八年级数学上册《实数》教学案例。
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八年级数学上册《实数》教学案例
《实数》一节，是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围。由于实数涉及的理论较深，数的概念又比较抽象，这些概念看似简单，学生要真正掌握还是有点困难。
教材一开始安排了一个探究：用计算器将有理数写成小数的形式，你有什么发现？
生：通过计算探究，发现这些有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
为了说明所有的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。我随口又说出：请用计算器算算10/7是什么样的小数？
生：无限循环小数、有限小数······（意见明显不一致）
师：为什么？JaB88.CoM
生：因为它等于1.428571428,不循环。
噢，我明白了：计算器上最多只能显示出9位小数，是个近似值。
于是，我赶紧让学生将计算器的小数位数设定为5位，再看看结果是什么？
生：1.42857
师：可见，计算器上的值是10/7的真实值吗？
生：······
师：自己用除式笔算一下。
生：循环小数。（大家终于心服口服了）
接着，我让学生用计算器探究√2用小数形式表示为多少？
部分生：1.414213562，也为有限小数。（这是我预料之中的）
师：请将你的计算器的小数位数设为3位、5位，看结果如何？
生：1.414，1.41421
师：那么能否认为√2到底等于1.414213562，1.414，还是1.41421？
生：······
过了一会，有一生突然说：“都不等”。
师：为什么？
该生：将这些数平方后都不等于2，根据算术平方根的定义，可以得出。
我有点惊讶，连我也没有这样去想。
······
课堂仍在继续。
扩展阅读
八年级数学上册《实数》说课设计
八年级数学上册《实数》说课设计
公刘中学苏治国
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课是北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节内容。在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。
2、教学目标：（根据新课程标准的要求，结合本节教材的特点，以及八年级学生的认知规律，我制定如下目标）。
知识技能：(1)了解无理数和实数的概念以及实数的分类。
(2)知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。
数学思考：(1)经历对实数进行分类的过程，发展学生的分类意识。
(2)经历从有理数逐步扩充到实数的过程，了解人类对数的认识是不断发展的。
解决问题：通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数。
情感态度：(1)通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用。
(2)敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
3、教学重点、难点
重点：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
难点：用数轴上的点来表示无理数。
二、学情分析
在学习本节课前，学生已掌握对一个非负数开平方和对一个数开立方运算。课本对学生掌握实数要求不高。只要求学生了解无理数和实数的意义。但实数的知识却贯穿中学数学始终，所以我们只能逐步加深学生对实数的认识。本节主要引导学生熟知实数的概念和意义，为后面学习打下基础。
三、教法学法分析：
教法分析：根据本节课的教学内容和学生的实际水平，我采用的是引导发现法、类比法和多媒体辅助教学。
(1)在教学中通过设置疑问，创设出思维情境，然后引导学生动脑、动手，使学生在开放、民主、和谐的教学氛围中获取知识，提高能力，促进思维的发展。
(2)借助多媒体辅助教学，增大教学的容量和直观性，增强学习兴趣，从而达到提高教学效果和教学质量的目的。
(3)教具：三角板、圆规、多媒体。
学法分析：我们在向学生传授知识的同时，必须教给他们好的学习方法，让他们学会学习、享受学习。因此，在本节课的教学中引导学生“仔细看、动脑想、多交流、勤练习”的学习，增强参与意识，让他们体验获取知识的历程，掌握思考问题的方法，逐渐培养他们“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会归纳”的能力。
四、教程分析：针对本节教材的特点，我把教学过程设计为以下五个环节：
北师大版八年级数学上册第二章《2.6实数》说课稿
一、创设问题情景，引出实数的概念
内容：问题：(1)什么是有理数？有理数怎样分类？
(2)什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备.
学生回答：无理数是无限不循环小数.
带根号的数不一定是无理数.
3、把下列各数分别填入相应的集合内。有理数集合、无理数集合
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念.
教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数（realnumber）。教师点明：实数可分为有理数与无理数。最后多媒体展示具体分类，并对有理数和无理数从小数的角度进行说明。
二、议一议，
1、在实数概念基础上对实数进行不同分类。
无理数与有理数一样，也有正负之分，如是正的，是负的。
教师提出以下问题，让学生思考：
（1）你能把，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？
正数集合：
负数集合：
（2）0属于正数吗？0属于负数吗？
（3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？
意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类.提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏.
让学生讨论回答后，教师引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数。
2、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：
在有理数中，有理数a的的相反数是什么，不为0的数a的倒数是什么。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如，和是互为相反数，和互为倒数。
，，，。
三、想一想
让学生思考以下问题
1、a是一个实数，它的相反数为，绝对值为；
2、如果，那么它的倒数为。
意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的
让学生回答后，教师归纳并板书：实数a的相反数为，绝对值为，若它的倒数为（教师指明：0没有倒数）
增加练习：（多媒体展示）第一组1.的绝对值是
2、a是一个实数，它的绝对值是
第二组：1、的相反数是，绝对值是
2、绝对值等于的数是，3、的绝对值是
4、正实数的绝对值是，0的绝对值是，负实数的绝对值是
例题：求下列各数的相反数、倒数、绝对值
（1）（2）（3）学生上黑板完成，教师巡视学生如何书写，对发现的问题及时处理，最后与学生共同纠正。
明晰：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。（媒体展示两个举例）
四、议一议。探索用数轴上的点来表示无理数
1、每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？你能在数轴上找到表示、和这样的无理数的点吗？
2、多媒体展示的做法和和的做法
如图OA=OB，数轴上A点对应的数是多少？
让学生充分思考交流后，引导学生达成以下共识：
探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小.
（1）A点对应的数等于，它介于1与2之间。
（2）每一个有理数都可以用数轴上的点表示
（3）每一个无理数都可以用数轴上的点来表示
（4）每个实数都可以用数轴上的点来表示，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
（4）和有理数一样，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大。
五、随堂练习(多媒体展示)
第一组：判断题:
①实数不是有理数就是无理数、②无理数都是无限不循环小数.③无理数都是无限小数④带根号的数都是无理数.⑤无理数一定都带根号.⑥两个无理数之积不一定是无理数.⑦两个无理数之和一定是无理数.⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.
第二组：
1.判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数。
2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1）（2）（3）
3、在数轴上作出对应的点。
意图：通过以上练习，检测学生对实数相关知识的掌握情况.
六、小结
1、实数的概念
2、实数可以怎样分类
3、实数a的相反数为，绝对值，若，它的倒数为。
4、数轴上的点和实数一一对应。
七、作业
课本习题2.81、2、3题
结束语：多媒体展示：
人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫托尔斯泰
八、板书设计：
实数
1、实数的概念4、实数与数轴上的点的关系
2、实数的分类5、例题
3、实数a的相反数为，6、学生练习
绝对值，若，它的倒数为
九、教学反思：
八年级数学上册第3章实数（湘教版）
第3章实数
3.1平方根
第1课时平方根、算术平方根
1.能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.(重难点)
2.理解开平方与平方两者之间的联系与区别.
3.认识非负数的平方根的特点.(重点)
自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题.
(一)知识探究
1.平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，(±r)2＝a，所以a的平方根有且只有两个：r与－r；算术平方根：把a的正平方根叫作a的算术平方根.
2.正数a的平方根表示为±a；算术平方根表示为a；负平方根表示为－a.
3.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数.
4.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作0，负数没有平方根.
5.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算.
(二)自学反馈
1.25的平方根是±5，3是9的算术平方根.
2.3表示3的算术平方根；如果－x2有平方根，那么x的值为0.
3.切一块面积为16cm2的正方形钢板，它的边长是多少？
解：4cm.
活动1小组讨论
例1分别求下列各数的平方根：36，259，1.21.
解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±36＝±6.
由于(53)2＝259，因此259的平方根是53与－53，即±259＝±53.
由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±1.21＝±1.1.
求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.
例2分别求下列各数的算术平方根：100，1625，0.49.
解：由于102＝100，因此100＝10.
由于(45)2＝1625，因此1625＝45.
由于0.72＝0.49，因此0.49＝0.7.
活动2跟踪训练
1.下列说法不正确的是(C)
A.－2是2的平方根B.2是2的平方根
C.2的平方根是2D.2的算术平方根是2
一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.
2.求下列各式的值：
(1)±2.89；(2)－256169；(3)1916；(4)±（－11）2.
解：(1)±1.7.(2)－1613.(3)54.(4)±11.
活动3课堂小结
本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算.
第2课时无理数、用计算器求算术平方根
1.理解无理数的概念和它的本质特征.(重点)
2.正确使用计算器求一个数的算术平方根.(重点)
自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题.
(一)知识探究
1.无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：(1)圆周率：π；(2)开方不尽的数：如2；(3)特殊规律的数，如：0.010__010__001….
2.用计算器求正数a的平方根：按键→输入数字a→按＝键.
(二)自学反馈
1.在等式x2＝6中，下列说法中正确的是(D)
A.x可能是整数B.x可能是分数
C.x可能是有理数D.x是无理数
2.下列各数中，是无理数的是(B)
A.4B.π2C.13D.12
活动1小组讨论
例用计算器求下列各式的值.
(1)1024；
(2)8(精确到小数点后面第三位).
解：(1)依次按键：1024＝
显示：32
所以，1024＝32.
(2)依次按键：8＝
显示：2.828427125
所以，8≈2.828.
活动2跟踪训练
1.下列说法正确的是(B)
A.有理数只是有限小数
B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数
D.π3是分数
2.在13，3.1415926，0.7070070007…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，2π中，无理数有(B)
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.用计算器求下列各数的值(精确到0.01)：
6.24≈2.50；0.24≈0.49；
123.47≈11.11;__56.88≈7.54.
4.用计算器分别计算：0.0009，0.09，9，900，90000，你能发现什么规律？
解：0.0009＝0.03，0.09＝0.3，
9＝3，900＝30，90000＝300.
我发现：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.
活动3课堂小结
学生概括：1.什么是无理数？
2.怎样用计算器求算术平方根？
3.2立方根
1.通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念.
2.会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值.
自学指导：阅读教材P112～113，完成下列问题.
(一)知识探究
1.如果一个数b，使得b3＝a，那么b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作3a.每个数都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
2.求一个数的立方根的运算叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.
3.用计算器求正数a的立方根：按2ndF键→按键→输入被开立方数a→按＝键.
(二)自学反馈
－18的立方根是－12，64的立方根的相反数是－4.
活动1小组讨论
例1分别求下列各数的立方根：1，827，0，－0.064.
解：由于13＝1，因此31＝1；
由于(23)3＝827，因此3827＝23；
由于03＝0，因此30＝0；
由于(－0.4)3＝－0.064，因此3－0.064＝－0.4.
可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根.
例2用计算器求下列各数的立根：
343，－1.331.
解：按键2ndF343＝
显示：7
所以，3343＝7.
按键：2ndF（－）1.331＝
显示：－1.1
所以，3－1.331＝－1.1.
例3用计算器求32的近似值(精确到0.001).
解：按键：2ndF2＝
显示：1.25992105
所以，32≈1.260.
许多有理数的立方根都是无理数，如32，33，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.
活动2跟踪训练
1.下列等式成立的是(C)
A.31＝±1B.3225＝15
C.3－125＝－5D.3－9＝－3
2.立方根等于它本身的数是±1，0.
3.求下列各数的立方根：
(1)27；(2)8125；(3)－63.
解：(1)3.(2)25.(3)－6.
4.下列各式是否有意义？为什么？
(1)－33；(2)－3；(3)3（－3）3；(4)31103.
解：(1)、(3)、(4)有意义，因为任何一个数都有立方根；(2)－3没有意义，因为负数没有平方根.
活动3课堂小结
1.一个数只有一个立方根，且当a0时，3a0；a＝0时，3a＝0；a0时，3a0.
2.3－a＝－3a.
3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根.
3.3实数
第1课时实数的有关概念
1.了解实数的概念，能对实数按要求进行分类.(重点)
2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.(重点)
3.了解实数和数轴上的点一一对应.
自学指导：阅读教材P116～118，完成下列问题.
(一)知识探究
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数有理数整数分数（有限小数或无限循环小数）无理数（无限不循环小数）
3.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，且数轴上每一个点都可以表示唯一的一个实数.
即：实数和数轴上的点一一对应.
4.规定正实数都大于0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.
5.与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中一个叫作另一个数的相反数，也说它们互为相反数.0的相反数是0.实数a的相反数记作－a.
6.正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
(二)自学反馈
1.下列说法正确的是(D)
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
2.－3的相反数是(C)
A.3B.－3C.3D.－3
活动1小组讨论
例1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2，0，1.414，9，π，－23，32，0.1010010001…(相邻两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414，9，－23是有理数，
2，π，32，0.1010010001…是无理数.
实数可以分为有理数和无理数，还可以分为正实数、零和负实数.
例2求下列各数的相反数和绝对值：
－3，π－3.14.
解：因为－(－3)＝3，－(π－3.14)＝3.14－π，
所以－3，π－3.14的相反数分别为3，3.14－π.
由绝对值的意义得：|－3|＝3，|π－3.14|＝π－3.14.
活动2跟踪训练
1.把下列各数填入相应的大括号内：
7.5，15，4，917，23，3－27，0.31，－π，0.15
(1)有理数：{7.5，4，23，3－27，0.31，0.15…}；
(2)无理数：{15，917，－π，…}；
(3)正实数：{7.5，15，4，917，23，0.31，0.15…}；
(4)负实数集合：{3－27，－π，…}.
2.求下列各数的相反数和绝对值：
(1)7；(2)3－8；(3)49.
解：(1)7的相反数是－7，绝对值是7.
(2)3－8的相反数是2，绝对值是2.
(3)49的相反数是－7，绝对值是7.
活动3课堂小结
学生回答：本节课我们学到了哪些知识？
第2课时实数的运算和大小比较
1.了解有理数范围内的运算法则及运算律对于实数仍然成立，会进行实数范围内的运算.(重难点)
2.会用计算器进行实数的运算，并能比较两个实数的大小.(重点)
自学指导：阅读教材P118～120，完成下列问题.
(一)知识探究
1.有理数的运算法则和运算律等对于实数仍然适用.
2.实数可以比较大小：对于实数a，b，如果a－b0，那么ab；如果a－b0，那么ab.正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小.从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
3.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；在实数范围内，负实数没有平方根；每个实数a有且只有1个立方根.
4.实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
(二)自学反馈
1.比较大小：134.(填“＞”“＜”或“＝”)
2.计算：22－1－32＋5.
解：原式＝(22－32)＋(5－1)＝4－2.
活动1小组讨论
例1计算下列各式的值：
(1)(3＋5)－5；(2)23－33.
解：(1)(3＋5)－5
＝3＋(5－5)(加法结合律)
＝3＋0
＝3.
(2)23－33
＝(2－3)3(乘法对于加法的分配律)
＝－3.
例2用计算器计算：2×5(精确到小数点后面第二位).
解：按键：2×5＝
显示：3.16227766
精确到小数点后面第二位得3.16.
所以，2×5≈3.16.
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
活动2跟踪训练
1.比较下列各组数的大小，正确的是(C)
A.1.7＞3B.π＜3.14
C.－5－6D.5＜3100
2.计算：
(1)33－53；(2)1－2＋2－3＋3－2.
解：(1)－23.(2)1.
3.用计算器计算(精确到0.01)：
(1)π－2＋3(精确到0.01)；(2)12＋3×6.
解：(1)3.46.(2)4.74.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获？
八年级数学上册《一次函数》教学案例
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在用心的考虑自己的教案课件。教案课件工作计划写好了之后，这样接下来工作才会更上一层楼！有没有好的范文是适合教案课件？小编特地为大家精心收集和整理了“八年级数学上册《一次函数》教学案例”，仅供您在工作和学习中参考。
八年级数学上册《一次函数》教学案例
师：一次函数的一般表达式是y=kx+b（k、b为常数，k≠0，请同学们在黑板上写出一些常数较简单的一次函数表达式，行吗？（生表现踊跃，写出了十多个）
师：黑板上这些一次函数大致有几个类型？
生：（讨论后）四类，即k0，b0；k0，b0；k0，b0；k0，b0。
教师按不同类型在学生板书的函数中各选两个，并把复杂的常数更换成简单的常数，找到如下函数：y=2x+2,y=-2x+3,y=-x+1,y=x+2,y=-2x-2,y=x-2,y=-x-3,y=2x-1.（教师在这里是让学生自己准备学习素材。）
教师启发学生找到画直线的“两点式”简易方法后，把画上述八个函数图象的任务分配给八个小组，一组一个，八人一组在已画好坐标系的小黑板上动手操作。学生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃。教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅。
师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？
生；不一样。
师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）
生A：走向不一样。
生B：经过的象限不一样。
生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方。
师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）
生：是由k、b的取值确定的。
师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）
热烈讨论后，生A回答并板书，当k0时，图象从“左下”到“右上”；当k0时，图象从“右上”到“左下”。
生B板书：当b0时，图象在原点的上方，当b0时，图象在原点的下方。
生C板书：当k0,b0时，图象过一、二、三象限。
另一生D跑到黑板前补充：当k0，b0时，图象过一、三、四象限；当k0，b0时，图象过一、二、四象限，当k0，b0时，图象过二、三、四象限。
（这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出一次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）
师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？（学生茫然）
师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？
生：（七嘴八舌）当k0时，图象向上爬；当k0时，图象向下走。（未出现教师所预期的结论）
师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？
生：当k0时，x与y同向变化;当k0时，x与y异向变化。
师：也就是说，k0,x增大，y……
师:当k0时，x……y……
生：x增大，y减小；x减小，y增大。
（在这里，教师努力避免了“告诉”的知识传授方式。间接引导需要智慧，是一种艺术）
师：好了，我们就用x与y之间的变化规律来表述一次函数的性质，好吗？请同学们在书上补充一下图象的性质，并熟悉一下一次函数的性质。（接下来学生练习几道题）
师；有人能得出正比例函数性质吗？
生：它是y=kx+b中b=0时的性质，其实y=kx与y=kx+b的性质是一致的。（特殊与一般的关系，学生理解起来非常容易）
[案例反思]
这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。教材对一次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。
最后，教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织者。要做善于点燃学生探究欲望和智慧火把的人，要善于让学生说教师要说的话，做教师想做的事，这就是一个成功的促进者。数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程。真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的，其实学生也是课程资源的开发者，如本课例中的“走向”问题，“同向变化”等，这为函数性质的得出做了很好的铺垫。要彻底抛弃“唯书论”“唯师论”，与学生一起去探究协作，寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学。要开展成功的探究，教师要科学设置问题情景或问题素材，使探究的问题具有层次性和探究性，适时、适势、适度地用教学机智调控课堂。例如本课中，学生老是得不出一次函数性质的内容，其中引导的过程就是充满机智的过程。在教学设计中，要预设多种意外和可能，这样探究真知的过程就会艰辛并顺利展开。这才是一个成功的组织者。
