八年级竞赛讲座(第28讲奇妙的对称)。

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写一段优秀的教案课件吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“八年级竞赛讲座(第28讲奇妙的对称)”，相信能对大家有所帮助。

第二十八讲奇妙的对称
对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．
对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．
对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．
对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．
例题求解
【例1】如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．
注物理学家皮埃尔•居里曾说，“结果与其原因一样对称．”
大干世界，许多事物都具有某种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，
人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．
求几何量的最值问题常用方法有：
(1)应用几何中的不等式性质，定理；
(2)对称分析；
(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．
【例2】如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为()
A．2B．C．D．(“新蕾杯”数学竞赛题)

思路点拨C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．
【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设计一种方案：
(1)板面形状为非正方形的中心对称图形；
(2)板面形状为等腰梯形；
(3)板面形状为正方形．
思路点拨问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为．
【例4】已知，试确定、的关系．
(江苏省竞赛题)
思路点拨有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简解．
注数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式，表示．
许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则．
用对称法解几何题的常见的方式有：
(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；
(2)利用中点构造中心对称图形．
【例5】如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比较BC+AD与AB+CD的大小．(“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨以AC为对称轴，将部分图形翻折，把相关线段集中到同一个三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，这是解本例的关键．
【例6】如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求证：AD2=．
(北京市竞赛题)
思路点拨易想到勾股定理，需要把分散的条件加以集中，利用中点，构造中心对称全等三角形．
学力训练
1．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形；理由是：．(吉林省中考题)

2．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD＝4，P在直线MN上运动，则的最大值等于．
(“希望杯”邀请赛试题)
3．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么B′点与B点的原来位置相距cm．

4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为．(黄冈市中考题)
5．设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是()(2003平龙岩市中考题)

6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走()
A．100mB．1200mC．1300mD．1700m
7．如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为()
A．6a0B．5aC．4aD．2a
8．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P、Q的位置(保留画图痕迹)．
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必证明)
(3)在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等?如果存在，请在图中的AB上画出这一点(保留画图痕迹，不必证明)：如果不存在，请简要说明理由．(2001年浙江省嘉兴市中考题)
9．(1)用四块如图I所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使之形成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)请你任意改变图I瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案(在④中操作)．(仙桃、潜江、天门、江汉油田中考题)

10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FB×FC．
11．如图，设Ll和L2，是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在之间，小球放在镜Ll中的像为A′，A′在镜L2中的像为A″，若Ll、L2的距离为7，则AA″．
(江苏省竞赛题)

12．如图，设M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC的面积为．
13．如图，ABCD—ABCD为长方体，AA=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3×4个小正方形，其边长均为l0cm，得到点E、F、G、H和E，、F，、G，、H，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面E点沿表面爬行至上底面G，点至少要花时间
秒．
14．无理数的整数部分是．(“希望杯”邀请赛试题)
15．当等于，，…，，1，2，…，1992，1993时，计算代数式的值，再将所得的结果全部加起来，总和等于．
16．一束光线经3块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=60°，求d+e与x的值．
17．如图，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一点，求证：AC+BP＜AB+PC．

18．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．
19．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似．(2004年武汉市选拔赛试题)

延伸阅读

八年级竞赛讲座(第19讲平行截割)

第十九讲平行截割
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．
利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形：

例题求解
【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

思路点拨图中有形如“X”型的基本图形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一条线段的代数式表示．
【例2】如图，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为()
A．B．1C．D．2
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含，的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．
【例3】如图，BD、BA，分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
(1)求证：四边形AEBD为矩形；
(2)若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且，求证：△AHG是等腰三角形．
(厦门市中考题)

思路点拨对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG．
【例4】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
(上海市闽行区中考题)

思路点拨对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF，即需证明，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．
注若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：
(1)利用比例线段求线段的长度；
(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．
【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM×PN=PR×PS
(山东省竞赛题)

思路点拨由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系
学力训练
1．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果，则．
(南通市中考题)
2．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则；若，则．(江苏省镇江市中考题)

3．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为．
(苏州市中考题)
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代数式表示y得．
(黑龙江省中考题)

5．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．
其中正确比例式的个数有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q是BD、CE的中点，则等于()
A．B．C．D．
7．如图，已知在平行四边形ABCD中，O1、O2，O3为对角线BD上三点，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，连结AOl并延长交BC于点C，连结EO3延长交AD于点F，则AD：FD等于()
A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1
(河北省中考题)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE等于()
A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1
(江苏省竞赛题)
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，E是AB上一点，AE=2BE，M是腰BC的中点，连结EM并延长交DC的延长线于点F，连结BD交EF于点N求证：BN：ND=l：10．(河南省中考题)
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．
(1)求证：OE=OF，(2)求的值；
（3）求证：．

11．已知如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，我们可以证明成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
(1)还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；
(2)请找出S△ABD，S△BED，S△BDC间的关系式，并给出证明．
(黄冈市中考题)
12．如图，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，BE延长后交AD于F，那么=．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)

13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点，设BC=a，CD=b，CE=c，则CF=．
(山东赛区选拔赛试题)
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为．
15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的E、D、B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为m．
(2000年全国初中数学联赛试题)
16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E，F是BC的三等分点．AE、AF分别交BD于M、N两点，则BM：MN：ND=()
A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2
(2004年武汉市选拔赛试题)

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为()
A．B．C．D．
(山东省竞赛题)
18．如图，平行四边形ABCD中，F、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正确的结论有()
A．1个B．2个C．3个D．4个

19．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值()
A．B．C．D．
20．如图，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山东省竞赛题)

21．如图，已知在平行四边形ABCD中，F为AB边的中点，AF=FD，FE与AC相交于G，求证：AG=AC．
22．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE．
(湖北省黄冈市竞赛题)
23．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
(1)当时，有(如图甲)；
（2）当时，有(如图乙)；
(3)当时，有(如图丙)；
在图丁中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明(其中n是正整数)
(山西省中考题)

24．如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F．
(1)求证：EF∥BD；
(2)设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF=S，求n的值．(山东省竞赛题)

八年级竞赛讲座(第24讲配方法的解题功能)

第二十四讲配方法的解题功能
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．
运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．
例题求解
【例1】已知有理数x，y，z满足，那么(x—yz)2的值为．(北京市竞赛题)
思路点拨三元不定方程，尝试从配方法人手．
【例2】若，则可取得的最小值为()
A．3B．C．D．6
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨通过引参，设，把x，y，z用k的代数式表示，则转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式：．
(匈牙利数学奥林匹克试题)
思路点拨一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．
【例4】求方程m2－2mn+14n2=217的自然数解．(上海市竞赛题)
思路点拨本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．
【例5】求实数x、y的值，使得(y－1)2+(x+y－3)2+(2x+y－6)2达到最小值．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x、y的值．
【例6】为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC＝AH=CF=CG，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．
(2温州市中考题)
思路点拨这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm，则BE=DG=(20－x)m，四边形EFGH的面积可用x的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．
注配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：
(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；
(2)非负教的最小值为零．
学历训练
1．若，则．
(2江西省中考题)
2．设，，则的值等于．
(“希望杯”邀请赛试题)
3．分解因式：=．
4，已知实数x、y、z满足，，那么=．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
5．若实数x、y满足，则的值是（）
A．1B．C．D．
6．已知，，，则多项式的值为()
A．0B．1C．2D．3
(全国初中数学竞赛题)
7．整数x、y满足不等式，则x+y的值有()
A．1个B．2个C．3个D．4个(“希望杯”邀请赛试题)
8．化简为()
A．5－4B．4－lC．5D．1(2003年天津市竞赛题)
9．已知正整数a、b、c满足不等式，求a、b、c的值．
(江苏省竞赛题)
10．已知x、y、z为实数，且满足，求的最小值．
(第12届“希望杯”邀请赛试题)
11．实数x、y、z满足，则的值为．
12．若，则a+b+c的值为．
13．x、y为实数，且，则x、y的值为x=，y=．
14．已知，那么当x=，y=时，M的值最小，M的最小值为．
15．已知，，则a+b＝()
A．4B．0C．2D．－2
(重庆市竞赛题)
16．设，，则的值为()
A．B．C．2D．(江苏省竞赛题)
17．若a、b、c、d是乘积为l的4个正数，则代数式的最小值为()
A．0B．4C．8D．10
18．若实数a、b、c满足，代数式的最大值是()
A．27D．18C．15D．12
19．已知x+y+z=1，求证：．
(苏奥尔德莱尼基市竞赛题)
20．已知a>b，且，a、b为自然数，求a、b的值．
21．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，，，试求
△ABC的面积．
22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k的值．(山东省竞赛题)

八年级竞赛讲座(第6讲实数的概念及性质)

第六讲实数的概念及性质
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．
由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且．
2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．
例题求解
【例1】若a、b满足3=7，则S＝的取值范围是．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨运用、的非负性，建立关于S的不等式组．
注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
【例2】设是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个()
A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．
【例3】已知a、b是有理数，且，求a、b的值．
思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．
【例4】(1)已知a、b为有理数，x，y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值．(南昌市竞赛题)
(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)
思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)运用的性质，简化方程．
注：设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：
(1)x－1≤x(2)若y

【例5】已知在等式中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：
(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；
(2)当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨(1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：
设a是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a≠0，则ar也是无理数；③
r的倒数也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论．
注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．

学力训练
1．已知x、y是实数，，若，则a=．
(2002年个数的平方根是和，那么这个数是．
3．方程的解是．
4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴；同样∵1112=12321，∴；…由此猜想．
(济南市中考题)
5．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是()
A．B．C．D．
(江西省中考题)
6．已知x是实数，则的值是()
A．B．C．D．无法确定的
(“希望杯”邀请赛试题)
7．代数式的最小值是()
A．0B．C．1D．不存在的
(“希望杯”邀请赛试题)
8．若实数a、b满足，求2b+a－1的值．
(山西省中考题)

9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；，；…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．(烟台市中考题)
10．已知实数a、b、c满足，则a(b+c)=．
11．设x、y都是有理数，且满足方程，那么x－y的值是．
(“希望杯’邀请赛试题)
12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=．
(四川省竞赛题)
13．已知正数a、b有下列命题：
①若a=1，b＝1，则；②若，则；
③若a＝2，b=3，则；④若a=1，b=5，则．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则．
(黄冈市竞赛题)
14．已知：，那么代数式的值为()
A．B．C．D．
(重庆市竞赛题)
15．设表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数)，则+++…+的值为()
A．5151B．5150C．5050D．5049
(“五羊杯”邀请赛试题)
16．设aA．B．C．D．3
(全国初中数学竞赛题)
17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证：为有理数．
18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．
(安徽省中考题)．
19．阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．
例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=，所以log2=－3．
(1)根据定义计算:
①log381=；②log33=；③log3l=；④如果logx16=4，那么x=．
(2)设ax=M，ay＝N，则logaM=x；logaN＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均为正数)．
用logAM，logAN的代数式分别表示logaMN及loga，并说明理由．
(泰州市中考题)
20．设，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：
(1)当bc=ad时，y是有理数；
(2)当bc≠ad时，y是无理数．
设△ABC的三边分别是a、b、c，且，试求AABC的形状．