第2节一定是直角三角形吗导学案。

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学科数学年级八年级授课班级
主备教师参与教师
课型新授课课题§1.2一定是直角三角形吗
备课组长审核签名教研组长审核签名
学习目标：1、掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。这是本节的重点和难点。
2、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。
学习内容（学习过程）
一、自主预习（感知）
阅读课本第17---18页，解决下列问题：
1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?
(1)3,4,5,(2)6,8,10

2、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？

3、满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数
4、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（1）9,12,15;(2)15,36,39；（３）12，35，36；（４）12，18，22

二、合作探究（理解）
１、一个零件的形状如图（１）所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（２）所示，这个零件符合要求吗？
Ｃ１３Ｃ
ＤＤ
４５１２

ＡＢＡ３Ｂ
（１）（２）
２、如图，在正方形中，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与同伴交流。
ＡＥＤ
ＢＣ
3：如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？
、填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”
2倍3倍4倍5倍
3,4,56,8,10
5,12,1315,36,39
8,15,1732,60,68
7,24,2570,240,250
已知：a2+b2=c2
求证：（ka）2+（kb）2=（kc）2

三、轻松尝试（运用）
1、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
Ａ、８，15，17；Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40
２、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（）
Ａ、等腰三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形Ｄ、等腰三角形或直角三角形
３、已知：在△ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。试判断△ABC的形状.

四、拓展延伸（提高）
４、如图所示，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９００，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝１３，求四边形ＡＢＣＤ的面积。
五、收获盘点（升华）
本节课你学到了哪些知识？请你总结一下。
六、当堂检测（达标）
１、下列几组数中，为勾股数的是（）
A、4，5，6B、12，16，20C、-10，24，26D、2.4，4.5，5.1
2、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（）
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、都有可能
3、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。

4、如图所示，在△ABC中，AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,∠B与∠C相等吗？为什么？
七、课外作业（巩固）
1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。
②完成《优化设计》中的本节内容。
2、思考题：
学习反思：

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得到直角三角形吗

第一章勾股定理
２．能得到直角三角形吗

一、学生起点分析
学生已经了勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线是平行？因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。

二、学习任务分析
本节课是北师大版数学八年级(上)第一章《勾股定理》第2节。教学任务有：探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简单的实际问题；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验。为此确定教学目标：
●知识与技能目标
1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
●过程与方法目标
1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力。
●情感与态度目标
1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；
2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
教学重点
理解勾股定理逆定理的具体内容。

三、教法学法
1．教学方法：实验—猜想—归纳—论证
本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对通过实验获得数学结论已有一定的体验，但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同学心服口服显得非常迫切，为了实现本节课的教学目标,我力求从以下三个方面对学生进行引导:
(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程；
(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程；
(3)利用探索,研究手段,通过思维深入,领悟教学过程。
2．课前准备
教具：教材、电脑、多媒体课件。
学具：教材、笔记本、课堂练习本、文具。

四、教学过程设计
本节课设计了七个环节。第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：小试牛刀；第四环节：登高望远；第五环节：巩固提高；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业。

第一环节：情境引入
内容：
情境：1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
意图：
通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。
效果：
从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。

第二环节：合作探究
内容1：探究
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：
1．这三组数都满足吗？
2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
意图：
通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
效果：
经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形。
从上面的分组实验很容易得出如下结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形
内容2：说理
提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？
意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形
满足的三个正整数，称为勾股数。
注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识。
活动3：反思总结
提问：
1．同学们还能找出哪些勾股数呢？
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系

第三环节：小试牛刀
内容：
1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22
解答：①②
2．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（）
A250B150C200D不能确定
解答：B
3．如图1：在中，于，，则是（）
A等腰三角形B锐角三角形
C直角三角形D钝角三角形
解答：C
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，(图1)
得到的三角形是（）
A直角三角形B锐角三角形
C钝角三角形D不能确定
解答：A
意图：
通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用
效果
每题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别用了哪些知识。

第四环节：登高望远
内容：
1．一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？

解答：符合要求，又，
2．一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解答：由题意画出相应的图形
AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在△ABC中
=(250+240)(250-240)
=4900==即∴△ABC是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
意图：
利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理。
效果：
学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形（），以便于计算。

第五环节：巩固提高
内容：
1．如图4，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。
解答：4个直角三角形，它们分别是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF
2．如图5，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形
意图：
第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解；第二题在于考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题。
效果：
学生在对所学知识有一定的熟悉度后，能够快速做答并能简要说明理由即可。注意防漏解及网格的应用。

第六环节：交流小结
内容：
师生相互交流总结出：
1．今天所学内容①会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；②满足的三个正整数，称为勾股数；
2．从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算。
意图：
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。
效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用。

第七环节：布置作业
课本习题1．4第1，2，4题。

五、教学反思：
1．充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长，满足，是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题；充分引用教材中出现的例题和练习。
2．注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
3．在利用今天所学知识解决实际问题时，引导学生善于对公式变形，便于简便计算。
4．注重对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注。
5．对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整，不做要求。
由于本班学生整体水平较高，因而本设计教学容量相对较大，教学中，应注意根据自己班级学生的状况进行适当的删减或调整。
附：板书设计
能得到直角三角形吗
情景引入————小试牛刀：登高望远—————
合作探究————１．——————１．——————
２．——————２．——————
３．——————课后作业：

直角三角形（2）导学案

1.2直角三角形（二）
一、问题引入：
1.直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；
2.问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论.
问题2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？不妨动手做一做，并证明你的作法的正确性.
二、基础训练:
1.（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.

2.D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，
求证BF=CE[解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED
三、例题展示：
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形.
B.两条锐角边对应相等的两个直角三角形.
C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.
D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.
2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8，15，17②4，5，6③7.5，4.8，5④24，25，7⑤5，8，10
A.①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④
3.下列命题中，假命题是（）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形.
B．三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形.
C．三边长之比为的三角形是直角三角形.
D．三边长之比为的三角形是直角三角形.
四、课堂检测:
1.下列说法正确的有（）
（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.
（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等.
（4）有两条边相等的两个直角三角形全等.
（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.下列说法中错误的是（）
A.直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边.
B.等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.
C.直角三角形中每条直角边都小于斜边.
D.等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为

3.以下列各组为边长，能组成直角三角形的是（）
A.8，15，17B.4，5，6C.5，8，10D.8，39，40

4.命题：若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________.
5.AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C｀的位置，
则BC`与BC之间的数量关系是____________.
6.四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD
的面积________.

能得到直角三角形吗

2一定是直角三角形吗

1．勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
(2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2(如图所示)，那么∠C＝90°.
作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B21＝a2＋b2.
∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．
在△ABC和△A1B1C1中，
∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，
∴△ABC≌△A1B1C1.
∴∠C＝∠C1＝90°.
辨误区勾股定理的逆定理的条件
(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”．
(2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角．

利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理.

【例1】如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：AD⊥AB吗？试说明理由．
解：AD⊥AB.
理由：根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.
在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，
所以AB2＋AD2＝BD2.
由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°.
故AD⊥AB.
2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系
勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的．
(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．
(2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题．
(3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”．
(4)二者关系可列表如下：
定理勾股定理勾股定理的逆定理
内容如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
题设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2
结论a2＋b2＝c2三角形是直角三角形
用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法
【例2】如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.
分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．
解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.
3．勾股数
勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm为边长的三角形是直角三角形．
【例3】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．
上面各组数中，勾股数有______组．()．
A．1B．2C．3D．4
解析：
①√∵72＋242＝252，且7,24,25都是正整数，∴7,24,25是勾股数．
②×∵82＋152≠192，∴8,15,19不是勾股数．
③×∵0.6,0.8,1.0不是正整数，∴0.6，0.8，1.0不是勾股数．
④√∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2(n＞1，且为自然数)，且它们都是正整数，∴3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)是勾股数.
答案：B
析规律勾股数的判断方法
判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．
4．勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角．
【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？
分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形．
解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，
∴AD2＋DC2≠AC2.
∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.
又∵按标准应为长方形，四个角应为直角，
∴该农民挖的地基不合格．
5．利用非负数的性质判定三角形的形状
在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC是否是直角三角形．
谈重点判定三角形的形状
由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．
【例5】如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．
分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．
解：将式子变形，得
a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，
即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.
整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13.
∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，
∴这个三角形是直角三角形．
6．勾股定理及其逆定理的综合应用
(1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决．
(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．
【例6】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，BC＝12cm，CD＝13cm.求四边形ABCD的面积．
分析：根据AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，可连接BD构成直角三角形，通过判断△BCD是直角三角形解决问题．
解：连接BD，在△ABD中，∵AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，
根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52，∴BD＝5cm.
在△BCD中，∵BD＝5cm，BC＝12cm，CD＝13cm，BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD
＝12×3×4＋12×5×12＝36cm2.