八年级数学上册第3章实数（湘教版）。
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家静下心来写教案课件了。只有规划好了教案课件新的工作计划，才能在以后有序的工作！有没有好的范文是适合教案课件？下面是由小编为大家整理的“八年级数学上册第3章实数（湘教版）”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
第3章实数
3.1平方根
第1课时平方根、算术平方根
1.能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.(重难点)
2.理解开平方与平方两者之间的联系与区别.
3.认识非负数的平方根的特点.(重点)
自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题.
(一)知识探究
1.平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，(±r)2＝a，所以a的平方根有且只有两个：r与－r；算术平方根：把a的正平方根叫作a的算术平方根.
2.正数a的平方根表示为±a；算术平方根表示为a；负平方根表示为－a.
3.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数.
4.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作0，负数没有平方根.
5.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算.
(二)自学反馈
1.25的平方根是±5，3是9的算术平方根.
2.3表示3的算术平方根；如果－x2有平方根，那么x的值为0.
3.切一块面积为16cm2的正方形钢板，它的边长是多少？
解：4cm.
活动1小组讨论
例1分别求下列各数的平方根：36，259，1.21.
解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±36＝±6.
由于(53)2＝259，因此259的平方根是53与－53，即±259＝±53.
由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±1.21＝±1.1.
求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.
例2分别求下列各数的算术平方根：100，1625，0.49.
解：由于102＝100，因此100＝10.
由于(45)2＝1625，因此1625＝45.
由于0.72＝0.49，因此0.49＝0.7.
活动2跟踪训练
1.下列说法不正确的是(C)
A.－2是2的平方根B.2是2的平方根
C.2的平方根是2D.2的算术平方根是2
一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.
2.求下列各式的值：
(1)±2.89；(2)－256169；(3)1916；(4)±（－11）2.
解：(1)±1.7.(2)－1613.(3)54.(4)±11.
活动3课堂小结
本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算.
第2课时无理数、用计算器求算术平方根
1.理解无理数的概念和它的本质特征.(重点)
2.正确使用计算器求一个数的算术平方根.(重点)
自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题.
(一)知识探究
1.无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：(1)圆周率：π；(2)开方不尽的数：如2；(3)特殊规律的数，如：0.010__010__001….
2.用计算器求正数a的平方根：按键→输入数字a→按＝键.
(二)自学反馈
1.在等式x2＝6中，下列说法中正确的是(D)
A.x可能是整数B.x可能是分数
C.x可能是有理数D.x是无理数
2.下列各数中，是无理数的是(B)
A.4B.π2C.13D.12
活动1小组讨论
例用计算器求下列各式的值.
(1)1024；
(2)8(精确到小数点后面第三位).
解：(1)依次按键：1024＝
显示：32
所以，1024＝32.
(2)依次按键：8＝
显示：2.828427125
所以，8≈2.828.
活动2跟踪训练
1.下列说法正确的是(B)
A.有理数只是有限小数
B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数
D.π3是分数
2.在13，3.1415926，0.7070070007…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，2π中，无理数有(B)
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.用计算器求下列各数的值(精确到0.01)：
6.24≈2.50；0.24≈0.49；
123.47≈11.11;__56.88≈7.54.
4.用计算器分别计算：0.0009，0.09，9，900，90000，你能发现什么规律？
解：0.0009＝0.03，0.09＝0.3，
9＝3，900＝30，90000＝300.
我发现：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.
活动3课堂小结
学生概括：1.什么是无理数？
2.怎样用计算器求算术平方根？wWW.JAB88.COm
3.2立方根
1.通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念.
2.会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值.
自学指导：阅读教材P112～113，完成下列问题.
(一)知识探究
1.如果一个数b，使得b3＝a，那么b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作3a.每个数都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
2.求一个数的立方根的运算叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.
3.用计算器求正数a的立方根：按2ndF键→按键→输入被开立方数a→按＝键.
(二)自学反馈
－18的立方根是－12，64的立方根的相反数是－4.
活动1小组讨论
例1分别求下列各数的立方根：1，827，0，－0.064.
解：由于13＝1，因此31＝1；
由于(23)3＝827，因此3827＝23；
由于03＝0，因此30＝0；
由于(－0.4)3＝－0.064，因此3－0.064＝－0.4.
可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根.
例2用计算器求下列各数的立根：
343，－1.331.
解：按键2ndF343＝
显示：7
所以，3343＝7.
按键：2ndF（－）1.331＝
显示：－1.1
所以，3－1.331＝－1.1.
例3用计算器求32的近似值(精确到0.001).
解：按键：2ndF2＝
显示：1.25992105
所以，32≈1.260.
许多有理数的立方根都是无理数，如32，33，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.
活动2跟踪训练
1.下列等式成立的是(C)
A.31＝±1B.3225＝15
C.3－125＝－5D.3－9＝－3
2.立方根等于它本身的数是±1，0.
3.求下列各数的立方根：
(1)27；(2)8125；(3)－63.
解：(1)3.(2)25.(3)－6.
4.下列各式是否有意义？为什么？
(1)－33；(2)－3；(3)3（－3）3；(4)31103.
解：(1)、(3)、(4)有意义，因为任何一个数都有立方根；(2)－3没有意义，因为负数没有平方根.
活动3课堂小结
1.一个数只有一个立方根，且当a0时，3a0；a＝0时，3a＝0；a0时，3a0.
2.3－a＝－3a.
3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根.
3.3实数
第1课时实数的有关概念
1.了解实数的概念，能对实数按要求进行分类.(重点)
2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.(重点)
3.了解实数和数轴上的点一一对应.
自学指导：阅读教材P116～118，完成下列问题.
(一)知识探究
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数有理数整数分数（有限小数或无限循环小数）无理数（无限不循环小数）
3.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，且数轴上每一个点都可以表示唯一的一个实数.
即：实数和数轴上的点一一对应.
4.规定正实数都大于0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.
5.与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中一个叫作另一个数的相反数，也说它们互为相反数.0的相反数是0.实数a的相反数记作－a.
6.正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
(二)自学反馈
1.下列说法正确的是(D)
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
2.－3的相反数是(C)
A.3B.－3C.3D.－3
活动1小组讨论
例1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2，0，1.414，9，π，－23，32，0.1010010001…(相邻两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414，9，－23是有理数，
2，π，32，0.1010010001…是无理数.
实数可以分为有理数和无理数，还可以分为正实数、零和负实数.
例2求下列各数的相反数和绝对值：
－3，π－3.14.
解：因为－(－3)＝3，－(π－3.14)＝3.14－π，
所以－3，π－3.14的相反数分别为3，3.14－π.
由绝对值的意义得：|－3|＝3，|π－3.14|＝π－3.14.
活动2跟踪训练
1.把下列各数填入相应的大括号内：
7.5，15，4，917，23，3－27，0.31，－π，0.15
(1)有理数：{7.5，4，23，3－27，0.31，0.15…}；
(2)无理数：{15，917，－π，…}；
(3)正实数：{7.5，15，4，917，23，0.31，0.15…}；
(4)负实数集合：{3－27，－π，…}.
2.求下列各数的相反数和绝对值：
(1)7；(2)3－8；(3)49.
解：(1)7的相反数是－7，绝对值是7.
(2)3－8的相反数是2，绝对值是2.
(3)49的相反数是－7，绝对值是7.
活动3课堂小结
学生回答：本节课我们学到了哪些知识？
第2课时实数的运算和大小比较
1.了解有理数范围内的运算法则及运算律对于实数仍然成立，会进行实数范围内的运算.(重难点)
2.会用计算器进行实数的运算，并能比较两个实数的大小.(重点)
自学指导：阅读教材P118～120，完成下列问题.
(一)知识探究
1.有理数的运算法则和运算律等对于实数仍然适用.
2.实数可以比较大小：对于实数a，b，如果a－b0，那么ab；如果a－b0，那么ab.正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小.从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
3.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；在实数范围内，负实数没有平方根；每个实数a有且只有1个立方根.
4.实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
(二)自学反馈
1.比较大小：134.(填“＞”“＜”或“＝”)
2.计算：22－1－32＋5.
解：原式＝(22－32)＋(5－1)＝4－2.
活动1小组讨论
例1计算下列各式的值：
(1)(3＋5)－5；(2)23－33.
解：(1)(3＋5)－5
＝3＋(5－5)(加法结合律)
＝3＋0
＝3.
(2)23－33
＝(2－3)3(乘法对于加法的分配律)
＝－3.
例2用计算器计算：2×5(精确到小数点后面第二位).
解：按键：2×5＝
显示：3.16227766
精确到小数点后面第二位得3.16.
所以，2×5≈3.16.
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
活动2跟踪训练
1.比较下列各组数的大小，正确的是(C)
A.1.7＞3B.π＜3.14
C.－5－6D.5＜3100
2.计算：
(1)33－53；(2)1－2＋2－3＋3－2.
解：(1)－23.(2)1.
3.用计算器计算(精确到0.01)：
(1)π－2＋3(精确到0.01)；(2)12＋3×6.
解：(1)3.46.(2)4.74.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获？
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八年级数学上册第1章分式（湘教版）
第1章分式
1.1分式
第1课时分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.
2.(1)分式fg存在的条件是g≠0；(2)分式fg不存在的条件是g＝0；(3)分式fg的值为0的条件是f＝0，g≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中，哪些是分式？
①2b－s；②3000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；5x－7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?
(1)3－xx＋2；(2)x＋53－2x.
解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式3－xx＋2的值不存在.当x＝3时，分式3－xx＋2的值等于0.
(2)当3－2x＝0时，即x＝32时，分式x＋53－2x的值不存在.当x＝－5时，分式x＋53－2x的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.
活动1小组讨论
例1列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是多少.
解：(1)80x；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)x－y4；整式.
例2当x取何值时，分式2x－5x2－4的值存在？当x取何值时，分式2x－5x2－4的值为零？
解：当2x－5x2－4的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；
当2x－5x2－4的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.
分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？
①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.
解：①③是分式.
2.当x取何值时，分式x2＋13x－2的值存在？
解：3x－2≠0，即x≠23时，x2＋13x－2存在.
3.求下列条件下分式x－2x＋3的值.
(1)x＝1；(2)x＝－1.
解：(1)当x＝1时，x－2x＋3＝－14.
(2)当x＝－1时，x－2x＋3＝－32.
活动3课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.
第2课时分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为fg＝（fh）gh(h≠0).
2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)a2b＝ac2bc(c≠0)；(2)x3xy＝x2y.
解：(1)由c≠0，知a2b＝ac2bc＝ac2bc.
(2)由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
2.填空，使等式成立：
(1)34y＝3（x＋y）4y（x＋y）(其中x＋y≠0)；(2)y＋2y2－4＝1（y－2）.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.
3.约分：
(1)a2bcab；(2)－32a3b2c24a2b3d.
解：(1)公因式为ab，所以a2bcab＝ac.
(2)公因式为8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.
活动1小组讨论
例1约分：
(1)－3a3a4；(2)12a3（y－x）227a（x－y）；(3)x2－1x2－2x＋1.
解：(1)－3a3a4＝－3a.
(2)12a3（y－x）227a（x－y）＝4a2（x－y）9.
(3)x2－1x2－2x＋1＝（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x－1.
约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.
例2先约分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1.
解：x2y＋xy22xy＝xy（x＋y）2xy＝x＋y2.
当x＝3，y＝1时，x＋y2＝3＋12.
活动2跟踪训练
1.约分：
(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）；(2)m2－3m9－m2.
解：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）＝3（a＋b）5.
(2)m2－3m9－m2＝m（m－3）（3＋m）（3－m）＝－mm＋3.
2.先约分，再求值：
(1)3m＋n9m2－n2，其中m＝1，n＝2；
(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.
解：(1)3m＋n9m2－n2＝13m－n＝13×1－2＝1.
(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2＝（x＋2y）（x－2y）（x－2y）2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－53.
活动3课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2分式的乘法和除法
第1课时分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fguv＝fugv.
(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定fg÷uv＝fgvu＝fvgu.
(二)自学反馈
1.计算xyy2x的结果是12.
2.化简m－1m÷m－1m2的结果是m.
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)baab＝1；(2)ba÷a＝b；
(3)－x2b6bx2＝3bx；(4)4x3a÷a2x＝23.
解：(1)对.(2)错.正确的是ba2.(3)错.正确的是－3x.(4)错.正确的是8x23a2.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)4x3yy2x3；(2)ab22c2÷－3a2b24cd.
解：(1)原式＝4xy3y2x3＝4xy6x3y＝23x2.
(2)原式＝ab22c24cd－3a2b2＝－ab24cd2c23a2b2＝－2d3ac.
例2计算：
(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－7m.
解：(1)原式＝（a－2）2（a－1）2a－1（a＋2）（a－2）＝（a－2）2（a－1）（a－1）2（a－2）（a＋2）＝a－2（a－1）（a＋2）.
(2)原式＝149－m2m2－7m1＝1（7＋m）（7－m）m（m－7）1＝m（m－7）（7＋m）（7－m）＝－m7＋m.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2跟踪训练
1.计算：
(1)3a4b16b9a2；(2)12xy5a÷8x2y；(3)－3xy÷2y23x.
解：(1)原式＝3a16b4b9a2＝43a.
(2)原式＝12xy5a18x2y＝12xy5a8x2y＝310ax.
(3)原式＝－3xy3x2y2＝－3xy3x2y2＝－9x22y.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.
2.计算：
(1)x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；
(2)2x＋64－4x＋x2÷(x＋3)x2＋x－63－x.
解：(1)原式＝x2－4x2－4x＋3x2－xx2＋3x＋2＝（x＋2）（x－2）（x－3）（x－1）x（x－1）（x＋1）（x＋2）＝x（x－2）（x－3）（x＋1）＝x2－2xx2－2x－3.
(2)原式＝2x＋64－4x＋x21x＋3x2＋x－63－x＝2（x＋3）（x－2）21x＋3（x＋3）（x－2）－（x－3）＝－2（x＋3）（x－2）（x－3）.
分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.
活动3课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.
第2课时分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(fg)n＝fngn.(其中n为正整数)
(二)自学反馈
1.计算：
(1)(2ab)2；(2)(－b2a)3.
解：(1)(2ab)2＝4a2b2.
(2)(－b2a)3＝－b6a3.
2.计算：
(1)(－2ab)2b36a2；(2)(3a2b)2÷(－b2a)2.
解：(1)原式＝4a2b2b36a2＝23b.
(2)原式＝9a4b2÷b24a2＝9a4b24a2b2＝36a6.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)(n2m)3；(2)(a2b－cd3)3.
解：(1)(n2m)3＝n6m3.
(2)(a2b－cd3)3＝（a2b）3（－cd3）3＝a6b3－c3d9.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.
例2计算：
(1)m3n2÷(mn)3；(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3.
解：(1)m3n2÷(mn)3＝m3n2÷m3n3＝m3n2n3m3＝n5.
(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3＝n24m2÷n6m98n3m3＝n24m2m9n68n3m3＝2m4n.
分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.
活动2跟踪训练
1.计算：
(1)2m2n3pq25p2q4mn2÷5mnp3q；
(2)16－a2a2＋8a＋16÷a－42a＋8a－2a＋2；
(3)(a－1a＋3)2÷(a－1)9－a2a－1.
解：(1)原式＝2m2n3pq25p2q4mn23q5mnp＝12n2.
(2)原式＝（4＋a）（4－a）（a＋4）22（a＋4）a－4a－2a＋2＝－2（a－2）a＋2.
(3)原式＝（a－1）2（a＋3）21a－1（3＋a）（3－a）a－1＝3－aa＋3.
2.计算：
(1)(－2x4y23z)3；(2)(2ab3－c2d)2÷6a4b3(－3cb2)3.
解：(1)原式＝（－2x4y2）3（3z）3＝－8x12y627z3.
(2)原式＝4a2b6c4d2b36a4－27c3b6＝－18b3a2cd2.
3.化简求值：b2a2－ab÷(ba－b)2a2ba－b，其中a＝12，b＝－3.
解：化简结果是ab；求值结果为－32.
化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.
1.3整数指数幂
1.3.1同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.
(一)知识探究
同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则aman＝an（am－n）an＝am－n.
(二)自学反馈
1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)
A.a5B.－a5C.a8D.－a8
2.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)（－x）5x3；(2)（xy）8（－xy）5.
解：(1)（－x）5x3＝－x5－3＝－x2.
(2)（xy）8（－xy）5＝x8y8－x5y5＝－x3y3.
例2计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).
解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.
活动2跟踪训练
1.计算：
(1)a5a2；(2)（x2y3）2（－x2y3）2.
解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.
2.计算：(p－q)4÷(q－p)3(p－q)2.
解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3](p－q)2＝－(p－q)(p－q)2＝－(p－q)3.
活动3课堂小结
同底数幂的除法的运算.
1.3.2零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).
2.a－n＝1an(n是正整数，a≠0).
(二)自学反馈
1.计算：30＝1；(－2)－3＝－18.
2.用科学记数法表示数0.0002016为2.016×10－4.
3.计算：23－(12)0－(12)－2.
解：原式＝8－1－4＝3.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45)－2.
解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001.
(3)(45)－2＝(54)2＝2516.
例2把下列各式写成分式的形式：
(1)3x－3；(2)2x－23y－3.
解：(1)3x－3＝3x3.(2)2x－23y－3＝6x2y3.
例3用科学记数法表示下列各数：
(1)0.0003267；(2)－0.0011.
解：(1)0.0003267＝3.267×10－4.(2)－0.0011＝－1.10×10－3.
活动2跟踪训练
1.计算：(－2)0＝1；3－1＝13.
2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0(－13)2＝(－3)－2.
3.计算：(－1)2012×(3－π)0＋(12)－1.
解：原式＝1×1＋2＝3.
活动3课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.
1.3.3整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.
(一)知识探究
1.aman＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).
2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数).
3.(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).
(二)自学反馈
计算：
(1)a3a－5＝a－2＝1a2；(2)a－3a－5＝a－8＝1a8；
(3)a0a－5＝a－5＝1a5；(4)aman＝am＋n(m，n为任意整数).
aman＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2(a2b－2)－3.
解：(1)原式＝a－3b6＝b6a3.
(2)原式＝a－2b2a－6b6＝a－8b8＝b8a8.
例2下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an＝ama－n；(2)(ab)n＝anb－n.
解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝ama－n.
(2)正确.理由：(ab)n＝anbn＝an1bn＝anb－n.
活动2跟踪训练
1.下列式子中，正确的有(D)
①a2÷a5＝a－3＝1a3；②a2a－3＝a－1＝1a；③(ab)－3＝1（ab）3＝1a3b3；④(a3)－2＝a－6＝1a6.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.计算：[x(x2－4)]－2(x2－2x)2＝1（x＋2）2.
活动3课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.
1.4分式的加法和减法
第1课时同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，fg±hg＝f±hg.
2.－fg＝f－g＝－fg，－f－g＝fg.
(二)自学反馈
1.计算：yx＋2x＝y＋2x；5y－ay＝5－ay.
2.计算：
(1)32－3x－1＋3x2－3x；(2)a2a－b－b2－2abb－a.
解：(1)32－3x－1＋3x2－3x＝3－1－3x2－3x＝2－3x2－3x＝1.
(2)a2a－b－b2－2abb－a＝a2a－b＋b2－2aba－b＝（a－b）2a－b＝a－b.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)x－1x＋1x；(2)5x＋3yx2－y2－2xx2－y2.
解：(1)原式＝x－1＋1x＝xx＝1.
(2)原式＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3y（x＋y）（x－y）＝3（x＋y）（x＋y）（x－y）＝3x－y.
例2计算：
(1)mm－1－11－m；(2)5xx2－x－51－x.
解：(1)原式＝mm－1＋1m－1＝m＋1m－1.
(2)原式＝5xx（x－1）－51－x＝5x－1＋5x－1＝5＋5x－1＝10x－1.
活动2跟踪训练
1.化简x2x－1＋x1－x的结果是(D)
A.x＋1B.x－1
C.－xD.x
2.化简a2a－b－b2a－b的结果是(A)
A.a＋bB.a－b
C.a2－b2D.1
3.计算：(1)x＋1x－1x；(2)ab＋1＋2ab＋1－3ab＋1.
解：(1)原式＝x＋1－1x＝1.(2)原式＝a＋2a－3ab＋1＝0.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3课堂小结
1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
第2课时通分
1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.
2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.12x，13y的最简公分母是6xy.
2.对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是12xy2.
3.通分：
(1)3c2ab2与－a8bc2；(2)x4a（x＋2）与x6b（x＋2）.
解：(1)3c2ab2＝3c4c22ab24c2＝12c38ab2c2；－a8bc2＝－aab8bc2ab＝－a2b8ab2c2.
(2)x4a（x＋2）＝3bx12ab（x＋2），y6b（x＋2）＝2ay12ab（x＋2）.
活动1小组讨论
例1通分：(1)32a2b与a－bab2c；(2)2xx－5与3xx＋5.
解：(1)最简公分母是2a2b2c.
32a2b＝3bc2a2bbc＝3bc2a2b2c，
a－bab2c＝（a－b）2aab2c2a＝2a（a－b）2a2b2c.
(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).
2xx－5＝2x（x＋5）（x－5）（x＋5）＝2x2＋10xx2－25，
3xx＋5＝3x（x－5）（x＋5）（x－5）＝3x2－15xx2－25.
例2通分：(1)2cbd与3ac4b2；(2)1x2－4与x4－2x.
解：(1)最简公分母是4b2d.
2cbd＝8bc4b2d，3ac4b2＝3acd4b2d.
(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).
1x2－4＝1×2（x＋2）（x－2）×2＝22x2－8，
x4－2x＝x－2（x－2）＝－x（x＋2）2（x＋2）（x－2）＝－x2＋2x2x2－8.
活动2跟踪训练
1.分式1x2－4，x2（x－2）的最简公分母为(B)
A.(x＋2)(x－2)B.2(x＋2)(x－2)
C.2(x＋2)(x－2)2D.－(x＋2)(x－2)2
2.分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最简公分母是x(x＋1)2(x－1).
3.通分：
(1)x3y与3x2y2；(2)x－y2x＋2y与xy（x＋y）2；(3)2mn4m2－9与2m－32m＋3.
解：(1)x3y＝2xy6y2，3x2y2＝9x6y2.
(2)x－y2x＋2y＝x2－y22（x＋y）2，xy（x＋y）2＝2xy2（x＋y）2.
(3)2mn4m2－9＝2mn4m2－9，2m－32m＋3＝（2m－3）24m2－9.
活动3课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.
第3课时异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.
(一)知识探究
异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式1x＋1x（x－1）的结果是(C)
A.xB.1x2
C.1x－1D.xx－1
2.下列计算正确的是(D)
A.1x＋12x＝13xB.1x－1y＝1x－y
C.xx＋1＋1＝1x＋1D.1a－1－1a＋1＝2a2－1
活动1小组讨论
例1计算：
(1)3x＋2y；(2)1a＋1－1a－1.
解：(1)原式＝3yxy＋2xxy＝3y＋2xxy.
(2)原式＝a－1（a＋1）（a－1）－（a＋1）（a＋1）（a－1）＝－2（a＋1）（a－1）.
例2计算：
(1)(1－ba＋b)÷aa2－b2；(2)12p＋3q＋12p－3q.
解：(1)原式＝a＋b－ba＋ba2－b2a＝aa＋b（a＋b）（a－b）a＝a－b.
(2)原式＝2p－3q（2p＋3q）（2p－3q）＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝2p－3q＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝4p4p2－9q2.
活动2跟踪训练
1.计算(a2a－3＋93－a)÷a＋3a的结果为(A)
A.aB.－a
C.(a＋3)2D.1
2.化简(1＋4a－2)÷aa－2的结果是(A)
A.a＋2aB.aa＋2
C.a－2aD.aa－2
3.化简x2－1x2－2x＋1x－1x2＋x＋2x的结果是3x.
4.化简(1－1m＋1)(m＋1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3课堂小结
1.分式加减运算的方法思路：
异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减
2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
1.5可化为一元一次方程的分式方程
第1课时可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)
自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.
(二)自学反馈
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④x（x－1）x＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x＋1x＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.
活动1小组讨论
例1解方程：2x－3＝3x.
解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
例2解方程：xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）.
解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.
所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.
活动2跟踪训练
解方程：
(1)12x＝2x＋3；(2)xx＋1＝2x3x＋3＋1；(3)2x－1＝4x2－1；(4)5x2＋x－1x2－x＝0.
解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－32.
检验：当x＝－32时，3x＋3≠0.
所以x＝－32是方程的解.
(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.
(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝32.
检验：当x＝32时，x(x＋1)(x－1)≠0.
所以x＝32是原方程的解.
方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.
活动3课堂小结
解分式方程的思路是：
第2课时分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)
自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.
(一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题设未知数；
(2)找等量关系列方程；
(3)去分母，化分式方程为整式方程；
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义；
(6)答题.
(二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖1x；两台挖土机一天共挖18＋1x；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x＝12；解得x＝83，即乙单独挖需83天.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
活动1小组讨论
例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
路程速度时间
甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5
乙18x18x
等量关系：t甲＝t乙.
解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.
根据题意，列方程得
18＋1×2x＋0.5＝18x.
解得x＝4.5.
检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.
所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.
等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.
活动2跟踪训练
1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.
解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.
根据题意，列方程得135－2x×52x＝135－12×5x5x.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，10x≠0.
所以，x＝9是原方程的解.
则2x＝18，5x＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
2x＋xx＋3＝1.解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
活动3课堂小结
1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和写答案.
八年级数学上册第5章二次根式（湘教版）
第5章二次根式
5.1二次根式
第1课时二次根式的概念及性质
1.了解二次根式的概念.
2.理解并掌握二次根式的性质：(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0).(重点)
自学指导：阅读教材P155～157，完成下列问题.
(一)知识探究
1.形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
2.二次根式的性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a0）.
(二)自学反馈
1.下列各式中，一定是二次根式的是(C)
A.－7B.3m
C.1＋x2D.2x
二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.
2.代数式x＋1有意义，则x的取值范围是(A)
A.x≥－1B.x≠1
C.x≥1D.x≤－1
二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零.
活动1小组讨论
例1当x是怎样的实数时，二次根式x－1在实数范围内有意义？
解：由x－1≥0，解得x≥1.
因此，当x≥1时，x－1在实数范围内有意义.
例2计算：
(1)(5)2；(2)(22)2.
解：(1)(5)2＝5.
(2)(22)2＝22×(2)2＝4×2＝8.
例3计算：
(1)（－2）2；(2)（－1.2）2.
解：(1)（－2）2＝22＝2.
(2)（－1.2）2＝1.22＝1.2.
活动2跟踪训练
1.若（a－3）2＝a－3，则a的取值范围是(D)
A.a3B.a≤3
C.a3D.a≥3
2.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
(1)5＝(5)2；(2)3.4＝(3.4)2；
(3)16＝(16)2；(4)x＝(x)2(x≥0).
3.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1)－x；(2)5－2x；(3)x2＋1.
解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，当x≤0时，－x有意义.
(2)由5－2x≥0，得x≤52.因此，当x≤52时，5－2x有意义.
(3)由x2＋1≥0，得x为任意实数.因此，当x为任意实数时，x2＋1都有意义.
4.计算：
(1)(11)2；(2)（－6）2；(3)(－25)2；(4)－2（18）2.
解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－14.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获？
第2课时二次根式的化简
1.了解最简二次根式的概念.
2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.(重点)
自学指导：阅读教材P157～159，完成下列问题.
(一)知识探究
1.积的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b≥0).化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).
2.最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母.
(二)自学反馈
1.下列各式正确的是(D)
A.（－4）×（－9）＝－4×－9
B.16＋94＝16×94
C.449＝4×49
D.4×9＝4×9
运用积的算术平方根的性质ab＝ab化简时，注意a≥0，b≥0这一条件.
2.把200化成最简二次根式是102.
活动1小组讨论
例1化简下列二次根式：
(1)18；(2)20；(3)72；
解：(1)18＝9×2＝9×2＝32.
(2)20＝4×5＝4×5＝25.
(3)72＝8×9＝2×22×32＝2×32＝62.
例2化简下列二次根式：
(1)12；(2)35.
解：(1)12＝1×22×2＝（12）2×2＝122.
(2)35＝3×55×5＝（15）2×15＝1515.
活动2跟踪训练
1.下列二次根式中是最简二次根式的是(A)
A.30B.12C.8D.12
2.实数0.5的算术平方根等于(C)
A.2B.2C.22D.12
3.化简二次根式（－3）2×6得(B)
A.－36B.36C.18D.6
4.化简下列二次根式：
(1)12；(2)45；(3)72；(4)72.
解：(1)23.(2)35.(3)62.(4)142.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获？
5.2二次根式的乘法和除法
第1课时二次根式的乘法
会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P161～162，完成下列问题.
(一)知识探究
积的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b≥0)，反过来，ab＝ab(a≥0，b≥0)，利用这一公式，可以进行二次根式的乘法运算.
(二)自学反馈
计算：
(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27.
解：(1)35.(2)3.(3)93.
(1)这里要用到公式：ab＝ab(a≥0，b≥0)；(2)计算9×27时，将27写成9×3，方便开平方.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)3×6；(2)13×72.
解：(1)3×6＝3×6＝32×2＝32.
(2)13×72＝13×72＝24＝22×6＝26.
例2计算：
(1)23×521；(2)32×(－184).
解：(1)23×521＝2×5×3×21＝1032×7＝307.
(2)32×(－184)＝3×(－14)×2×18＝－342×18＝－92.
例3已知一张长方形图片的长和宽分别是37cm和7cm，求这张长方形图片的面积.
解：37×7＝3×7＝21(cm)2.
答：这张长方形图片的面积为21cm2.
活动2跟踪训练
1.计算2×3的结果是(B)
A.5B.6C.23D.32
2.下列各等式成立的是(D)
A.45×25＝85B.53×42＝205
C.43×32＝75D.53×42＝206
3.50a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)
A.1B.2C.3D.5
4.一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23cm，b＝36cm，那么这个直角三角形的面积为92cm2.
5.计算下列各题：
(1)3×5；(2)12×3；(3)12×32；
(4)32×27；(5)6×15×10；(6)68×(－32).
解：(1)15.(2)6.(3)22.(4)614.(5)30.(6)－72.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获？
第2课时二次根式的除法
1.理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简.(重点)
2.能熟练运用二次根式的除法法则ab＝ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P163～164，完成下列问题.
(一)知识探究
1.商的算术平方根的性质：ba＝ba(a＞0，b≥0)，可以利用它进行二次根式的化简.
2.二次根式的除法规定：ba＝ba(a＞0，b≥0).
(二)自学反馈
1.下列各式成立的是(A)
A.－3－5＝35＝35
B.－7－6＝－7－6
C.2－9＝2－9
D.9＋14＝9＋14＝312
2.计算123÷13的结果正确的是(B)
A.3B.15C.5D.53
3.化简下列二次根式：
(1)7100；(2)0.24；(3)315；(4)11549.
解：(1)710.(2)65.(3)455.(4)87.
活动1小组讨论
例1化简下列二次根式：
(1)716；(2)95.
解：(1)716＝716＝74.
(2)95＝95＝35＝3×55×5＝355.
例2计算：
(1)15÷3；(2)34256；(3)146.
解：(1)15÷3＝153＝153＝5.
(2)34256＝35426＝357.
(3)146＝146＝73＝7×33×3＝213.
例3电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r＝2Rh(其中R是地球半径).现有两座高分别为h1＝400m，h2＝450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.
因为r＝2Rh，400m＝0.4km，450m＝0.45km，
所以r1r2＝2Rh12Rh2＝h1h2＝0.40.45＝4045＝21035＝223.
活动2跟踪训练
1.下列运算正确的是(D)
A.50÷5＝10B.10÷25＝22
C.32＋42＝3＋4＝7D.27÷3＝3
2.计算：123＝2.
3.如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为25.
4.计算：
(1)40÷5；(2)322；(3)44876；(4)45÷215.
解：(1)22.(2)4.(3)827.(4)6.
活动3课堂小结
1.商的算术平方根的性质.
2.二次根式的除法法则.
5.3二次根式的加法和减法
第1课时二次根式的加法和减法
1.理解二次根式的加、减运算法则.
2.会进行简单的二次根式的加、减运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P167～168，完成下列问题.
(一)知识探究
在进行二次根式的加减运算时，应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式相加减.
(二)自学反馈
计算：
(1)80－45；(2)28＋47；(3)18－32＋2；(4)(45＋18)－(8－125).
解：(1)5.(2)1677.(3)0.(4)85＋2.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)58－227＋18；(2)218－50＋1345.
解：(1)原式＝102－63＋32＝132－63.
(2)原式＝62－52＋5＝2＋5.
二次根式的加减与合并同类项类似，进行二次根式的加减运算时，必须先将各个二次根式化简，再合并被开方数相同的二次根式.
例2如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d(π取3.14).
解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝S1π，r＝S2π，则
d＝R－r
＝S1π－S2π
＝763.023.14－150.723.14
＝243－48
＝93－43
＝53.
答：圆环的宽度d为53m.
活动2跟踪训练
1.下列二次根式中，不能与2合并的是(C)
A.12B.8C.24D.18
2.下列计算是否正确？为什么？
(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；
(3)32－2＝22.
解：(1)不正确.此式结果为22－3.
(2)不正确.此式结果为5.
(3)正确.
3.计算：
(1)8＋18；(2)212＋27；(3)80－20＋5；
(4)18＋(98－27)；(5)(75－54)－(108－96).
解：(1)52.(2)73.(3)35.(4)102－33.(5)6－3.
活动3课堂小结
怎样进行二次根式的加减计算？
第2课时二次根式的混合运算
会正确快速地进行二次根式的混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P169～171，完成下列问题.
(一)知识探究
1.二次根式的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外面的.
2.与二次根式相关的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a－b，(a＋b)2＝a＋2ab＋b，(a－b)2＝a－2ab＋b.
(二)自学反馈
计算：
(1)(5＋1)2；(2)(13＋3)(13－3)；(3)(12－13)×3；(4)8＋182.
解：(1)(5＋1)2＝(5)2＋25＋1＝5＋25＋1＝6＋25.
(2)(13＋3)(13－3)＝(13)2－32＝13－9＝4.
(3)(12－13)×3＝12×3－13×3＝36－1＝6－1＝5.
(4)8＋182＝82＋182＝4＋9＝2＋3＝5.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)(6－38)×2；(2)(2＋2)(1－2).
解：(1)(6－38)×2＝6×2－38×2＝6×2－38×2＝23－32＝323.
(2)(2＋2)(1－2)＝2－22＋2－2×2＝2－22＋2－2＝－2.
例2计算：
(1)(2＋1)(2－1)；(2)(2－3)2.
解：(1)(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝1.
(2)(2－3)2＝(2)2－22×3＋(3)2＝2－22×3＋3＝5－26.
例3计算：
(1)(32＋2)÷2；(2)12＋3＋12－3.
解：(1)(32＋2)÷2＝(42＋2)÷2＝52÷2＝5.
(2)12＋3＋12－3＝2－3（2＋3）（2－3）＋2＋3（2＋3）（2－3）＝4（2＋3）（2－3）＝422－（3）2＝4.
活动2跟踪训练
1.化简8－2(2－2)的结果是(D)
A.－2B.2－2C.2D.42－2
2.估计20×15＋3的运算结果应在(C)
A.1到2之间B.2到3之间
C.3到4之间D.4到5之间
3.计算：(27－13)×3＝8.
4.计算：
(1)(3＋5)(3－5)；(2)(3＋5)2.
解：(1)－2.(2)8＋215.
5.计算：
(1)3(2－3)－24－6－3；(2)23÷223×25－110.
解：(1)原式＝6－3－26＋6－3＝－6.
(2)原式＝23×38×25－110＝1010－1010＝0.
活动3课堂小结
如何进行二次根式的混合运算？
八年级数学上册第二章实数复习教案
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好新的教案课件工作，新的工作才会更顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编精心为您整理的“八年级数学上册第二章实数复习教案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
八年级（上）第二章复习实数
一实数的组成
实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二相反数、绝对值、倒数
1.相反数：只有符号不同的两个数称为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为
3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a≥0）
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
正确理解：、、、
几个性质：、、、
四实数的运算
1.有理数的加法法则：
a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正
c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0
4.有理数除法法则：
a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。
b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在an中，a叫底数，n叫指数
a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0
b）a0=1（a不等于0）
6.有理数的运算顺序：
a）同级运算，先左后右
b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减
五实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2）比差法：若a-b0则ab；若a-b0则ab；若a-b=0则a=b
3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b1则ab；a/b1则ab
B.两个数均为负数时，a/b1则ab；a/b1则abC.一正一负时，正数负数
4）平方法：a、b均为正数时，若a2b2，则有ab；均为负数时相反
5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）
二次根式知识点归纳
定义：一般的，式子(a≥0)叫做二次根式。其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
性质：1、（a≥0)是一个非负数。即≥0
2、（a≥0)
3、
4、(a≥0，b≥0)
反过来:(a≥0，b≥0)
5、(a≥0，b＞0)
反过来，(a≥0，b＞0)
一、选择题
1.如在实数0，－，，｜－2｜中，最小的是（）.
A．B．－C．0D．｜－2｜
2.四个数－5，－0.1，１２，３中为无理数的是().
A.－5B.－0.1C.１２D.３
3.(－2)2的算术平方根是（）.
A．2B．±2C．－2D．
4.若二次根式有意义,则x的取值范围为()
A.x≥B.x≤C.x≥D.x≤
5.已知实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）
(A)(B)
(C)(D)
6.下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
7.若，则的值为（）
A．1B．－1C．7D．－7
8.下面计算正确的是（）
A.B.C.+=D.
9.下列计算正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
10.下列说法正确的是（）
A.是无理数B.是有理数C.是无理数D.是有理数
11.如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）
（A）2.5（B）22（C）3（D）5
12.对于实数、，给出以下三个判断：（）
①若，则．②若，则．
③若，则．其中正确的判断的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
13.设a=19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）
A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5
二、填空题
14.已知、为两个连续的整数，且，则．
15．一个正数的平方根为与,则，这个正数是.
16.比较下列实数的大小：①②；
17.按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是___．
18.如图，是一个数值转换机.若输入数为3，则输出数是______.
19.规定一种新的运算：，则____.
三、解答题
24.已知：，求：的值。
25.解方程（1）；（2）
