三第一轮复习第9课时：

一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系

【课前预习】

（一）知识梳理

1、一元二次方程根的一般形式：；

它的根的判别式△=，利用△判断一元二次方程根的情况.

2、韦达定理（一元二次方程根与系数关系）及其逆定理：

（二）课前预习

1.方程化为一般形式为______，其中=____，=____，=____．

2.关于的一元二次方程有一个根为零，则的值等于_____．

3.关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=－2，则分解因式的结果是______．

【解题指导】

例1是什么数时，关于的一元二次方程：

（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？

例2如果关于的一元二次方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况.

例3当为何值时，关于的方程；

（1）有两个正数根？（2）有一个正根，一个负跟？

例4若的两根分别为、，则：

【巩固练习】

1、已知关于的方程的一个根为，则实数的值为.

2、设、是方程的两根，则的值是.

3、关于的方程中，如果，那么根的情况是.

4、若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．

5、为何值时，关于的方程有实数根.

6、已知是一元二次方程的两个实数根.

（1）取什么实数时，方程有两个相等的实数根；

（2）是否存在实数，使方程的两根，满足？若存在，求出方程的两根；若不存在，请说明理由.

【课后作业】班级姓名

一、必做题:

1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）

A.B.且C.D.且

2、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是()．

A．－4B．－1C．1D．0

3、下列方程中，有两个不相等实数根的是（）．

A．B．C．D．

4、若方程的两根为、，则的值为()

A．3B．－3C．D．

5、若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

6、如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么．

7、关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是.

8、一元二次方程的一个根为，则另一个根为．

9、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是．

10、已知：关于的方程

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．

11、已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.

12、已知关于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

二、选做题：

1、若a、b为方程式x24(x1)=1的两根，且a＞b，则=（）

A．－5B．－4C．1D.3

2、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

3、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）

A．1B．12C．13D．25

4、关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）

A．B．C．D．或

5、设是方程的两个实数根，则的值为（）

A．2006B．2007C．2008D．2009

6、已知是方程的两个实数根，且．

（1）求及a的值；（2）求的值．