《用频率估计概率》教学设计。
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《用频率估计概率》教学设计
本节课所体现的研究理论:
1.学习主体即学生,通过亲身经历数学活动过程获得具有个性特征的感性认识、情感体验以及数学意识;
2.课标指出:教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上,为学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探究和合作交流过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想方法,提高数学学习兴趣和问题解决能力。因此,学生数学学习的过程是建立在经验基础之上的一个自我再创造(或创新构造)过程。在这一过程中,学生通过多样化的活动,不断获得、积累经验,分析、理解、反思经验,从而获得发展。
学习目标:
1.借助实验,体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性;
2.通过操作,体验重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系;
3.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法;
4.通过对实际问题的分析,激发学习兴趣,体验数学的应用价值.
重点:能从频率值角度估计事件发生的概率.
难点:通过试验体会用频率估计概率的合理性.
温故篇
1.抛一次硬币,向上的一面是正面的概率是
2.掷一次骰子,向上的一面数字是6的概率是.
3.从一副没有大小王的扑克牌中任抽一张,则抽到的牌面数字是5的概率为.
4.某射击运动员射击一次,命中靶心的概率是.
思考:当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结果发生的可能性不相等时,又该如何求事件发生的概率呢?引出课题——用频率估计概率
模拟实验——掷骰子
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.即在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总是在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.这就是频率稳定性定理.
是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早发现的,他最早阐明了随着试验次数的增加频率稳定在概率附近.被公认为是概率论的先驱之一.
探索篇
材料1:
则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率约为(精确到0.1)
材料2:
则估计油菜籽发芽的概率为(精确到0.1)
实践篇——估计移植成活率
某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率,应采用什么具体做法?
1.计算并填空;
2.观察在各次试验中得到的幼树成活的频率,谈谈你的看法.
3.由上表可以发现,幼树移植成活的频率在__左右摆动,并且随着移植棵数越来越大,这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为__.
4.解决问题:
(1)林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活__棵.
(2)我们学校需种植这样的树苗100棵来绿化校园,则至少向林业部门购买约___棵.
巩固篇
1.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的小球共有40个,它们除颜色外其余都相同.小李通过多次摸球后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在0.15和0.45,则估计袋中白色球的个数是()
A.6B.16C.20D.24
2.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾,一渔民通过多次捕获实验后发现:鲤鱼、鲫鱼出现的频率分别是31%和42%,则这个水塘里有鲤鱼_____尾,鲢鱼_____尾.
3.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.
(1)在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?
(2)该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?
应用篇——这个游戏公平吗?
小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆(如图),蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,掷中里面小圈小明胜,未掷入大圈内不算,你认为游戏公平吗?为什么?
3m
2m
提升篇
1.弄清了一种关系——频率与概率的关系.
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
2.了解了一种方法——用多次试验频率去估计概率.
3.体会了一种思想:用样本去估计总体;用频率去估计概率.
拓展篇
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如果随机掷中长方形的300次中,有150次是落在不规则图形内.
(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗?
(2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则
图形的面积.
课后拓展:
你能设计一个利用频率估计概率的实验方法估算该不规则图形的面积的方案吗?
课堂测评:
1.关于频率与概率的关系,下列说法正确的是()
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.做重复试验:抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为()
A.0.22B.0.44C.0.50D.0.56
扩展阅读
利用频率估计概率
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25.3利用频率估计概率
疑难分析:
1.当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,一般用统计频率的方法来估计概率.
2.利用频率估计概率的数学依据是大数定律:当试验次数很大时,随机事件A出现的频率,稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P,叫做随机事件A的概率,并记为P(A)=P.
3.利用频率估计出的概率是近似值.
例题选讲
例1某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数n8101291610
进球次数m6897127
进球频率
(1)计算表中各次比赛进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?
解答:(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7;
(2)0.75.
评注:本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验,所求出的概率只是近似值.
例2某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图),并规定:顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)计算并完成表格:
转动转盘的次数n1001502005008001000
落在“铅笔”的次数m68111136345546701
落在“铅笔”的频率
(2)请估计,当很大时,频率将会接近多少?
(3)转动该转盘一次,获得铅笔的概率约是多少?
(4)在该转盘中,标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1°)
解答:(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701;
(2)0.69;
(3)0.69;
(4)0.69×360°≈248°.
评注:(1)试验的次数越多,所得的频率越能反映概率的大小;(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况,我们可以利用它们所提供的信息估计概率.
基础训练
一、选一选(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)
1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学进行了如下实验:每次摸出一个乒乓球记下它的颜色,如此重复360次,摸出白色乒乓球90次,则黄色乒乓球的个数估计为()
A.90个B.24个C.70个D.32个
2.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,那么从中任取1个是次品概率约为().
A.B.C.D.
3.下列说法正确的是().
A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大;
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行;
C.彩票中奖的机会是1%,买100张一定会中奖;
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论.
4.小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩,绘成如图所示的条形图,其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1.从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是().
A.、B.、
C.、D.、
5.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出100黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,则这袋黄豆原来有().
A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒
6.某校男生中,若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查,抽到喜欢足球的同学的概率是,这个的含义是().
A.只发出5份调查卷,其中三份是喜欢足球的答卷;
B.在答卷中,喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8;
C.在答卷中,喜欢足球的答卷占总答卷的;
D.在答卷中,每抽出100份问卷,恰有60份答卷是不喜欢足球.
7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球,使得从袋中摸到红球的概率为,四位同学分别采用了下列装法,你认为他们中装错的是().
A.口袋中装入10个小球,其中只有两个红球;
B.装入1个红球,1个白球,1个黄球,1个蓝球,1个黑球;
C.装入红球5个,白球13个,黑球2个;
D.装入红球7个,白球13个,黑球2个,黄球13个.
8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数,将每位同学的零用钱数记录了下来(单位:元):2,5,0,5,2,5,6,5,0,5,5,5,2,5,8,0,5,5,2,5,5,8,6,5,2,5,5,2,5,6,5,5,0,6,5,6,5,2,5,0.
假如老师随机问一个同学的零用钱,老师最有可能得到的回答是().
A.2元B.5元C.6元D.0元
二、填一填
9.同时抛掷两枚硬币,按照正面出现的次数,可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果,小红与小明两人共做了6组实验,每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次,下表为实验记录的统计表:
结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组
两个正面335142
一个正面655557
没有正面120411
由上表结果,计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________.当试验组数增加到很大时,请你对这三种结果的可能性的大小作出预测:______________.
10.红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下,其中数据不在分点上
组别频数频率
46~5040
51~5580
56~60160
61~6580
66~7030
71~7510
从中任选一头猪,质量在65kg以上的概率是_____________.
11.为配和新课程的实施,某市举行了“应用与创新”知识竞赛,共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分,得分全为整数)。为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩,进行统计,整理见下表:
组别分组频数频率
149.5~59.5600.12
259.5~69.51200.24
369.5~79.51800.36
479.5~89.5130c
589.5~99.5b0.02
合计a1.00
表中a=________,b=________,c=_______;若成绩在90分以上(含90分)的学生获一等奖,估计全市获一等奖的人数为___________.
三、做一做
12.小颖有20张大小相同的卡片,上面写有1~20这20个数字,她把卡片放在一个盒子中搅匀,每次从盒中抽出一张卡片,记录结果如下:
实验次数20406080100120140160180200
3的倍数的频数5131726323639495561
3的倍数的频率
(1)完成上表;
(2)频率随着实验次数的增加,稳定于什么值左右?
(3)从试验数据看,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少?
(4)根据推理计算可知,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少?
13.甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛,双方约定:①比赛分6局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束;②若一次未进可再投第二次,以此类推,但每局最多只能投8次,若8次投球都未进,该局也结束;③计分规则如下:a.得分为正数或0;b.若8次都未投进,该局得分为0;c.投球次数越多,得分越低;d.6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进,请你按上述约定,用公式、表格或语言叙述等方式,为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案;
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数,“×”表示该局比赛8次投球都未进):
第一局第二局第三局第四局第五局第六局
甲5×4813
乙82426×
根据上述计分规则和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜.
四、试一试
16.理论上讲,两个随机正整数互质的概率为P=.请你和你班上的同学合作,每人随机写出若干对正整数(或自己利用计算器产生),共得到n对正整数,找出其中互质的对数m,计算两个随机正整数互质的概率,利用上面的等式估算的近似值.
解答
一、
1.D2.B3.B4.A5.C6.C7.C8.B
二、
9.;10.0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025;0.1
11.50,10,0.26;200
三、
12.(1)0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31;
(2)0.31;
(3)0.31;
(4)0.3
13.解:(1)计分方案如下表:
n(次)12345678
M(分)87654321
(用公式或语言表述正确,同样给分.)
(2)根据以上方案计算得6局比赛,甲共得24分,乙共得分23分,所以甲在这次比赛中获胜.
四、
14.略
九年级数学上册《用频率估计概率》知识点复习浙教版
九年级数学上册《用频率估计概率》知识点复习浙教版
1、利用频率估计概率
在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
4、如何用频率估计概率
在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近.n越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率.
下面我再给你举个例子:掷一枚质地均匀的硬币,硬币正、反两面向上的可能性会相等,如果我只抛掷一次且正面朝上,得出结论硬币正面向上的概率为1,显然这是不准确的;随着抛掷次数的增多,出现正面向上的频率越来越接近于1/2,那么我们就说硬币正面向上的概率为1/2。
课后练习
1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学进行了如下实验:每次摸出一个乒乓球记下它的颜色,如此重复360次,摸出白色乒乓球90次,则黄色乒乓球的个数估计为()
A.90个B.24个C.70个D.32个
2.下列说法正确的是().
A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大;
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行;
C.彩票中奖的机会是1%,买100张一定会中奖;
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论.
3.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出100黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,则这袋黄豆原来有().
A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒
答案:
1.D2.B3.C
频率与概率
教案课件是老师工作中的一部分,大家在着手准备教案课件了。将教案课件的工作计划制定好,这样我们接下来的工作才会更加好!你们知道适合教案课件的范文有哪些呢?下面的内容是小编为大家整理的频率与概率,欢迎阅读,希望您能够喜欢并分享!
课题6.1频率与概率(一)课型新授课
教学目标1.经历实验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2.通过实验,理解当实验次数较大时实验频率稳于理论概率,并可根据此估计某一事件发生的概率。
3.能运用列表法计算简单事件发生的概率。
教学重点掌握列表法计算简单事件发生的概率。
教学难点实验中估计某一事件发生的概率。
教学方法学生对随机事件及其发生的概率的认识是一较长的认知过程,对概率的理解也有必要随着其数学活动经验的不断加深而逐步得到发展.本节课通过一个两步试验的事件的概率问题,通过试验活动,体会频率的稳定性,并形成对概率的全面理解。感悟并非任何随机事件的发生的概率都可以理论地计算,利用类比的方法归纳出试验次数很大时,试验频率稳定于理论概率这一规律,并据此估计某一事件发生的概率.发展学生初步的辩证思维能力.
教学内容及过程备注
一、复习引入
1.回顾七年级时一些基本概念和曾经学习过的两个问题:
(1).用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影:任意掷一枚均匀的硬币.如果正面朝上,小丽去;如果反面朝上,小明去.这样决定对双方公平吗?
(2).任意掷一枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).“6”朝上的概率是多少?
2.提出两个新问题:
(1).如果是连续掷两次均匀的硬币。会出现几种等可能的结果?出现“一正一反”的概率为多少呢?(给学生思考时间,之后学生很可能猜测结论,让学生畅说欲言).
(2).如果将上面均匀的小立方体也连续掷两次,会出现几种等可能的结果,两次总数都是偶数的概率为多少呢?(学生面对这个问题与上个问题的反应相同.)
提问:请大家分析这两个问题与前面两个问题有什么不同?
上面两个游戏是一枚硬币掷一次、一个正方体掷一次;后面两个问题是连续掷两次.前面的两个问题涉及的都是一步实验.而后两个问题都是两步试验.从这一节开始我们将进一步学习概率的有关知识.我们用实验的方法估计出了任意掷一枚硬币“正面朝上”和“反面朝上”的概率.同样的我们也可以通过试验.估计较复杂事件的概率.
二、探究新知
1.小组活动方法:准备两组相同的牌,每组两张,两张牌的牌面数字分别是1和2,从每组牌中各摸出一张,称为一次实验。
(1)一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值?
(2)每人做30次实验,根据实验结果填写下面表格:
牌面数字积234
频数
频率
(3)根据上表,制作相应的频数分布直方图。
(4)你认为哪种情况的频率最大?
(5)两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少?
(6)六个同学组成一个小组,分别汇总其中的两人、三人、四人、五人、六人的实验数据,相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌的数字和等于3的频率,填写下表,并绘制相应的折线统计图。
实验次数6090120150180
两张牌的牌面数字和等于3的频数
两张牌的牌面数字和等于3的频率
2.议一议
(1)在上面的实验中,你发现了什么?增加实验数据后频率渐趋于哪一个稳定值?
(2)与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论。
3.做一做
(1)将各组的数据集中起来,求出两张牌的牌面数字和等于3的频率,它与你们的估计相近吗?
(2)计算两张牌的牌面数字和等于3的概率。
3.想一想
两张牌的牌面数字和等于3的频率与两张牌的牌面数字和等于3的概率有什么关系?
一般而言,学生通过试验以及上面(2)(3)的图表容易猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大.理论上.两张牌的牌面数字和为2,3,4的概率依次为,应该说,经过30次实验,学生基本能够猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大.这里一定要保证试验的次数,如果试验次数太少,结论可能会有较大出入.
结论:当实验次数很大时,两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近,因此可以通过多次实验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
三、随堂练习课本随堂练习
四、课堂总结谈谈频率与概率之间既有联系和区别.
五、布置作业
课本习题6.1
教学后记本节课只有让学生经历试验,才能感悟频率稳定概率这一规律。频率稳定概率这一规律是解决本节概率的基础,所以本节课一定要学生亲身参与试验全过程,不可为了赶进度而忽略试验.