九年级数学下28.1.3特殊角的三角函数值学案（人教版）。
为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，又到了写教案课件的时候了。只有规划好教案课件计划，就可以在接下来的工作有一个明确目标！你们了解多少教案课件范文呢？以下是小编为大家精心整理的“九年级数学下28.1.3特殊角的三角函数值学案（人教版）”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
28.1.3特殊角的三角函数值学案
一、新课导入
1.课题导入
情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？
问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）
2.学习目标
（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.
（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.
（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.
3.学习重、难点
重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.
难点：相关运算.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：
③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？
2.自学：
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.
②差异指导：根据学情进行针对性指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.
4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.
第二层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.
（4）自学参考提纲：
①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？
熟练掌握特殊锐角的三角函数值.
②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？
先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.
③求下列各式的值：
a.1-2sin30°cos30°;
=1-2××
=.
b.3tan30°-tan45°+2sin60°;
=3×-1+2×
=-1.
c.(cos230°+sin230°)×tan60°.
=[（）2+（）2]×3
=.
④在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=,AC=,求∠A、∠B的度数.
∵tanA=，∴∠A=30°,∠B=60°.
2.自学：
学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.
②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据实数的运算法则计算.
（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.
（3）当A、B为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB,tanA≠tanB.
三、评价
1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究”的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进行计算.jaB88.cOM
评价作业
一、基础巩固（70分）
1.(10分)2cos(α-10°)=1，则锐角α=70°.
2.(10分)已知α为锐角，tanα=，则cosα等于（A）
A.B.C.D.
3.(40分)求下列各式的值.
（1）sin45°+cos45°;
=+
=2.
（2）sin45°cos60°-cos45°;
=×-
=-
（3）cos245°+tan60°cos30°;
=（）2+×
=+
=2.
(4）1-cos30°sin60°+tan30°.
=+
=-1.
4.(10分)在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，求∠C的度数.
解：∵∠A是锐角且sinA=,∴∠A=60°.
∵∠B是锐角且tanB=1,∴∠B=45°.∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.
二、综合应用（20分）
5.(10分)在△ABC中，锐角A，B满足（sinA-）2+|cosB-|=0，则△ABC是（D）
A.等腰三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.直角三角形
6.(10分)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，DE⊥AB于点E，BC=1，AC=3，则∠D的度数为30°.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）.
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=.
Cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-.
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=.
（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.
解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.
∴∠A=30°或120°，∠B=30°或120°.
∴sinA=sin30°=或sinA=sin120°=,cosB=cos30°=或cosB=cos120°=-.
又∵sinA,cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，
∴sinA+cosB=,sinAcosB=-.
∴sinA=,cosB=-,∴∠A=30°,∠B=120°,m=0.
扩展阅读
九年级数学下28.1.4一般角的三角函数值学案(人教版)
28.1.4一般角的三角函数值学案
一、导学
1.课题导入
情景：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子.
问题：使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？
这个问题中涉及求sin75°的问题，那么怎样求sin75°呢？本节课我们学习非特殊角的三角函数值.
2.学习目标
会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角.
3.学习重、难点
用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角.
4.自学指导
（1）自学内容：教材P67~P68.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学指导：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①用计算器求sin18°的值.
sin18°=0.309016994.
②用计算器求tan30°36′的值.
tan30°36′=0.591398351.
③已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A的度数.
∠A=30.11915867°或∠A=30°7′8.97″.
④已知∠A是锐角，用计算器探索sinA与cosA的数量关系.
sin2A+cos2A=1.
⑤已知∠A是锐角，用计算器探索sinA、cosA与tanA的数量关系.
⑥当一个锐角逐渐增大时，这个角的各三角函数值会发生怎样的变化呢？请用计算器探索其中的规律.
正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，正切值逐渐增大.
⑦用计算器求下列各锐角三角函数的值：
sin20°sin35°sin15°32′
0.3420201430.5735764360.267798948
cos70°cos55°cos74°28′
0.3420201430.5735764360.267798948
tan3°8′tan80°25′43″
0.0547415655.93036308
⑧已知下列锐角三角函数值，用计算器求相应锐角的度数：
sinA=0.6275sinB=0.0547
∠A=38.86591697°∠B=3.135644155°
cosA=0.6252cosB=0.1659
∠A=51.30313157°∠B=80.45047872°
tanA=4.8425tanB=0.8816
∠A=78.3321511°∠B=41.39940061°
二、自学
学生可结合自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：明了学生能否正确操作计算器.
（2）差异指导：根据学情进行针对性指导.
2.生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.
四、强化
1.利用计算器求锐角的三角函数值和已知锐角三角函数值求相应的锐角的操作要领.
2.交流练习题的答案.
五、评价
1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时教学应突出学生的主体性原则，指引学生自己动手操作，互相交流，并让学生上台演示自己的操作过程，分享学习心得，从而激发学生的参与热情和学习积极性.对于运用计算器求锐角的三角函数值有困难的学生，教师应及时给予帮助并增强与学生的互动和交流.
评价作业
一、基础巩固（70分）
1.(5分)用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（B）
A.0.90B.0.72C.0.69D.0.66
2.(5分)已知tanα=0.3249，则α约为（B）
A.17°B.18°C.19°D.20°
3.(30分)用计算器求图中∠A的度数.
4.(30分)已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A,B的度数：
(1)sinA=0.7,sinB=0.01;
∠A=44.427004°,∠B=0.572967344°;
(2)cosA=0.15,cosB=0.8;
∠A=81.37307344°,∠B=36.86989765°;
(3)tanA=2.4,tanB=0.5.
∠A=67.38013505°,∠B=26.56505118°.
二、综合应用（20分）
5.(10分)如图，焊接一个高3.5m，底角为32°的人字形钢架，需要多长的钢材（精确到0.01m）？
解：由题意知CD=3.5m，∠A=32°.
在Rt△ACD中，AC=≈6.60（m）,
AD=≈5.60（m）.
∴AC+BC+AB+CD=2(AC+AD)+CD≈27.90(m).
∴需要的钢材长度约为27.90m.
6.(10分)如图，一块平行四边形木板的的两条邻边的长分别为62.31cm和35.24cm，它们之间的夹角为35°40′，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）.
解：S平行四边形ABCD=BCAE
=BCABsinB
=62.31×35.24×sin35°41′
≈1280.82(cm2).
因此，这块木板的面积约为1280.82cm2.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：(保留两位小数)
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的变化趋势？cosA呢？tanA呢？你能证明你的结论吗?
解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断增大.
三角函数值
为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，准备教案课件的时刻到来了。在写好了教案课件计划后，新的工作才会如鱼得水！你们知道哪些教案课件的范文呢？以下是小编为大家收集的“三角函数值”但愿对您的学习工作带来帮助。
1.230°、45°、60°角的三角函数值
本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教具重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一
半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.
CD＝a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=
atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
[生]sin30°＝.
sin30°表示在直角三角
形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.
[师]cos30°等于多少?tan30°呢?
[生]cos30°＝.
tan30°=
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,
cos60°=,
tan60°＝.
[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-
60°)=sin30°=.
[师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a，则另一条直角
边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=,
cos45°＝,
tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角
sinαcoαtanα
30°
45°1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢?
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45°
=()2+()2-1
=+-1
＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5m，
∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC=ODcos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3)sin45°+sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝-1=；
(2)原式=+=
(3)原式=×+×；
=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯的长度是多少?
解：扶梯的长度为=14(m)，
所以扶梯的长度为14m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；
tan30°=，tan45°
＝1，tan60°=.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
习题1.3第1、2题
Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?
(精确到0.1m，≈1.41，≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DBtan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
板书设计
§1.230°、45°、60°角的三角函数值
一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角
的对边等于斜边的一半.
含45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：
三角函数角
角α
sinαcoαtanα
30°
45°1
60°
二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
三、实际应用
备课资料
参考练习
1.(2003年北京石景山)计算：.
答案：3-
2.(2003年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30°-
答案：-
3.(2003年广东梅州)计算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.
答案：
4.(2003年广西)计算：sin60°+
答案：-
5.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(+π)0-cos60°-.
答案：-
锐角的三角函数值
21.2锐角的三角函数值
一、教法设想：
通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°,∠A=45°,由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是和，这是为什么呢？
由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0sinA1,0cosA1（∠A为锐角）.
再分别求出30°，45°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.
根据30°，45°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在0°—90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
适时介绍正弦和余弦表的构造.结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正确处理好修正值.
对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+cos2A=1”这一重要关系式.
在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授这些重要关系式.
在教学中对0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记.
表I：
三角函数30°45°60°
Sinα
Cosα
tgα
口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七.
表II.
三角函数0°30°45°60°90°
Sinα
Cosα
tgα0
1
──
ctgα──
1
口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢.
第二行左右倒，三，四行靠推导.
【指点迷津】
本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向.因此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用.用其法解决生活中的实际问题.达到得心应手.
二、学海导航：
【思维基础】
1.锐角三角函数定义
Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA=________CosA=_______tgA=________CtgA=________.它们统称为∠A的锐角三角函数.（1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A为锐角时，SinA，CosA均在______~______内取值.
2.特殊角的三角函数值（完成下表）
0°30°45°60°90°增减值
Sinα
Cosα
tgα
ctgα
3.互余角间的三角函数关系，△ABC中，∠C=90°，A+B=90°，∠B=90°－A，则有：
Sin(90°－A)=___________
Cos(90°－A)=___________
tg(90°－A)=___________
Ctg(90°－A)=___________.
4.同角三角函数关系公式：（∠A为锐角）.
（1）Sin2A+Cos2A=___________;Cos2A=___________,Sin2A=____________.
【学法指要】
例1.如果∠A为锐角，CosA=，那么（）
A.0°A≤30°B.30°A≤45°
C.45°A≤60°D.60°A90°
思路分析：
当角度在0°~90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）.
∴60°A90°应选D
例2.当45°X90°时，有（）
A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx
C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx
思路分析：∵45°x90°∴取A=60°
，∴tgxSinxCosx
∴应选D
解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x=60°在45°x90°的范围内，很快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌.因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工.
例3.计算：
思咯分析：若a≠0时,a0=1
对此项中的Sin36°是一项干扰支.迷惑同学们，因为Sin36°，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然.不需要求Sin36°之值，只需要知道即可.因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一.要准确无误代入三角函数值；二.要按照实数的运算法则进行运算；三.运算的结果必须是最简关系式.于是对上式便一目了然了.
例4.已知方程的两根为tgθ,ctgθ,求k和θ，（θ为锐角）
思路分析：∵tgθ,ctgθ为二次方程的二根，根据与系数关系式，得
∵tgθctgθ=1∴k=1
∴原方程为
即tgθ=,ctgθ=或tgθ=,ctg=
故θ1=30°θ2=60°
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路.如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.
例5.在△ABC中，三边之比a：b：c=1：：2，则SinA+tgA等于（）
A.B.
C.D.
思路分析：∵a：b：c=1：：2
∴可设a=k,b=k,c=2k(k0)
∴a2+b2=k2+(k)2=4k2=(2k)2=c2
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
根据三角函数定义，可知：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
根据三角函数定义，可知：
∴SinA+tgA
∴应选（A）
对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.
【思维体操】
例1.已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：AE=AF.
揭示思路1：设∠ABC=α.正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a,b
∵AD=AG+DG=atgα+a
AD=AH+DH=bCtgα+b
∴atgα+a=bctgα+b
∴
=bctgα=AH.
∴AE=AF
揭示思路2：
设BC=a,且∠ABC=α，则有
AB=acosα
同理：
∴AE=AF
由上两种思路证得AE=AF，可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形.便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的.题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道.为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果.现沿这思路继续扩散.
扩散一：
如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：EF2=BEFC
揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
∵∠B+∠C=90°，∴tgB=tg(90°－C)=ctgC
∴
∵DE=GF=EF
∴EF2=BECF
扩散二：
在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN，过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC=DF+EG
提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散.设法作AH⊥BC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系.此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！
在Rt△EGC中，
∴EG=bcosβ
在Rt△DBF中，同理，DF=ccosα（设b,c,α,β如图）
∴EG+DF=bCosβ+ccosα
在Rt△ABH中，BH=ccosα
在Rt△ACH中，CH=bcosβ
∵BC=BH+CH,∴BC=bcosβ+ccosα
∴BC=EG+DF
扩散三：
设顶角A=108°的等腰三角形的高为h，∠A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：
揭示思路：从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.
如图，设△ABC的底边上的高AH=h,∠A的三等分线AD=P1，∠A的外角四等线AE=P2，∠BAC=108°，AB=AC，
∴∠DAH=18°
在Rt△ADH中，cos18°=
∵∠CAE=(180°－108°)=18°
∠ACB=(180°－108°)=36°
∴∠AEC=18°
在Rt△AHE中，Sin18°=
扩散四：
已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.
求证：
揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.
设∠ABC=α，则∠DAF=∠CDF=α
扩散五：
在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC=20F
揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.
∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE
∵∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE,
∴BE=BF
进而可知AD=DF
设正方表ABCD边长为1，又设∠BAE=∠CAE=α
则OA=OB=
在Rt△ABE中，BE=ABtgα=BF
BF=OB－OF=OB－OAtgα
∴ABtgα=OB－OAtgα
∴OF=OAtgα=(－1)
EC=BC－BE=1－1tgα=1－+1=2－=(－1)
∴EC=20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处.把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明.同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则SinB+CosB的值（）
（A）大于1（B）小于1
（C）等于1（D）不确定
2.在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的两个根，求a，b，c及S△ABC
3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）
求证：AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）.从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.
揭示思路：1.在Rt△ABC中，∠C=90°
由锐角三角函数定义，得
∵a+bc
∴SinB+CosB1,应选A.
2.∵SinC=1,∴∠C=90°
∵SinA+CosB=,SinACosB=
又A+B=90°,∴B=90°－A
∴CosB=Cos(90°－A)=SinA
∴c=4,A=30°,a=2,b=
3.猜想如下：
对于中图有：CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
对于右图有：CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法1.如图,设∠AEA＇=α,则AA＇=AESinα=(OA－OE)Sinα=OASinα－OESinα，又CC＇=CESinα=(OC+OE)Sinα=(OA+OE)Sinα=OASinα+OESinα
∴CC＇－AA＇=2OESinα
∵OO＇=OESinα,∴CC＇－AA＇=2OO＇
由题设知，OO’为梯形BB’D’D的中位线.
∴BB＇+DD＇=2OO＇
∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
（2）如图，仿（1）证法可得
CC＇－AA＇=2OESinα
DD＇－BB=2OFSinβ
∵OESinα=OFSinβ,
∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法二：（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F，又设∠AFA＇=α，则∠BEB＇=α，在Rt△EBB＇中，
∵BE=CE－CB
∴BB＇=BESinα－CBSinα
在Rt△ECC＇中，Sinα=,
∴CC’=CESinα
∵CC＇－BB＇=BCSinα
在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.
AA＇=AFSinα,DD＇=DFSinα
∵DF=AD－AF
∴DD＇=ADSinα－AFSinA＇
∴DD＇=ADSinα－AA＇
∴DD＇+AA＇=ADSinα
∵AD=BC,∴CC＇－BB＇=DD＇+AA＇
∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
（2）仿证法（1）同样可证得
CC＇+BB＇=BCSinα
AA＇+DD＇=ADSinα
∴CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，
∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法三：（1）如图，作DE⊥CC＇，则DD＇C＇E为矩形，∴CE=CC＇－DD＇
设∠AFA＇=α，则易知∠CDE=α在Rt△CDE中，
∴CC＇－DD＇=CDSinα
在Rt△AFA＇中，AA＇=AFSinα
在Rt△FBB＇中，BB＇=BFSinα
∴BB＇=(AB－AF)Sinα=ABSinα－AFSinα
∴AA＇+BB＇=ABSinα
∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇
∴CC＇－AA＇=DD＇+BB＇
（2）如图，仿（1）同法可证：
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
【创新园地】
已知△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c那么a：b：c=_________（本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.
解法一：过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D.
∴∠BAC=120°，
∠ABC=15°,∴∠ACB=∠DBC=45°,∠ABD=30°
在Rt△ABD中，Sin30°=∴AD=c
Cos30°=，∴BD=
∴b－BD－AD=
a=
∴a：b：c=
=
解法二：如图，作AD⊥BC，交BC于D，在AB上取AE=AC，连CE，作AF⊥CE，交CE于F，则∠ACE=∠AEC=，∠BCE=∠ACB－30°=45°－30°=15°
∴△BEC为等腰三角形，∴BE=CE
设AD=CD=1，则AC=，即b=
∴CE=2ACCos30°=
∴AB=AE+EB=+，即c=+
∴BD=
∴BC=BD+DC=3+，即a=3+
∴a：b：c=（3+）：：（+）
=
解法三：如图，作AD⊥BC,交BC于D,在BC上取点E，使∠BAE=∠B=15°,那么，连接AE，得：∠AEC=30°，AE=BE.设AD=DC=1，则AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30°=
∴
即c=+
∴a：b：c=(3+)：：(+)
=
解法四：如图，BD=x，则2x2=a2，
∴x=
=（参照解法一图）
解法五：
以BC为直径作⊙o，延长CA交⊙o于在，连BD，设a=2r，则BD=r,AD=
=
解法六：建立如图坐标系，则可求：
解法七：建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则
解法八：建立如图坐标系，设C(－1，0)，B(1，0)，延长CA交Y轴于点D，连结BD，则D点坐标是(0，1)，那么|BD|=|CD|=
本例还可用面积法证明，如S△CBD=aBD，Sin45°=BD2∴BD=……
