九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理。

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九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理

第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=;cosA=;tanA=;
2．特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
4．三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2．依据：①边的关系：初中数学复习提纲
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1．初中数学复习提纲俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）

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初三下册数学《解直角三角形》知识点整理

初三下册数学《解直角三角形》知识点整理

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解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即
sinA=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即
cosA=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即
tanA=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即
aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900;(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系
2
注意:锐角三角函数的定义应明确
(1)ca，
cb
，ba
，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tanacota=1(3)
商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，
如1cottan,1223030cossin22，而1cossin22就不一定成立。(4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。(三)余角的函数关系式任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它
3
的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即sinA=cos(90°-A)cosA=sin(90°-A)tanA=cot(90°-A)cotA=tan(90°-A)注意：此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，其主要作用就是改变函数名称。(四)特殊角的三角函数值
0030045060090°sinα02122231cosαα12322210tanα03313不存在cotα不存在31330(五)三角函数值的变化规律及范围1.当角度在0°~90°之间变化时：正弦值岁角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大);正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余切值随角度的增大(或减小)而减小(或增大);2、当0°≤a≤90°时，0≤sina≤1，0≤cona≤1，

中考数学解直角三角形复习

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初三第一轮复习第34课时：解直角三角形

【知识梳理】

1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余；(2)边的关系:勾股定理；(3)边角关系:锐角三角函数

2.解直角三角形的基本类型及解法：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．

3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

【课前预习】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量：

abc∠A∠B

630°

1045°

2、如图所示，在△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB=.

变式：若已知AB，如何求AC？

3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，则大楼高约m.

（精确到1m，）

4、如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3米，路基高为4米，

则坡角=°，腰AD=,路基的下底CD=．

5、如图所示，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地m.

【解题指导】

例1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB.

（1）求tanB；（2）若DE=1，求CE的长.

例2如图34-4所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

（2）若新楼的影子刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少米？

（结果保留整数，参考数据：）

例3某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图34-6所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比，求树高AB.（结果保留整数，参考数据）

例4一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.

【巩固练习】

1、某坡面的坡度为1:，则坡角是_______度．

2、已知一斜坡的坡度为1:4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为．

3、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于．

4、菱形在平面直角坐标系中的位置如图2所示,,则点的坐标为．

5、如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为.

6、如图,一巡逻艇航行至海面处时,得知其正北方向上处一渔船发生故障.已知港口处在处的北偏西方向上,距处20海里;处在A处的北偏东方向上,求之间的距离(结果精确到0.1海里)

【课后作业】班级姓名

一、必做题：

1、如图4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为cm.

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为米,则这个坡面的坡度为__________.

3、已知如图5,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为_____.

4、如图6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为.

5、如图7所示，在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）

(A)(B)(C)(D)

6、如图8，小明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，米，则岛B到公路l的距离为（）米．

(A)25(B)(C)(D)

7、如图9所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．

(A)30海里(B)40海里(C)50海里(D)60海里

8、如图10，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）

(A)(B)(C)(D)

9、如图11，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

10、如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.(1)求半径OD；(2)根据需要,水面要以每小时0.5m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？

11、如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：，）

12、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．

二、选做题：

13、如图,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动,距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.⑴B处是否会受到台风的影响？请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货物？

14、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

九年级数学下册《解直角三角形》教案

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九年级数学下册《解直角三角形》教案

一、教学目标

1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

二、教学重点、难点

1．重点：直角三角形的解法．

2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

三、教学步骤

(一)复习引入

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

解直角三角形教案(1)边角之间关系

解直角三角形教案

解直角三角形教案

如果用解直角三角形教案表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

解直角三角形教案

(2)三边之间关系

a2+b2=c2(勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

（二）教学过程

1．我们已掌握RtABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．

3．例题

例1在ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=解直角三角形教案，a=解直角三角形教案，解这个三角形．

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

解tanA=解直角三角形教案=解直角三角形教案=解直角三角形教案∴解直角三角形教案∴解直角三角形教案∴C=2b=解直角三角形教案

例2在RtABC中，∠B=35，b=20，解这个三角形．

引导学生思考分析完成后，让学生独立完成

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．

解直角三角形教案解直角三角形教案解直角三角形教案

解直角三角形教案

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底

4．巩固练习P91

说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．

(四)总结与扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．解直角三角形教案

2．出示图表，请学生完成

a

b

c

A

B

1

√

√

解直角三角形教案

解直角三角形教案

解直角三角形教案

2

√

解直角三角形教案

√

解直角三角形教案

解直角三角形教案

3

√

b=acotA

解直角三角形教案

√

解直角三角形教案

4

√

b=atanB

解直角三角形教案

解直角三角形教案

√

5

解直角三角形教案

√

√

解直角三角形教案

解直角三角形教案

6

a=btanA

√

解直角三角形教案

√

解直角三角形教案

7

a=bcotB

√

解直角三角形教案

解直角三角形教案

√

8

a=csinA

b=ccosA

√

√

解直角三角形教案

9

a=ccosB

b=csinB

√

解直角三角形教案

√

10

不可求

不可求

不可求

√

√

注：上表中“√”表示已知。

四、布置作业P