第22章《相似三角形》知识点整理。

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第22章《相似三角形》知识点整理

本章有以下几个主要内容：

一、比例线段

1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项----黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质

（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a,b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果线段a,b的比等于线段c,d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段。

（3）比例中项:如果a：b=b:c,那么b叫做a,c的比例中项

（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形

宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质

基本性质：内项积等于外项积。（比例=====等积）。主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定

平行线等分线段------平行线分线段成比例--------平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例------（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似------相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质

1、定义：相似三角形对应角相等

对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比

3、相似三角形周长的比等于相似比

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方

四、图形的位似变换

1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换

----2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

----3、位似变换：两个图形不但相似，而且对应点连线过同一点的相似变换叫做位似变换。这两个图形叫做位似图形。

4、位似变换可把图形放大或者缩小。

5、外位似（同向位似图形）位似中心在对应点连线外的位似叫外位似。这两个图形叫同向位似图形。

内位似（反向位似图形）位似中心在对应点连线上的位似叫内位似。这两个图形叫反向位似图形。

6、以原点为位似中心，相似比为k，原图形上点的坐标（x,y）则同向位似变换后对称点的坐标为(kx,ky)

以原点为位似中心，相似比为k，原图形上点的坐标（x,y）反向位似变换后对称点的坐标为(-kx,-ky)

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相似三角形

第四章相似图形
5．相似三角形
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
在七年级的学习中,学生通过观察、测量、画图、拼摆等数学活动,体会了全等三角形中“对应关系”的重要作用。上一节课“相似多边形”的学习，使学生在探索相似形本质特征的过程中，发展了有条理地思考与表达,归纳，反思，交流等能力。
学生活动经验基础：
上述学习经历为学生继续探究“相似三角形”积累了丰富的活动经验和知识基础。

二、教学任务分析
（一）教材的地位和作用分析:
.《相似三角形》在本章中承上启下,
.体现了从一般到特殊的数学思想；
.是学生今后学习的基础;
.是解决生活中许多实际问题的常用数学模型.
即相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习探索三角形相似的条件、三角函数及与此有关的比例线段等知识打下良好的基础。
（二）教学重点：
相似三角形定义的理解和认识。
（三）教学难点：
1..相似三角形的定义所揭示的本质属性的理解和应用；
2..例2后想一想中“渗透三角形相似与平行的内在联系”是本节课的第二个难点。
（四）教法与学法分析:
本节课将借助生活实际和图形变换创设宽松的学习环境；并利用多媒体手段辅助教学,直观、形象,体现数学的趣味性。
学生则通过观察类比、动手实践、自主探索、合作交流的学习方式完成本节课的学习。
（五）教法建议
1.从知识的逻辑体系出发，在知识的引入时可考虑先复习相似形的概念，在探索归纳给出相似三角形的概念
2.在知识的引入上，可以从生活实例的角度出发，在生活中找几个相似三角形的例子，在此基础上给出相似三角形的概念
3.在知识的引入上，还可以从知识的建构模式入手，给出几组图形，告诉学生这几组图形都是相似三角形，由学生研究这些图形的边角关系，从而得到对相似三角形的本质认识
4.在相似三角形概念的巩固中，应注意反例的作用，要适当给出或由学生举出不是相似三角形的例子来加深对概念的理解
5.在概念的理解过程中，要注意给出不同层次的图形，要求学生从中找出相似三角形，既增加学生的参与又加深学生对概念的理解
6.在本节内容中对应边及对应角的寻找学生常常出现混淆，教师在教学过程中可设计由浅入深的一系列题组由学生寻找其中的对应边或对应角，并说明根据，有利于知识的掌握
（六）教学目标分析:
通过一些具体问题的情境设置、观察类比、动手操作；让学生积极思考、充分参与、合作探究；深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
教学目标：
1知识与技能
(1).掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似。
(2).能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力。
2过程与方法
(1).领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。
(2).经过本节的学习，培养学生通过类比得到新知识的能力，掌握相似三角形
的定义及表示法，会运用相似比解决相似三角形的边长问题。
3情感态度与价值观
(1).经历相似多边形有关概念的类比，渗透类比的数学思想，并领会特殊与
一般的关系。
(2).深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。

三、教学过程分析
本节课共设计了五个环节:1情景引入归纳定义
2运用定义解决问题
3加深理解探索规律
4回顾反思课堂小结
5.布置作业

第一环节情景引入归纳定义
活动内容：回顾与思考(教师展示课件并设问，学生观察类比、自主探索归纳相似三角形的定义)
1.上节课我们学习了相似多边形的定义及记法,请同学们观察下列图形，并指出哪些图形相似？相似图形的对应边、对应角有什么关系？

2.请问相似三角形是相似多边形吗？请同学们回忆一下什么叫相似多边形？
3.那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗？
4.相似三角形的定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similartrangles）
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF
注意：表示两个三角形相似时，要向表示全等
三角形那样把对应顶点写在对应的位置上。
活动目的：通过对旧知识的回顾、经历与相似多边形有关概念的类比，培养学生通过类比探索得到新知识的能力，进而掌握相似三角形的定义及表示法。
活动实际效果：学生的学习热情非常高，轻而易举就归纳出相似三角形的定义，且较好地掌握了相似三角形的表示法。

第二环节：运用定义解决问题
活动内容：想一想议一议例1例2
1.想一想(展示课件，教师引导、学生自主探索并归纳出相似三角形的性质）
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？
对应边呢？
解：∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.
是对应角
AB与DEAC与DFBC与EF
是对应边
∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
=.=
相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2.议一议（展示课件，让学生动手画一画、量一量、算一算，并小组讨论，选代表说明理由）
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
如图，虽然都是直角三角形，
但也只能确定有一对角即直角相等，
其他的两对角可能相等，也可能不相等，
对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似
.如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB=b
DF=EF=a，DE=a
===1
所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）如图,两个等腰三角形不一定相似.
如图：因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，
但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似
如图：两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，
因此这两个等边三角形一定有对应角相等、
对应边成比例，所以它们一定相似
.例1例2（展示课件，教师引导分析、学生自主探索，培养学生应用知识解决问题的能力）
3.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度.
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，
它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是xcm，
那么=
则x=3.5×400=1400（cm）=14（m）
所以，草坪其他两边的实际长度都是14m.
4.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,
∠ACB=400，求
（1）∠AED和∠ADE的度数。
（2）DE的长.
解：（1）因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等，得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中，
∠AED+∠ADE+∠A=180°
即40°+∠ADE+45°=180°,
所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.
（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得
=即=

所以DE==43.75(cm)
活动目的：让学生动手画一画、量一量、算一算得出两个三角形之间的是否相似？有什么关系？进而考察学生的自主学习情况（包括独立思考能力）和小组间的互助情况。
活动实际效果：学生普遍对教材的内容能够较好地掌握，但对知识的延伸和拓展，由于教材缺乏相关内容，学生的思维无法独立产生飞跃，所以需要教师备课时先做好延伸的准备，即备好相关的内容。这样，教学时学生就犹如享受知识的大餐，使之心理上产生愉悦，进而较好地掌握知识。

第三环节加深理解探索规律
活动内容：想一想合作探究巩固练习（展示课件，教师引导、学生合作探究，寻找解决问题的规律）
1.想一想
在例2的条件下，图4-16中有哪些线段成比例？
解：成比例线段有=
△ABC∽△ADE
===
=即=
图中有互相平行的线段，即DE∥BC.因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠B.由平行线的判定方法知DE∥BC.
2.合作探究
1.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.

（第1题）
解：在（1）中
ABO∽CDO
=
x=32
在（2）中，由两三角形相似可知：对应角相等，对应边成比例.所以，
n=55，m=80,y=
2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB=5cm，(1)求△A′B′C′斜边A′B′的长，(2)求△A′B′C′斜边A′B′上的高。
解：(1)如图所示，因为△ABC∽△A′B′C′，
A′且相似比为3∶1.
所以=.即=
A′B′=（cm）D
(2)C′D′=A′B′=（cm）
3.巩固练习:略
活动目的：加深对相似三角形概念和性质的理解，发展学生的应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
活动实际效果：大部分学生普遍掌握较好，只是个别学生思维能力和计算能力较慢，没有时间等待他们探索出给论，这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，应用新知解决问题能力也较差，今后要注意给每一个学生留有足够的时间和空间，使不同的学生有不同的发展。

第四环节回顾反思课堂小结
活动内容：1.这一节课你学到了什么？有什么收获？
2.

3.相似三角形的判定方法——定义法
活动目的：培养学生的归纳总结能力，加深对知识的理解和应用能力。
活动实际效果：通过小结发现每个学生都在积极思索这节课的内容，并能正确回答出相似三角形的定义、性质、以及它的表示法。

第五环节布置作业
活动内容：习题4.61、2

四、教学反思
《相似三角形》是在学生已经学习了《相似多边形》后学习的内容。其主要教学目标是让学生在通过类比、探究的过程中，获得三角形相似的概念；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了教学目标。
在这节课中，我认为有以下几点感受较好：
1、这一节课通过情景创设，引入新知较恰当，切合实际。这样引入能很好的使学生体验温故而知新的道理，从而调动学生探索新知的兴趣和学习的积极性。
2、这节课较多的给学生提供自主学习，自主操作、自主活动的机会。不论是回顾旧知，还是探究新知，都是教师引导，学生自主探索。体现了学生是数学学习的主人的新理念。
3、在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力。比如对特殊三角形，提出这两个三角形有什么关系？理由是什么？对任意两个三角形，老师请学生量一量、算一算，结果都是由学生自己操作、判断得出。体现了教师是数学学习的组织者、引导者和合作者的新理念。
这节课感到遗憾的是有些学生操作计算速度慢，没有时间等待他们探索出给论。这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，不能更好应用新知解决问题，今后要加强注意给每个学生留有足够的时间和空间去思维，并且对不同的学生教师应提出不同的问题，使不同的学生得到不同的发展，进而使每个同学都得到应有的发展。

相似三角形的条件

第四章相似图形
6.探索三角形相似的条件（二）
一、学生知识状况分析
学生知识技能基础：
学生的知识技能基础：学生在七年级下册第五章《三角形》里，已学习过三角形的基础知识掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了线段的比，黄金分割，形状相同的图形，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念；现已具有了初步的平面图形知识，本节课是要在以前学习的基础上加深相似三角形部分的知识。本节知识的难点在于对两个相似三角形相似上的判定，本节课需要在上一节课的基础上增加“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两条判定定理，在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论、总结，教师参与讨论并最后点评总结的方法。
学生活动经验基础：
学生在上节课学习的基础上，进一步探索相似三角形的条件，已经有一定的探索经验；因此，本课时对学生来说，难度不是很大，关键是老师要用正确的方法，启发学生进行探索，做到师生互动，教师参加学生讨论并充分调动学生的学习积极性。使学生能充分的理解和掌握三角形的相似的判定方法，并能结合本节知识点，进行一些问题的解决，以巩固所学知识的运用。

二、教学任务分析
在复习上一节课所学的判定方法的基础上进一步学习三角形相似的条件，增加“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两条判定定理，并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理；使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件和性质来判定两个三角形的相似，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象和增加解决问题的能力。
教学内容：三角形相似的条件（2）

教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
2、过程与方法：以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景，师生互动，从而达到掌握相似三角形判定的方法的目的。
3、情感与价值观要求
（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点
掌握相似三角形的两个判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
教学难点
理解和应用相似三角形判定，“三边对应成比例的两个三角形相似”这条判定定理的教学难点在于使学生明白对应边的比必须相等；而“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这条判定定理的教学难点在于向学生强调相等的角必须是在两条成比例的线段之间。
教学关键
正确地把握几何图形的结构和特点
教学方法：探索发现归纳法
教具准备：教师：多媒体课件。
学生：自制相似三角形

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：课前准备——自制相似三角形；第二环节：情景引入、合作探讨；第三环节：教师点睛；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结。

第一环节：课前准备
活动内容：自制相似三角形（提前一天布置）；
以四人为一个活动小组，制作相似三角形；
活动目的：通过学生自制相似三角形，希望学生从活动中了解怎样的情况下能制作出一组相似的三角形；从而让学生复习上一节课学习过的相似三角形的判定定理：“:如果一个三角形的两个角与另一个三形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。”；并让学生自主探索三角形相似的其他定理，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
活动效果：
学生通过自主制作相似三角形，发现通过“:如果一个三角形的两个角与另一个三形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。”来制作相似三角形时，有一个角相同的两个三角形不一定相似；有两个角相同和三个角相同是一样的；在探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”时学生发现：如果相等的不是夹角，那么这两个三角形不一定相似。

第二环节：情景引入、合作探讨
活动内容：各个小组派代表展示制作的相似三角形，并说明在制作相似三角形时所探索出的相似三角形的有关信息
活动目的：给学生一个表现自己的舞台，增强学生的自信心；将学习空间还给学生，让学生在相互合作的过程中发现知识，掌握知识。
活动效果：在一个开放的环境下展示、讲解亲自搜集到的相似三角形全等的判定，学生们以这样的方式，以自己的思维引入；而且引入的过程是学生们自己探索的过程，使用的结论是学生自己探索的结果；就让学生对学习有很高的兴趣，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,同时培养了学生们的合作交流精神和语言表达能力。

第三环节：教师点睛
活动内容：
学生根据小组制作的相似三角形的图形及在制作相似三角形中的“发现”进行相互交
流，教师给予适当的帮助，在学生探索的基础上进行教学提高：
[师]我们上一节课学过什么定理?
师生共同回忆并得出答案，我们上节课学习了三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。
[师](演示课件)
[师]提出问题;是否有△ABC∽△ABC？
(1)让学生通过探索比较两个三角形对应三个角的大小然后得出结论:
1
2
∴△ABC∽△ABC
所以通过发现归纳总结有下面的结论
判定定理2：三条边对应成比例的两个三角形相似。
[师]（演示课件）让学生观察幻灯片然后提出问题：两个三角形两边对应成比例且夹角相等,它们是否相似?
判定定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

判断：已知△ABC和△A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似？

1、[师]（演示课件）如图：△ABC与△ABC相似吗？你有哪些判断方法？

其中，第四种不成立。

活动目的：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。特别是在“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这条判定定理的教学中要向学生强调相等的角必须是在两条成比例的线段之间
活动效果：通过学生活动后教师的点睛之笔般的教学，学生对三角形相似的判定有了系统的了解，通过学生自己的探索和教师对知识的系统教学，在学生思维中自己探索而获得的知识重叠，进而加深了记忆。

第四环节：练习提高
活动内容：
1、课本123页随堂练习第1题
2、一个三角形三边长分别为BC=4㎝，AB=6㎝，AC=7㎝，另一个三角形三边长分别为BC=2㎝，AB=3㎝，AC=3.5㎝，这两个三角形相似吗？
活动目的：通过练习，巩固对本节知识的理解；并让学生将上一节课：相似三角形的判定1，与本课知识：相似三角形的判定2、3的内容系统的掌握。
活动效果：学生基本都能对两个三角形是否还是相似作出正确的判断并在“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这条判定定理中学生理解了相等的角必须是在两条成比例的线段之间这个重点和难点。

第五环节：课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课学习的两个三角形相似的判别方法：
1、三条边对应成比例的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
综合上一节课学习过三角形相似的判定方法，得到如下的关系图：

布置作业：课本125页习题4.8第1题、第2题

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习及课前的相似三角形的制作过程，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
活动效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：相似三角形进行判断的三种方法；特别是在运用相似三角形判定3“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判断三角形相似中，需注意：相等的角必须是在两条成比例的线段之间的角！

四、教学反思
1、教师要给予学生自主探索三角形相似条件的时间，同时要为学生提供表现自我的舞台；让学生在探索中自己总结、提高；当然，教师需要进行点睛般的教学。
（1）本课时我们共同学习探索了三角形相似的第二个条件，即：两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似；由于学生有了上一节课的基础，因此，大部分学生能够正确理解和掌握。
（2）三角形相似的第二个条件，由于要用到三角形的边、角，部分学生容易忽略条件的要求，即：“两边且夹角”，老师务必在学生学习时加以强调，避免出现“两边且对角”的错误。
2、注意改进的内容：
在教师总结性的教学之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让思维活跃的部分学生的回答代替其他学生的思考；教师应该对小组讨论给予指导，并参与学生小组的讨论，对部分思维不活跃的学生要启发性的提出一些问题，帮助学生思考。

相似三角形的应用

作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家在认真写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，就可以在接下来的工作有一个明确目标！有多少经典范文是适合教案课件呢？以下是小编收集整理的“相似三角形的应用”，但愿对您的学习工作带来帮助。

29.8相似三角形的应用

一、教材分析：

教学背景分析教学内容本节主要探索的是应用相似三角形的识别、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）。

学情分析学生已经学过了相似三角形的概念、识别及性质，在次基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。

教

学

目

标知识目标1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。

2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。

能力目标1、全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方

法去分析、解决实际问题的能力。

2、通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力。

情感目标1、通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦。

2、力求培养学生科学，正确的数学观，体现探索精神。

教学

重点

难点教学重点1、引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。

2、面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。

教学难点通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。

教学策略针对以上教学难点、重点的分析，本节课将应用启发式教学与探究式教学相结合来展开分解难点、突出重点。始终体现以学生自主学习及合作交流为主的新课程理念，从学生的经验、生活实际出发，创设情景，引导学生去发现、分析、解决问题。

教学关键在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。

二、教学流程：

流程内容呈现师生活动意图设计

一、

创

设

情

景

激

发

兴

趣

⑴创设情景：

师：（出示图片）著名的科学家阿基米德曾讲过如果给我一个支点我可以撬起整个地球。我们真佩服伟人的大气，其实这个杠杆图中有着一个数学知识，而且这个知识在生活中很常见。

生：观察图片，听教师讲述。

⒈通过图片的展示及教师的娓娓讲述一开始就把学生的视觉、听觉深深的吸引牢了。

2、杠杆原理图中就隐藏着相似三角形的模型，因此可以自然的引出有关的实际问题。

3、选择学生熟知的生活情景引入，激发兴趣，产生“要学习”的欲望。

二、

授

人

以

鱼，

给

出

模

型

⑴如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高m?

⑵小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)

师：给出两个小题，要求学生独立完成，完成后思考两题在解题过程中有何异同？

生：独立完成，并思考异同点。

由学生来讲解过程，并分析异同点。

师：两题都是通过构建相似三角形模型来解决的。

目的在于既可对相似三角形的识别与性质进行有效的复习,又可让学生形成初步应用相似三角形知识来解决实际问题的意识。

流程内容呈现师生活动意图设计

三、

抽

象

模

型，

感

受

过

程感受建模过程：

小结：

在解决次类实际问题时，可构建相似三角形的模型，再利用对应边成比例建立等式，已知三个量去求第四个量。

师：教师利用电脑课件演示抽模过程。

生：去直观感受过程，留下印象，形成经验。

要想很好的解决实际问题就必须转化为数学问题。具体的就是构建数学模型。本题我先借助电脑来抽象模型让学生感受过程，即授人于鱼。在培养学习兴趣，逐步展开思维的同时，使学生形成将生活问题数学化意识。

四、

授

人

于

渔，

动

手

实

践

之

一

1、同学们，若有一瓶牛奶，喝了一部分，如何来测量出剩余牛奶液面的高度呢？

2、若小明在测量时，将木棒一不小心滑到了底面的D处，那又该如何测量呢？

3、如果木棒底端在瓶底上的任意处，是否都可测量呢？

4、在测量和计算时应注意什么？

师：创设一个有趣的情景给学生，同时，给出实践的目标。这三个问题是呈现递进关系的。并能充分的应用到相似三角形的知识。

生：以同桌合作的形式动手操作（课前已让学生准备好易拉罐、筷子、刻度尺），在操作中进行探索和思考。

教师来回巡视，观察学生操作进程，然后由学生上讲台来讲解过程。

师：需测量那几个量？测量时应注意什么？

小结：

在构建好模型后，成比例的四个量中，必须想方设法测出三个量才能解的第四个量。1、本题是一道操作性强，且是半开放题型，是在前面“授人于鱼”基础上，让学生合作探索以达到“授人于渔”的效果，三个问题层层递进，直至最后规律的得出：无论木棒底端放在那里，都可以通过建立相似三角形模型来测量。

2、充分培养了学生的动手实践能力及数学建模思想。

流程内容呈现师生活动意图设计

五、

延

伸

拓

展，

动

手

实

践

之

二

利用所给的工具如何测量零件的内径呢？

师：亮出题目，讲清任务。

生：四人一组进行动手操作，寻求解决问题的方法。

最后，由学生来讲解解决方法的过程。教师与其他同学再补充。

如果前面一题侧重的于对“A”字形相似三角形的应用，那么这一题更侧重于对“X”字形相似三角形的应用。两题相互补充。完善了学生的知识结构。

六、

悟

其

渔

识，

设

计

方

案

教师简单的介绍一下由于金字塔经过几千年的风化，高度下降了，所以要重新测量。

如果给你一根2米高木棒，一把皮尺，一面平面镜。同学们，你能利用所学知识选择适当的工具来测出塔高吗？（自主设计方案）

内容呈现

师：娓娓讲述题目，并对题目作简单的解释。

生：四人一组进行合作探索。

师：教师下讲台与学生一起交流，并汇总方案。

由学生来讲解设计的步骤，并讲清需要测量那些量及在测量时应注意什么？

师生活动1、本题是一道完全开放的题目，可以让他们的思想插上翅膀，能培养学生的创新意识与探索精神。

2、单凭自己的力量是不够的，遇到困难自然想到要合作，这样可以培养学生的合作交流意识。

3、这是本课的最高境界——悟其渔识。在前面得到“鱼”，又学会了“渔”的基础与过程中，悟出了真正的“渔识”，全面引导学生进行开创性的思考和探索

预测说明

七、

1、学生可能首先想到方案一

当方案一应注意的是木棒影子的顶端F应该在金字塔影子的外面。

2、测量时，应让木棒顶端影子与金字塔顶端的影子相互重合于A点。

3、测量BC时

应该测量人的目高。

4、抽象出的两个基本模型。

八、

聆

听

学

生

心

声

课堂聚焦：

通过本堂课的探索,你学会了什么?

有何收获?（最想说的一句话是什么？）

在学生回答的基础上，教师最后指出：

1、本课重点是把实际问题转化为数学问题，即构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题。（当物体的高度和长度不能直接测量时）

2、数学思想：转化思想、建模思想。

师：同学们可以先在小组内交流一下心得。

生：畅所欲言，表达心声。

1、体现以学生为本的真正理念。

2、聆听学生心声，随时反思和总结。

3、学生的心理素质和提高表达能力。

九、

作

业布置

1、完成课本的练习及作业本的练习。

2、课后，同学们可以去设计一些方案来测量学校的旗杆、树木。

完成作业可以很好的对本课的知识进行有效的巩固和加深。

课本的练习和作业本的练习注重的纯理论的，而第二个作业则注重培养学生的动手实践能力。