矩形的判定。
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20．2矩形的判定（2）教学目标：
1．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
2．通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想
教法设计：观察、启发、总结、提高，类比探讨，讨论分析，启发式．
教学重点：矩形的判定．
教学难点：矩形的判定及性质的综合应用．
教具学具准备：教具（一个活动的平行四边形）
教学步骤：
一．复习提问：1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？二．引入新课
设问：1．矩形的判定．
2．矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．
方法1：有三个角是直角的四边形是矩形．（并让学生写出推理过程。）
矩形判定方法2：对角钱相等的平行四边形是矩形．（分析判定方法2和学生一道写出证明过程。）
归纳矩形判定方法（由学生小结）：
（1）一个角是直角的平行四边形．（2）对角线相等的平行四边形．
（3）有三个角是直角的四边形．
2．矩形判定方法的实际应用
除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．
3．矩形知识的综合应用。（让学生思考，然后师生共同完成）
例：已知的对角线，相交于
，△是等边三角形，，求这个平行
四边形的面积（图2）．
分析解题思路：（1）先判定为矩形．（2）求出△的直角边的长．（3）计算．
三．小结：（1）矩形的判定方法l、2都是有两个条件：①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角．
矩形的判定方法有哪些？
一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形-—是矩形。
有三个角是直角的四边形
（2）要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．
补充例题
例1：已知：O是矩形ABCD对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，AE=BF=CG=DH，
求证：四边形EFGH为矩形
分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明
证明：∵ABCD为矩形
∴AC=BD
∴AC、BD互相平分于O
∴AO=BO=CO=DO
∵AE=BF=CG=DH
∴EO=FO=GO=HO
又HF=EG
∴EFGH为矩形
例2：判断
（1）两条对角线相等四边形是矩形（）
（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形（）
（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（）
分析及解答：
（1）如图（1）四边形ABCD中，AC=BD，但ABCD不为矩形，∴×
（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，∴对角线相等的平行四边形为矩形∴√
（3）如图（2），四边形ABCD中，∠B=90°，但ABCD不为矩形∴×
（4）矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等∴×，如图（3），
延伸阅读
矩形和正方形的判定
第四章四边形性质探索
４．矩形、正方形（二）
黄凌
一．学生情况分析
学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习精力、经验和感受，这将更有利于学生对本节课的学习。
二．教学任务分析
教学目标：
知识目标：
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
能力目标：
1.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
2．在直观操作活动和简单的说理过程中，发展学生初步的合情推理能力、主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。
情感与价值观
1.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点
教学重点：正方形的性质的应用．
教学难点：正方形的性质的应用．
三、教学过程设计
课前准备
教具准备:一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀．
学生用具：白纸、剪刀
教学过程设计分成四分环节：
第一环节：巧设情境问题，引入课题
第二环节：讲授新课
第三环节：新课小结
第四环节：布置作业
第一环节巧设情境问题，引入课题
进入正题，提出本节课的研究主题——正方形
第二环节讲授新课
主要环节
（1）呈现两种通过不同途径得到正方形的过程，给正方形下定义
（2）讨论正方形的性质
（3）通过练习加强对正方形性质的理解
（4）寻找平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系。
（5）寻找正方形的判定方法
目的：
1．正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到。于是在课上呈现这两种变化，为后面寻求平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系打下基础。
2．由于采用了两种正方形形成的方式，因此正方形的性质和判定方法都可以从中挖掘和发现。
大致教学过程
呈现一个平行四边形变成正方形的全过程．（演示）
由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形．
这个变化过程，可用如下图表示
由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形．即：一组邻边相等的矩形叫做正方形．
这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形．
这个变化过程，也可用图表示
你能根据上面的变化过程，给正方形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形是菱形．正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形．
由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形．
因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
正方形的性质：
边：对边平行、四边相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线．
例题
［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数．
分析：本题是正方形的性质的直接应用．正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性．
解：正方形ABCD是菱形，对角线AC，BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°．正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此：∠OAB=45°
拿出准备好的剪刀、白纸来做一做
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠，想，剪切）
只要保证剪口线与折痕成45°角即可．因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形．
正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？
正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？
它们的包含关系如图：
此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？
先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．
第三环节课堂练习
教材随堂练习1，2
第四环节课时小结
正方形的定义：一组邻边相等的矩形．
正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：（出示小黑板）
第五环节课后作业
课本习题4.71，2，3．
四．教学设计反思
在教材中，并没有明确的给出正方形的判定定理。那么教师在课堂上应该帮助学生理清思路，使他们明确判定的方法。
为了实现这个目标，在本节课的开始，教师就采取了两种方式呈现正方形的形成过程，在直观上帮助学生认识了正方形与矩形、正方形与菱形之间的关系；在讲解正方形性质的过程中又再次强化了这种认识。通过层层铺垫，让学生明确矩形＋邻边相等就是正方形，菱形＋一个直角就是正方形，如何判定图形是矩形或是菱形，前面已经学习过，因此关于正方形的判定是需要一个条件一个条件“叠加”完成的。
八年级数学下册《矩形的判定》教案
八年级数学下册《矩形的判定》教案
一、内容分析：矩形的判定是人教版八年级数学第18章平行四边形第2课时内容，矩形作为特殊的平行四边形是几何中的基本图形，也是人们日常生活和生产中应用很广泛的一种几何图形，它与生活实际密切联系。矩形的判定是以四边形和平行四边形以及全等三角形等有关知识为研究基础的，因此，矩形的判定又是四边形和平行四边形应用的深化和扩充。矩形是又一个特殊条件的平行四边形，它的判定又将作为研究探索有两个特殊条件的正方形的基础，所以在这里起着承上启下的作用。
二、教学目标
1、理解并掌握矩形的判定方法。能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
2、经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法。
3、培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要。
三、教学重点与难点
重点：矩形的判定的内容。
难点：矩形判定定理的证明以及灵活应用。
四、教学手段方法：
多媒体直观演示与几何论证相结合，由易到难、层层深入的探究式教学方法进行教学。
五、教学过程
一）、复习引入：
1、矩形的定义是什么？
师生互动：学生根据提问举手回答问题。教师明确指出：矩形的定义具有两重性，既是矩形的性质，又可以作为矩形的一种判定方法）
2、矩形有哪些性质？
师生互动：教师在学生回答的基础上，进行梳理总结。
矩形具有平行四边形的性质
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
设计意图：师生共同整理矩形的特性，并强调重点词语，加深学生记忆。帮助学生弄清知识之间的区别于联系，从而吸收内化为学生自己的知识
教师引课：前面我们学习了矩形的定义、性质，今天学习什么？
板书：矩形的判定
二）、指导探究
根据下列探究提纲探究新知：
1工人师傅为了检验做的四边形窗框是否成矩形，
他不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常
常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确
保图形是矩形,你知道其中的道理吗？
2、按照画“边—直角、边—直角、边—直角、边”
这样四步画出一个四边形它是一个矩形吗？
你能根据以上做法分别提出什么猜想？能证明你的猜想吗？
师生互动让学生根据探究提纲提出猜想，尝试证明
设计意图：从生活实际中实例开始探究易于引起学生的探究热情，鼓励学生逐步深入探究，发展实验探索意识和锲而不舍的探索精神
三）、展示归纳
矩形判定定理1、对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ABCD中，AC=BD。求证：□ABCD是矩形。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
∴AB=CD
∵BC=CB，AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB
∵AB//CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°
∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
师生互动：学生说出已知和求证，并尝试证明。教师强调证明文字命题的的基本格式，让学生养成规范证明的习惯，认识到数学基本功要靠平时锻炼。一定要重视“数学基本功”。
3、归纳新知：目前，我们已经学习了矩形的几种判定方法？
学生口述，教师用几何语言出示：
1）、定义判定法
∵在□ABCD中,∠A=90°
∴□ABCD是矩形。
2）、判定定理1
∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形。
3）、判定定理2
∵在□ABCD中,AC=BD
∴□ABCD是矩形。
设计意图：梳理矩形的三种判定方法，意在让学生理解掌握它们逻辑严密的推理过程。并能灵活运用每一种判定方法，解决实际问题。
四）、变式练习
1.下列判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有三个角都相等的四边形是矩形;
（4）有三个角是直角的四边形是矩形；
A
B
C
D
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）一组对角互补的平行四边形是矩形；
2.已知如图四边形ABCD中AB⊥BC，AD∥BC，
AD=BC，试说明四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
C
3.已知□ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积.
4.BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD。
求证：四边形AEBD是矩形。
A
B
C
D
E
P
师生互动：教师出示判断题，强调学习要求。通过小组讨论完成。具体做法，前排学生与后一排学生组成四人小组进行讨论，然后选派代表发言。学生按要求进行讨论，教师巡回检查指导，发现问题及时纠正。
五）、反思与小结
对照以下问题进行评价和反思：
1、我今天收获了哪些知识、方法？
2、我还有哪些困惑？
师生互动：在学生谈收获的基础上，教师梳理知识体系，帮助学生理清知识层次，掌握重点内容，为今后学习打好基础。
六）、思考与延伸
作业：习题18.21、2、3
思考：平行四边形平移一条较短边，使得平行四边形的一组邻边相等，得到的又是怎样的特殊四边形呢？它有何性质呢？（预习）
人教版八年级数学下册《矩形的判定》教学设计
一、内容分析：矩形的判定是人教版八年级数学第18章平行四边形第2课时内容，矩形作为特殊的平行四边形是几何中的基本图形，也是人们日常生活和生产中应用很广泛的一种几何图形，它与生活实际密切联系。矩形的判定是以四边形和平行四边形以及全等三角形等有关知识为研究基础的，因此，矩形的判定又是四边形和平行四边形应用的深化和扩充。矩形是又一个特殊条件的平行四边形，它的判定又将作为研究探索有两个特殊条件的正方形的基础，所以在这里起着承上启下的作用。
二、教学目标
1、理解并掌握矩形的判定方法。能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
2、经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法。
3、培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要。
三、教学重点与难点
重点：矩形的判定的内容。
难点：矩形判定定理的证明以及灵活应用。
四、教学手段方法：
多媒体直观演示与几何论证相结合，由易到难、层层深入的探究式教学方法进行教学。
五、教学过程
一）、复习引入：
1、矩形的定义是什么？
师生互动：学生根据提问举手回答问题。教师明确指出：矩形的定义具有两重性，既是矩形的性质，又可以作为矩形的一种判定方法）
2、矩形有哪些性质？
师生互动：教师在学生回答的基础上，进行梳理总结。
矩形具有平行四边形的性质
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
设计意图：师生共同整理矩形的特性，并强调重点词语，加深学生记忆。帮助学生弄清知识之间的区别于联系，从而吸收内化为学生自己的知识
教师引课：前面我们学习了矩形的定义、性质，今天学习什么？
板书：矩形的判定
二）、指导探究
根据下列探究提纲探究新知：
1工人师傅为了检验做的四边形窗框是否成矩形，
他不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常
常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确
保图形是矩形,你知道其中的道理吗？
2、按照画“边—直角、边—直角、边—直角、边”
这样四步画出一个四边形它是一个矩形吗？
你能根据以上做法分别提出什么猜想？能证明你的猜想吗？
师生互动让学生根据探究提纲提出猜想，尝试证明
设计意图：从生活实际中实例开始探究易于引起学生的探究热情，鼓励学生逐步深入探究，发展实验探索意识和锲而不舍的探索精神
三）、展示归纳
矩形判定定理1、对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ABCD中，AC=BD。求证：□ABCD是矩形。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∵BC=CB，AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB
∵AB//CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°
∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
师生互动：学生说出已知和求证，并尝试证明。教师强调证明文字命题的的基本格式，让学生养成规范证明的习惯，认识到数学基本功要靠平时锻炼。一定要重视“数学基本功”。
3、归纳新知：目前，我们已经学习了矩形的几种判定方法？
学生口述，教师用几何语言出示：
1）、定义判定法
∵在□ABCD中,∠A=90°
∴□ABCD是矩形。
2）、判定定理1
∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形。
3）、判定定理2
∵在□ABCD中,AC=BD
∴□ABCD是矩形。
设计意图：梳理矩形的三种判定方法，意在让学生理解掌握它们逻辑严密的推理过程。并能灵活运用每一种判定方法，解决实际问题。
四）、变式练习
1.下列判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有三个角都相等的四边形是矩形;
（4）有三个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）一组对角互补的平行四边形是矩形；
2.已知如图四边形ABCD中AB⊥BC，AD∥BC，
AD=BC，试说明四边形ABCD是矩形.
3.已知□ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积.
4.BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD。
求证：四边形AEBD是矩形。
师生互动：教师出示判断题，强调学习要求。通过小组讨论完成。具体做法，前排学生与后一排学生组成四人小组进行讨论，然后选派代表发言。学生按要求进行讨论，教师巡回检查指导，发现问题及时纠正。
五）、反思与小结
对照以下问题进行评价和反思：
1、我今天收获了哪些知识、方法？
2、我还有哪些困惑？
师生互动：在学生谈收获的基础上，教师梳理知识体系，帮助学生理清知识层次，掌握重点内容，为今后学习打好基础。
六）、思考与延伸
作业：习题18.21、2、3
思考：平行四边形平移一条较短边，使得平行四边形的一组邻边相等，得到的又是怎样的特殊四边形呢？它有何性质呢？（预习）
