3.1比例线段3.1.1比例的基本性质教案新版湘教版。

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3.1比例线段
3.1.1比例的基本性质
课题3.1.1比例的基本性质授课人
教
学
目
标知识技能理解比例的基本性质，并会对比例式进行变形．
数学思考借助等式的性质，了解比例的基本性质及其简单应用．
问题解决能运用比例的基本性质解决问题．
情感态度通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系．
教学重点比例的基本性质及其应用．
教学难点了解比例的基本性质及其简单应用．
授课类型新授课课时
教具多媒体
教学活动
教学步骤师生活动设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课

【课堂引入】
(1)什么是两个数的比？2与－3的比，－4与6的比如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可写成什么形式？
(2)比与比例有什么区别？
(3)用字母a，b，c，d表示数，若上述四个数成比例，则可写成怎样的形式？

由小学所学出发，层层置疑，引发学生的探究思维.

活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】比例的基本性质
在置疑导入的基础上，各小组展开讨论：已知比例式＝，则ad＝bc，为什么？
师生活动：教师可以提示学生等式的基本性质，如果学困生仍然没有思路，教师可以提示学生，在＝的两边同时乘bd，会得到什么结果？继续提问为什么会想到在比例式的两边同时乘bd？实际上bd是两个分式的公分母.
归纳：(1)比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积．用式子表示为：如果＝，那么ad＝bc.
(2)＝叫作比例式，ad＝bc叫作等积式，等积式和比例式可以互换．
【探究2】等积式化比例式
如果a，b，c，d四个数成比例，即＝，那么ad＝bc.反过来如果ad＝bc，那么能写出多少个比例式？
师生活动：给各小组时间讨论交流，然后展示各组的结论，各组一定会出现不同的结果，鼓励学生就不同的结果展开讨论．
归纳：从ad＝bc成立，可得出①＝；②＝；
③＝；④＝等.

从特殊情况出发，使学生对比例的基本性质有直观的感性认识，再让学生以一般的形式探索和推导，让全体学生充分参与，一步一步得出比例的基本性质，体现了“从特殊到一般”的数学思想.
活动
三：
开放
训练
体现
应用【应用举例】
例1[教材P63例2]根据下列条件，求a∶b的值．
(1)4a＝5b；(2)＝.
讲评策略：鼓励学生从多个角度去变形求解，然后帮助学生总结方法的简便与繁难．
变式一已知3a＝2b，则a∶b＝________；已知a∶2＝3∶5，则a＝________．
变式二已知＝，则＝________，＝________．
变式三已知＝，求的值．

求解途径不止一条，一题多解是永远的数学主题，进一步培养学生的发散思维.
【拓展提升】
例2已知＝＝，且x＋y＋z＝12，求x，y，z的值．
解：设＝＝＝a，则x＝3a－4，y＝2a－3，z＝4a－8，x＋y＋z＝3a－4＋2a－3＋4a－8＝12，∴a＝3，∴x＝5，y＝3，z＝4.
例3[威海模拟]若＝＝＝k，求k的值.学以致用，同时兼顾优等生，力争使每个学生都能有所收获、有所提高.

活动
四：
课堂
总结
反思【当堂训练】
1．教材P63练习中的T1，T2.
2．教材P67习题3.1中的T1，T2.当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
探究本节课的两个重要知识点，让学生学会将等积式化比例式及将比例式化等积式的互用，流程合理、自然．
②[讲授效果反思]
通过思考、讨论、归纳总结，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．
③[师生互动反思]
______________________________________________________________________________________________
④[习题反思]
______________________________________________________________________________________________反思，更进一步提升.

延伸阅读

九年级数学上3.1比例线段（湘教版2份打包）

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“九年级数学上3.1比例线段（湘教版2份打包）”，供您参考，希望能够帮助到大家。

第3章图形的相似
3．1比例线段
3．1.1比例的基本性质
1．掌握比例的基本性质及其简单应用．(重点)
2．能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形．(难点)
阅读教材P62～63，理解并掌握比例的基本性质．
(一)知识探究
1．如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数________．通常我们把a，b，c.d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d或ab＝cd，其中________称为比例内项，________称为比例外项．
2．比例的基本性质：如果ab＝cd，那么________＝bc.
(二)自学反馈
1．下列数字中，成比例的一组是()
A．1，2，3，4B．16，8，10，5
C．8，5，6，10D．5，5，6，7
2．若ab＝cd≠0，则ba＝________，ac＝________.
活动1小组讨论
例1已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即ab＝cd.①
下列各式成立吗？若成立，请说明理由．
ba＝dc，②
ac＝bd，③
a＋bb＝c＋dd.④
解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，
因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立．
由①式，得ad＝bc.
在上式两边同除以cd，得ac＝bd，即③式成立．
在①式两边都加上1，得ab＋1＝cd＋1.
由此得到a＋bb＝c＋dd，即④式成立．
例2根据下列条件，求a∶b的值：
(1)4a＝5b；(2)a7＝b8.
解：(1)∵4a＝5b，∴ab＝54.
(2)∵a7＝b8，∴8a＝7b.∴ab＝78.
比例式与等积式可以互化，将等积式化为比例式时，只要保证在同一积中的两个数放在同一条“对角线”的两端即可；将比例式化成等积式，利用等式的性质和解方程的观点处理比例式的问题是一种常用的方法．
活动2跟踪训练
1．下列各组数中，成比例的是()
A．3，6，7，9B．2，5，6，8
C．3，6，9，18D．11，12，13，14
2．若xy＝35，则yx＝________.
3．已知ab＝12，则a＋bb＝________.
4．求下列各式中的x值．
(1)5∶x＝10∶2;
(2)7∶12＝14∶2x；
(3)32∶34＝x∶3;
(4)(5－x)∶x＝2∶6.
活动3课堂小结
1．什么叫四个数成比例？
2．比例的基本性质．
【预习导学】
知识探究
1．成比例b，ca，d2.ad
自学反馈
1．B2.dcbd
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．C2.533.324.(1)x＝1.(2)x＝12.(3)x＝6.(4)x＝154.

比例线段教案2

比例线段教案2一、教学目标
1.理解成比例线段以及项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等的概念.
2.把握比例基本性质和合分比性质.
3.通过通过的应用,培养学习的计算能力.
4.通过比例性质的教学,渗透转化思想.
5.通过比例性质的教学,激发学生学习爱好.
二、教学设计
先学后做,启发引导
三、重点及难点
1.教学重点比例性质及应用.
2.教学难点正确理解成比例线段及应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具预备
股影仪、胶片、常用画图工具
六、教学步骤
复习提问
1.什么是线段的比?
2.已知这两条线段的比是吗,为什么?
讲解新课
1.比例线段:见教材P203页。
如:见教材P203页图5-2。
又如:
即a、b、c、d是成比例线段。
注:①已知问这四条线段成比例吗?
(答:成比例。,这里与顺序无关)。
②若已知a、b、c、d是成比例线段,是指不能写成(在说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序列出,这里与顺序有关)。
板书教材P203页比例线段的一些附属概念。
2.比例的性质:
(1)比例的基本性质:假如,那么。
它的逆命题也成立,即:假如,那么。
推论:假如,那么。
反之亦然:假如,那么。
①基本性质证实了“比例式”和“等积式”是可以互化的。
②由,除可得到外,还可得到其它七个比例式。即由一个等积式,可写成八个不同的比例式(让学生试写)。然后教师教给方法。即:先按左:右=右:左“写出四个比例式。。再由等式的对称性写出另外四个比例式:。注重区别与联系。
③用比例的基本性质,可检查所作的比例变形是否正确。即把比例式化成等积式,看与原式所得的等积式是否相同即可。
④等积化比例、比例化等积是本章一个重要能力,要使学生达到非常熟练的程度,以利于后面学习。
(2)合比性质:假如,那么
证实:∵,∴即:
同理可证:(找学生板演)
(3)等比性质:假如
那么
证实:设;则
∴
等比性质的证实思路及思想非常重要,它是解决数学中连比问题的通法,希望同学们认真体会,务必把握。
例1(要求了解即可)
(1)已知:,求证:。
证实:∵,∴
“通法”:∵,∴即
(2)已知:,求证:。
方法一:
方法二:
(1)÷(2)得:
小结
(1)比例线段的概念及附属概念。
(2)比例的基本性质及其应用。
八、布置作业
(1)求
①②③
(2)求下列各式中的x
①②③④
九、板书设计
比例线段(二)
1.比例线段:
教师板书定义
………
比例线段的附属概念
………
2.比例的性质
(1)比例基本性质
…………
注重:(1)
②
③
3.课堂练习

和圆有关的比例线段

和圆有关的比例线段教学建议
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证实.
难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生轻易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.
(1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;
(2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证实——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.
第1课时:相交弦定理
教学目标:
1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证实和计算;
2.学会作两条已知线段的比例中项;
3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;
4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到非凡的思想方法.
教学重点:
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点:
在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证实中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
(一)设置学习情境
1、图形变换:(利用电脑使AB与CD弦变动)
①引导学生观察图形,发现规律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②进一步得出:△APC∽△DPB.
.
③假如将图形做些变换,去掉AC和BD,图中线段PA,PB,PC,PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察,并回答.
2、证实:
已知:弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证:PA·PB=PC·PD.
(A层学生要练习学生写出已知、求证、证实;B、C层学生在老师引导下完成)
(证实略)
(二)定理及推论
1、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于点P,那么PA·PB=PC·PD.
2、从一般到非凡,发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互相垂直如图,AB是直径,并且AB⊥CD于P.
提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?
指出:PC2=PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来,假如叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.
推论假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点C向直径AB作垂线,垂足是P,则PC2=PA·PB.
若再连结AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:
PC2=PA·PB;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)应用、反思
例1已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2已知:线段a,b.
求作:线段c,使c2=ab.
分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.
作法:口述作法.
反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1如图,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
变式练习:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少?
将条件隐化,增加难度,提高学生学习爱好
练习2如图,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,垂足为P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的长.
练习3如图:在⊙O中,P是弦AB上一点,OP⊥PC,PC交⊙O于C.求证:PC2=PA·PB
引导学生分析:由AP·PB,联想到相交弦定理,于是想到延长CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易证得PC=PD问题得证.
(四)小结
知识:相交弦定理及其推论;
能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
思想方法:学习了由一般到非凡(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
(五)作业
教材P132中9,10;P134中B组4(1).
第2课时切割线定理
教学目标:
1.把握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证实;
2.把握构造相似三角形证实切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点:
理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点:
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
(一)提出问题
1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.假如两弦延长交于圆外一点P,那么该点到割线与圆交点的四条线段PA,PB,PC,PD的长之间有什么关系?(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA,PB,PT之间又有什么关系?
2、猜想:引导学生猜想出图中三条线段PT,PA,PB间的关系为PT2=PA·PB.
3、证实:
让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证实猜想.
分析:要证PT2=PA·PB,可以证实,为此可证以PA·PT为边的三角形与以PT,BP为边的三角形相似,于是考虑作辅助线TP,PB.(图3).轻易证实∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(二)切割线定理的推论
1、再提出问题:当PB、PD为两条割线时,线段PA,PB,PC,PD之间有什么关系?
观察图4,提出猜想:PA·PB=PC·PD.
2、组织学生用多种方法证实:
方法一:要证PA·PB=PC·PD,可证此可证以PA,PC为边的三角形和以PD,PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线AC,BD,轻易证实∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB.(如图4)
方法二:要证,还可考虑证实以PA,PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线AD、CB.轻易证实∠B=∠D,又∠P=∠P.因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三:引导学生再次观察图2,立即会发现.PT2=PA·PB,同时PT2=PC·PD,于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
(三)初步应用
例1已知:如图6,⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B,PA=6厘米,AB=8厘米,PO=10.9厘米,求⊙O的半径.
分析:由于PO既不是⊙O的切线也不是割线,故须将PO延长交⊙O于D,构成了圆的一条割线,而OD又恰好是⊙O的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.
(解略)教师示范解题.
例2已知如图7,线段AB和⊙O交于点C,D,AC=BD,AE,BF分别切⊙O于点E,F,
求证:AE=BF.
分析:要证实的两条线段AE,BF均与⊙O相切,且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上,且AC=BD,AD=BC.因此它们的积相等,问题得证.
学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.
巩固练习:P128练习1、2题
(四)小结
知识:切割线定理及推论;
能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;
方法:在证实切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注重很好地把握.
(五)作业教材P132中,11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足球门宽7.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解如图1所示.AB是足球门,点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置,即向P上方或下方移动,视角都变小,因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点,如图1所示.即OP是圆的切线,而OB是圆的割线.
故,又,
OB=30.347.32=37.66.
OP=(米).
注:上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.