初二数学上第三章图形的平移与旋转回顾与思考导学案。
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3.6第三章回顾与思考
【学习目标】：1．归纳梳理知识，形成知识体系，巩固知识，增强数学应用意识
【回顾与思考】：
活动一：1平移是否改变图形的位置、形状、大小？通过实例说明.旋转呢?
2.经过平移,对应点所连的线段之间有什么关系?为什么?
经过旋转,每一对对应点与旋转中心之间有什么关系?为什么?
活动二：
3.观察图中的菊花图案,
(1)它可以看作是由哪个基本图形通过这样的变换得到?
(2)该菊花图案绕中心旋转多少度后能和原来的图案互相重合?
【知识应用】：
1、如图,四边形EFGH是由四边形ABCD平移
得到的,已知AD=5,∠B=700,则()
A.FG=5,∠G=700B.EH=5,∠F=700
C.EF=5,∠F=700D.EF=5.∠E=700
2、如图,所给的图案由ΔABC绕点O顺时针
旋转()前后的图形组成的。
A.450、900、1350B.900、1350、1800
C.450、900、1350、1800、2250
D.450、1350、2250、2700.
3.请你把先向右平移5格得到，再把绕点逆时针旋转900的得到.
4、如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点。
（1）请画出旋转后的图形，你能说出此时△ABC以点B为旋转中心旋转了多少度吗？
（2）求出PG的长度？
（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由？
（4）请你计算出的角度？
【当堂反馈(小测)】：
1、在括号内填上图形从甲到乙的变换关系：
2、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，秒针旋转的角度是．
3、下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是．
4、经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形．
5、在右图中作出“三角旗”绕O点
按逆时针旋转90°后的图案．
6、如图1，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，ΔABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与ΔADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图2.两次旋转的角度分别为（）.
图1图2
（A）45°，90°（B）90°，45°（C）60°，30°（D）30°，60°
7、如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时，
传送带上的物体A平移的距离为cm。
8、阅读下面材料：
如图(1)，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；
如图(2)，以BC为轴，把△ABC翻折180，可以变到△DBC的位置；
如图(3)，以点A为中心，把△ABC旋转180，可以变到△AED的位置．
像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
回答下列问题：
①在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；
②指图中线段BE与DF之间的关系，为什么？
扩展阅读
图形的平移与旋转导学案
教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该在准备教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，新的工作才会更顺利！有多少经典范文是适合教案课件呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“图形的平移与旋转导学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。
§2.2提公因式法（二）
学习目标：
1.掌握用提公因式法分解因式的方法
2.培养学生的观察能力和化归转化能力
3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点
预习作业
1．把分解因式，这里要把多项式看成一个整体，则_______是多项式的公因式，故可分解成___________________
2．请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）（2）y－x=__________（x－y）
（3）b+a=__________（a+b）（4）_________
（5）_________（6）_________
（7）__________（8）________
3．一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“”或“—”）：
例2把下列各式分解因式:
（1）（2）
（3）
变式训练
1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）
A.B.C.D.
2.下列因式分解中正确的是（）
B.
C.D.
3.用提公因式法将下列各式分解因式
（1）(2)
（3）(4)
(5)先分解因式，再计算求值
，其中
拓展训练
1．若，则_______________
2.长，宽分别为，的矩形，周长为14，面积为10，则的值为_________
3．三角形三边长，，满足，试判断这个三角形的形状
3、运用公式法（一）
学习目标：
（1）了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
本节重难点：
用平方差公式进行因式分解
中考考点：正向、逆向运用平方差公式。
预习作业：
请同学们预习作业教材P54~P55的内容：
1.平方差公式字母表示:.
2.结构特征：项数、次数、系数、符号
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3）=；
（2）（4x+y）（4x–y）=；
（3）（1+2x）（1–2x）=；
（4）（3m+2n）（3m–2n）=．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2=；
（2）16x2–y2=；
（3）x2–9=；
（4）1–4x2=．
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央
例1：把下列各式因式分解：
（1）25–16x2（2）9a2–
变式训练：
（1）（2）
例2、将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2（2）2x3–8x
变式训练：
（1）（2）
注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式
2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式
3、各项都有公因式，一般先提公因式。
例3：已知n是整数，证明：能被8整除。
拓展训练：
1、计算：
2、分解因式：
3、已知a,b,c为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。
图形的平移与旋转
第二十九讲图形的平移与旋转
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．
几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．
如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．
平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．
如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．
旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．
通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．
注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．
例题求解
【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD=．
思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．
【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN=x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而改变
思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
注下列情形，常实施旋转变换：
(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；
(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；
(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．
(全俄数学奥林匹克竞赛题)
思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．
注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．
【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1．(西安市竞赛题)
思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．
注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：
(1)两点间线段最短，垂线段最短；
(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【例5】如图，等边△ABC的边长为，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长．(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．
学历训练
1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．
2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB．
3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为．
4．如图，把△ABC沿AB边平移到△ABC的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是()
A．B．C．lD．(2002年荆州市中考题)
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
(2003年江苏省苏州市中考题)
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S四边形ABCDd=8，则BE的长为()
A．2B．3C．D．(2004年武汉市选拔赛试题)
7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为和，对角线BD、FH都在直线上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．
(1)计算：O1D=，O2F=；
(2)当中心O2在直线上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=；
(3)随着中心O2在直线上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)．(徐州市中考题)
8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：
在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；
在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；
（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=，,S2=，S3=；
（3）联想与探索：
如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
(2002年河北省中考题)
9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．
说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是cm2．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．
(绍兴市中考题)
12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是()
A．PA+PB+PC>AB+ACB．PA+PB+PCC．PA+PB+PC＝AB+ACD．无法确定
13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为()
A．B．C．5D．6
(2004年武汉市选拔赛试题)
14．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE，连DE，求证：DE>DC．
15．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满，求△ABC的面积．
16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，∥表示小河甲，∥表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米?(“五羊杯”竞赛题)
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°，得△A1BlC1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．
(1)证明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；
(2)求△ABC与△A1BlC1公共部分的面积．(山东省竞赛题)
18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．
(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．
(江苏省连云港市中考题)
北师大版八年级数学下第三章图形的平移与旋转全章复习与巩固（提高）知识讲解
《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；
3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；
4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
要点诠释：
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小．
2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．
要点诠释：
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
3.平移与坐标变换：
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．
(2)图形的平移
平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
要点诠释：
（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．
要点二、旋转变换
1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
要点诠释：
（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.
（2）旋转的角度一般小于360°.
（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）
２．旋转变换的性质：
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
３．旋转作图步骤：
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④按原图形连结方式顺次连结各对应点.
要点三、中心对称与图案设计
1．中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．
要点诠释：中心对称的性质：
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．
2.中心对称图形：
把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
要点诠释：中心对称作图步骤：
①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
3.图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．
【典型例题】
类型一、平移变换
1.阅读理解题．
（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；
（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；
（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；
（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；
（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．
【思路点拨】
（3）画出图形，根据图形得出即可；
（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；
（5）把n=2013代入求出即可．
【答案与解析】
解：（3）
如图有12对不同的对顶角，
故答案为：12．
（4）有n（n-1）对不同的对顶角，
故答案为：n（n-1）；
（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，
故答案为：4050156．
【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．
举一反三：
【变式】（2017莒县模拟）如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）．
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
2．（2015春召陵区期中）如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1=，S2=，S3=；
（3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
【思路点拨】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可．
（2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以a﹣1为长，b为宽的长方形的面积．
（3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以a﹣2米为长，b米为宽的长方形，根据长方形的面积可得小路部分所占的面积．
（4）结合图形可知，小路部分所占的面积=a米为长，b米为宽的长方形的面积﹣a米为长，1米为宽的长方形的面积﹣2米为长，b米为宽的长方形的面积+2米为长，1米为宽的长方形的面积．
【答案与解析】
解：（1）画图如下：
（2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b
猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab﹣b
方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；
2、将左侧的草地向右平移一个单位；
3、得到一个新的矩形
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b．其水平方向的长变成了a﹣1，
所以草地的面积就是：b（a﹣1）=ab﹣b．
（3）∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位，
∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2）b；
（4）∵小路任何地方的宽度都是1个单位，
∴空白部分表示的草地面积是ab﹣a﹣2b+2．
【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）．
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．无法确定
【答案】B.
四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．
类型二、旋转变换
3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：
（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．
（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．
（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．
【思路点拨】
（1）根据图形特点即可得到答案；
（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；
（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．
【答案与解析】
解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．
（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．
证明：延长AF交BE于M，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OEB=90°，
∴∠FAO+∠OEB=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．
（3）成立；
证明：延长EB交AF于N，
∵正方形ABCD，
∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，
∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，
∴∠ABF=∠BCE，
∵AB=BC，BF=CE，
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，
∴∠E+∠FAB=45°，
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠ANE=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
4.如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接
EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2)．
(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；
(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.
【答案与解析】
解：(1)AE1＝BF1，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF.
∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE1＝OF1.
∵∠AOB＝∠EOF＝900，∴∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.
在△E1OA和△F1OB中，，
∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.
∴AE1＝BF1.
(2)取OE1中点G，连接AG.
∵∠AOD＝900，＝30°，
∴∠E1OA＝900－＝60°.
∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.
∴AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.
∴∠E1AO＝90°.
∴△AOE1为直角三角形.
【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定.
举一反三：
【变式】在等边三角形ABC中有一点P，已知PC＝2,PA＝4，PB＝，则∠APB＝.
【答案】90°
类型三、中心对称与图形设计
5.如图，方格纸中四边形ABCD的四个顶点均在格点上，将四边形ABCD向右平移5格得到四边形A1B1C1D1．再将四边形A1B1C1D1，绕点A逆时针旋转180°，得到四边形A1B2C2D2．
（1）在方格纸中画出四边形A1B1C1D1和四边形A1B2C2D2．
（2）四边形ABCD与四边形A1B2C2D2．是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心；若不成中心对称，请说明理由．
【思路点拨】
（1）首先把各个顶点平移，以及作出对称点，然后顺次连接各个对称点即可作出对称图形；
（2）观察所作图形，对称点连线的交点就是对称中心．
【答案与解析】
解：（1）
（2）两个图形关于点O对称中心．
【总结升华】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．
举一反三：
【变式】（罗平县校级期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
①写出A、B、C的坐标．
②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1．
【答案】
解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；
②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示：
6.如图，这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的？你能依照其中的图案自己设计一个图案吗？
【答案与解析】
解：（1）答案不惟一，可以看作是一个小正方形图案连续平移48次，平移前后所有的图形共同组成的图案．
（2）答案不唯一，可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形，以直角顶点为中心、按同一个方向分别旋转，旋转前后的四个图形共同组成的图案．
【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．
举一反三：
【变式】下列图形中，能通过某个基本图形平移得到的是（）．
A.B.C.D.
【答案】D.
