高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案(含答案)。
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻教师们在教学时的教学压力。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案(含答案)》，希望能为您提供更多的参考。
学案19三角函数的图象与性质
导学目标：1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．
自主梳理
1．三角函数的图象和性质
函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性在______________________上增，在__________________________________上减在__________________________上增，在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数
2.正弦函数y＝sinx
当x＝____________________________________时，取最大值1；
当x＝____________________________________时，取最小值－1.
3．余弦函数y＝cosx
当x＝__________________________时，取最大值1；
当x＝__________________________时，取最小值－1.
4．y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx的对称中心分别为____________、___________、______________.
5．y＝sinx、y＝cosx的对称轴分别为______________和____________，y＝tanx没有对称轴．
自我检测
1．(2010十堰月考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为()
A．1B．2C．3D．4
2．函数y＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是()
A．x＝－π6B．x＝－π12
C．x＝π6D．x＝π12
3．(2010湖北)函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2010北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x的最小正周期为()
A．4πB．3πC．2πD．π
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()
A.π6B.π4C.π3D.π2
探究点一求三角函数的定义域
例1(2011衡水月考)求函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域．
变式迁移1函数y＝1－2cosx＋lg(2sinx－1)的定义域为________________________．
探究点二三角函数的单调性
例2求函数y＝2sinπ4－x的单调区间．
变式迁移2(2011南平月考)(1)求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求函数y＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．
探究点三三角函数的值域与最值
例3已知函数f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
变式迁移3设函数f(x)＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋π3)的周期．
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转化与化归思想的应用
例(12分)求下列函数的值域：
(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2；
(2)y＝3cosx－3sinx，x∈[0，π2]；
(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.
【答题模板】
解(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx
＝2(cosx＋12)2－12，cosx∈[－1,1]．
当cosx＝1时，ymax＝4，
当cosx＝－12时，ymin＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分]
(2)y＝3cosx－3sinx＝23cos(x＋π6)
∵x∈[0，π2]，∴π6≤x＋π6≤2π3，
∵y＝cosx在[π6，2π3]上单调递减，
∴－12≤cos(x＋π6)≤32
∴－3≤y≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分]
(3)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12，且|t|≤2.
∴y＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；
当t＝2时，ymax＝12＋2.
∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分]
【突破思维障碍】
1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形
如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．
2．关于y＝acos2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．
提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．
1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．
2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sinx的单调区间来求．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011黄山月考)已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是()
A.π3B.2π3C．πD.4π3
2．(2010安徽6校高三联考)已知函数y＝tanωx(ω0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝3sinωx－cosωx的单调增区间是()
A.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)
B.2kπ－π3，2kπ＋2π3(k∈Z)
C.2kπ－2π3，2kπ＋π3(k∈Z)
D.2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)
3．函数f(x)＝tanωx(ω0)的图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是()
A．0B．1C．－1D.π4
4．函数y＝－xcosx的部分图象是图中()
5．(2011三明模拟)若函数y＝sinx＋f(x)在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f(x)可以是()
A．1B．cosx
C．sinxD．－cosx
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π8，则f(x)的最小正周期是________．
7．函数f(x)＝2sinx4对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．
8．(2010江苏)定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011厦门月考)已知函数f(x)＝2cos4x－3cos2x＋1cos2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．
10．(12分)(2010福建改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋π6)＋a(ω0)与g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
11．(14分)(2010安徽合肥高三二模)已知向量a＝(sinx，23sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝ab－3.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ)(0θπ2)为偶函数，求θ的值．
答案自主梳理
1．RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函数偶函数奇函数[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)
2．2kπ＋π2(k∈Z)2kπ－π2(k∈Z)3.2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)4.(kπ，0)(k∈Z)kπ＋π2，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)5.x＝kπ＋π2(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)
自我检测
1．C2.D3.D4.D5.A
课堂活动区
例1解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．
解要使函数有意义，
则2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2k∈Z，
得0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.
所以函数的定义域为
x|0xπ2或π≤x≤4.
变式迁移1π3＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z
解析由题意得
1－2cosx≥02sinx－10cosx≤12sinx12，
解得π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Zπ6＋2kπx5π6＋2kπ，k∈Z，
即x∈π3＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.
例2解题导引求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω0)”视为一个“整体”；②A0(A0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
解y＝2sinπ4－x可看作是由y＝2sinu与u＝π4－x复合而成的．
又∵u＝π4－x为减函数，
∴由2kπ－π2≤u≤2kπ＋π2(k∈Z)，
即2kπ－π2≤π4－x≤2kπ＋π2(k∈Z)，
得－2kπ－π4≤x≤－2kπ＋3π4(k∈Z)，
即－2kπ－π4，－2kπ＋3π4(k∈Z)为
y＝2sinπ4－x的递减区间．
由2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2(k∈Z)，
即2kπ＋π2≤π4－x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，
得－2kπ－5π4≤x≤－2kπ－π4(k∈Z)，
即－2kπ－5π4，－2kπ－π4(k∈Z)为
y＝2sinπ4－x的递增区间．
综上可知，y＝2sinπ4－x的递增区间为
－2kπ－5π4，－2kπ－π4(k∈Z)；
递减区间为－2kπ－π4，－2kπ＋3π4(k∈Z)．
变式迁移2解(1)由y＝sinπ3－2x，
得y＝－sin2x－π3，
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，
得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x≤π.
∴函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－712π，－π12，512π，1112π，π.
(2)函数y＝3tanπ6－x4的周期
T＝π－14＝4π.
由y＝3tanπ6－x4
得y＝－3tanx4－π6，
由－π2＋kπx4－π6π2＋kπ得
－43π＋4kπx83π＋4kπ，k∈Z，
∴函数y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为－43π＋4kπ，83π＋4kπ(k∈Z)．
例3解题导引解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．
解∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，
∴－32≤sin(2x－π3)≤1，
若a0，则2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b＝－23＋123；
若a0，则2a＋b＝－5－3a＋b＝1，
解得a＝－12＋63b＝19－123.
综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123
或a＝－12＋63，b＝19－123.
变式迁移3解∵x∈R，
∴cosx∈[－1,1]，
若a0，则a＋b＝1－a＋b＝－3，解得a＝2b＝－1；
若a0，则a＋b＝－3－a＋b＝1，解得a＝－2b＝－1.
所以g(x)＝－sin(2x＋π3)或g(x)＝－sin(－2x＋π3)，周期为π.
课后练习区
1．A[画出函数y＝sinx的草图(图略)，分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]
2．B[由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，
故f(x)＝3sinωx－cosωx
＝2sinx－π6的单调增区间满足：
2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3.]
3．A
4．D
5．D[因为y＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)，－π2≤x－π4≤π2，即－π4≤x≤3π4，满足题意，所以函数f(x)可以是－cosx．]
6.π2
解析依题意得T4＝π8，所以最小正周期T＝π2.
7．4π
解析由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，而当x4＝2kπ－π2，即x＝8kπ－2π(k∈Z)时，f(x)取最小值；而x4＝2kπ＋π2，即x＝8kπ＋2π(k∈Z)时，f(x)取最大值，
∴|x1－x2|的最小值为4π.
8.23
解析线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx＝5tanx，x∈0，π2，解得sinx＝23.所以线段P1P2的长为23.
9．解由题意知cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，
解得x≠kπ2＋π4(k∈Z)．
∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．
……………………………………………………………………………………………(3分)
又f(x)＝2cos4x－3cos2x＋1cos2x
＝2cos2x－1cos2x－12cos2x－1
＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(6分)
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)
显然－sin2x∈[－1,0]，
又∵x≠kπ2＋π4，k∈Z，
∴－sin2x≠－12.
∴原函数的值域为
y|－1≤y－12或－12y≤0.……………………………………………………………(12分)
10．解(1)∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，
∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a(3分)
∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)
(2)当2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，
即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递减，
故函数f(x)的单调递减区间为
[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．…………………………………………………………………(8分)
(3)当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)
∴2sin(2π2＋π6)＋a＝－2，
∴a＝－1.………………………………………………………………………………(12分)
11．解f(x)＝2sinxcosx＋23sin2x－3
＝sin2x＋231－cos2x2－3
＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，
解得单调递减区间是kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.
……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)f(x＋θ)＝2sin2x＋2θ－π3.
根据三角函数图象性质可知，
y＝f(x＋θ)0θπ2在x＝0处取最值，
∴sin2θ－π3＝±1，
∴2θ－π3＝kπ＋π2，θ＝kπ2＋5π12，k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0θπ2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)
延伸阅读
高考数学理科一轮复习函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及性质学案
学案20函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
导学目标：1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
自主梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．
X
Ωx＋φ
y＝
Asin(ωx＋φ)0A0－A0
2.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：
（1）相位变换：y＝sinxy＝sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的点向____(φ0)或向____(φ0)平行移动__________个单位．
（2）周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0ω1)或____(ω1)到原来的________倍(纵坐标不变)．
（3）振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A1)或______(0A1)到原来的____倍(横坐标不变)．
3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．
函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为________．
自我检测
1．(2011池州月考)要得到函数y＝sin2x－π4的图象，可以把函数y＝sin2x的图象()
A．向左平移π8个单位
B．向右平移π8个单位
C．向左平移π4个单位
D．向右平移π4个单位
2．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()
A.π2B.3π8C.π4D.π8
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()
A．向左平移π8个单位长度
B．向右平移π8个单位长度
C．向左平移π4个单位长度
D．向右平移π4个单位长度
4．(2011太原高三调研)函数y＝sin2x－π3的一条对称轴方程是()
A．x＝π6B．x＝π3
C．x＝π12D．x＝5π12
5．(2011六安月考)若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为()
A．1B.2C.3D．2
探究点一三角函数的图象及变换
例1已知函数y＝2sin2x＋π3.
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
变式迁移1设f(x)＝12cos2x＋3sinxcosx＋32sin2x(x∈R)．
(1)画出f(x)在－π2，π2上的图象；
(2)求函数的单调增减区间；
(3)如何由y＝sinx的图象变换得到f(x)的图象？
探究点二求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．
变式迁移2(2011宁波模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cosθ＝13，求f(4θ)的值．
探究点三三角函数模型的简单应用
例3已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t03691215182124
y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
变式迁移3交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6表示，求：
(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．
数形结合思想的应用
例(12分)设关于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求α＋β的值．
【答题模板】
解(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，
作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．
[3分]
由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1－a21－a2≠32.
即－2a－3或－3a2.[6分]
(2)由图知：当－3a2，即－a2∈(－1，32)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6，
∴α＋β＝7π3.[8分]
当－2a－3，即－a2∈(32，1)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，
由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分]
综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π.[12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．
图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sinx＝x的实根个数；⑤对称问题等．
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－3时，方程只有一解．
1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y＝sinx的作用．
2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．
3．三角函数模型应用的解题步骤：
(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是()
A．y＝sin12xB．y＝sin12x－π2
C．y＝sin12x－π6D．y＝sin2x－π6
2．(2011银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是()
A．y＝sinx＋π6
B．y＝sin2x－π6
C．y＝cos4x－π3
D．y＝cos2x－π6
3．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()
A．向左平移5π12个单位长度
B．向右平移5π12个单位长度
C．向左平移5π6个单位长度
D．向右平移5π6个单位长度
4．(2009辽宁)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)等于()
A．－23B．－12
C.23D.12
5．(2011烟台月考)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A0，ω0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是()
A．y＝4sin4x＋π6B．y＝2sin2x＋π3＋2
C．y＝2sin4x＋π3＋2D．y＝2sin4x＋π6＋2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的图象如图所示，则φ＝________.
7．(2010潍坊五校联考)函数f(x)＝cos2x的图象向左平移π4个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)＝______.
8．(2010福建)已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是____________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如下图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，－23]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．
10．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，0ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)．又f(x)的图象关于点N3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f(x)的解析式．
11．(14分)(2010山东)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π，
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间0，π16上的最小值．
答案自主梳理
1.0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φω0π2π3π22π2.(1)左右|φ|(2)伸长缩短1ω(3)伸长缩短A3.A2πω1Tωx＋φφ2π|ω|π|ω|
自我检测
1．B2.D3.A4.D5.B
课堂活动区
例1解题导引(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．
解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.
(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.
列表：
X－π6
π12
π3
7π12
5π6
X0π2
π3π2
2π
y＝sinX010－10
y＝2sin2x＋π3
020－20
描点连线，得图象如图所示：
(3)将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin2x＋π3的图象．
变式迁移1解y＝121＋cos2x2＋32sin2x＋321－cos2x2
＝1＋32sin2x－12cos2x＝1＋sin2x－π6.
(1)(五点法)设X＝2x－π6，
则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，
于是五点分别为π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
得单调增区间为－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.
由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得单调减区间为π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.
(3)把y＝sinx的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin2x－π6＋1的图象．
例2解题导引确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
解由图象可知A＝2，T＝8.
∴ω＝2πT＝2π8＝π4.
方法一由图象过点(1,2)，
得2sinπ4×1＋φ＝2，
∴sinπ4＋φ＝1.∵|φ|π2，∴φ＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.
方法二∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．
∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.
变式迁移2解(1)由题意可得：
A＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，
f(x)＝2sin12x＋φ，f(0)＝2sinφ＝1，
由|φ|π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin(12x＋π6)．
f(x0)＝2sin12x0＋π6＝2，
所以12x0＋π6＝2kπ＋π2，x0＝4kπ＋2π3(k∈Z)，
又∵x0是最小的正数，∴x0＝2π3.
(2)f(4θ)＝2sin2θ＋π6
＝3sin2θ＋cos2θ，
∵θ∈0，π2，cosθ＝13，∴sinθ＝223，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－79，
sin2θ＝2sinθcosθ＝429，
∴f(4θ)＝3×429－79＝46－79.
例3解题导引(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)中参数的确定有如下结论：①A＝ymax－ymin2；②k＝ymax＋ymin2；③ω＝2πT；④φ由特殊点确定．
解(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝2πT＝2π12＝π6，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝12cosπ6t＋1.
(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，
∴12cosπ6t＋11，∴cosπ6t0，
∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，k∈Z，
即12k－3t12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，
得0≤t3，或9t15，或21t≤24.
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3解(1)t＝0时，E＝2203sinπ6＝1103(伏)．
(2)T＝2π100π＝0.02(秒)．
(3)当100πt＋π6＝π2，t＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．
课后练习区
1．C2.D3.A4.C5.D
6.9π10
7．－sin2x
8.－32，3
9．解(1)由图象知A＝2，
∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.
∵|φ|π2，∴φ＝π4.
∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．………………………………………………………………………(5分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(π4x＋π4)＋2sin(π4x＋π2＋π4)
＝22sin(π4x＋π2)＝22cosπ4x.……………………………………………………………(8分)
∵x∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x≤－π6.
∴当π4x＝－π6，即x＝－23时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；
当π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.………………………(12分)
10．解根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，
则有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，
即sinωxcosφ＝0，
∴cosφ＝0，即φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)
再由f(x)＝2sin(－ωx＋π2)＝2cosωx的图象关于点N3π4，0对称，f(3π4)＝2cos(3ω4π)＝0
∴cos3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)
即3ω4π＝kπ＋π2(k∈Z)，ω＝43k＋12(k∈Z)．
又0ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)
最后根据f(x)在区间[0，π]上是减函数，
可知只有ω＝23满足条件．
所以f(x)＝2cos23x.………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx
＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2
＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12
＝22sin2ωx＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)
由于ω0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，
所以g(x)＝f(2x)
＝22sin4x＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)
当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2.
所以22≤sin4x＋π4≤1.
因此1≤g(x)≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）
学案22简单的三角恒等变换
导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝________________；
(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向变换及有关变形
(1)sinαcosα＝____________________cosα＝sin2α2sinα；
(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我检测
1．(2010陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是()
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinAsinB()
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值12，无最小值
探究点一三角函数式的化简
例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．
变式迁移1(2011泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
(1)求f－11π12的值；
(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
探究点二三角函数式的求值
例2已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．
变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．
探究点三三角恒等式的证明
例3(2011苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
变式迁移3求证：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1
＝1＋cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例(12分)(2010江西)已知函数f(x)＝
1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；
(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．
【答题模板】
解(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011平顶山月考)已知0απ，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)等于()
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011石家庄模拟)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为()
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是()
A.12B.22C.32D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；
(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.
10．(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．
11．(14分)(2010北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
答案自主梳理
1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2
自我检测
1．C2.C3.B4.D
课堂活动区
例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1解(1)f(x)
＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴当x＝π8时，g(x)max＝2，
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α
＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α
＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22(cos2α－sin2α)，
∵π2≤α32π，
∴3π4≤α＋π474π.
又cos(α＋π4)＝350，
故可知32πα＋π474π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
从而cos2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0α≤π3，0x≤3，
设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，24]．
变式迁移3证明因为左边＝
2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]
＝2sinxcosxsin2x－cosx－12
＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1
＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx
＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx
＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D[∵0απ，3sin2α＝sinα，
∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.]
2．C[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B[f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴fπ12＝4sinπ6＝8.]
5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析因为α为第二象限的角，又sinα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－2.
8.12
解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα
＝－2(sinα＋cosα)＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin40°2sin20°sin80°2sin40°12sin160°2sin80°
＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分)
＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)
高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案
学案18同角三角函数的基本关系式及诱导公式
导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：______________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：
上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2010全国Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陕西)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，则sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.
探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．
变式迁移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.
探究点二利用诱导公式化简、求值
例2(2011合肥模拟)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．
变式迁移2设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.
探究点三综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
变式迁移3(2011安阳模拟)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
转化与化归思想的应用
例(12分)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．
多角度审题由sinα＋cosα＝15应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，应当切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答题模板】
解(1)联立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思维障碍】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sinα再求cosα.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sinα，cosα的过程中，若消去cosα得到关于sinα的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．
1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011荆州模拟)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，则cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α为第二象限角，则sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011许昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，则f(－313π)的值为()
A.12B．－13C．－12D.13
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002)＝－1，则f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010东北育才学校高三第一次模拟考试)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．
10．(12分)化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．
11．(14分)(2011秦皇岛模拟)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．
答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我检测
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
课堂活动区
例1解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，则2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
则sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，则tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
变式迁移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：k2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α2π；(2)转化为锐角三角函数．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
变式迁移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)当cosA＝22时，cosB＝32，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不合题意．
综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
变式迁移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
课后练习区
1．D[∵A为△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A为钝角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α为第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解当k为偶数2n(n∈Z)时，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
当k为奇数2n＋1(n∈Z)时，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，(6分)
从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)
高考数学（理科）一轮复习函数的图象学案附答案
学案10函数的图象
导学目标：1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．
自主梳理
1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．
2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．
3．利用基本函数图象的变换作图：
(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到．
(2)伸缩变换：函数y＝f(ax)(a0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0a1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y＝af(x)(a0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)
(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；
②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；
③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；
④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；
⑤f(x)与f(2a－x)的图象关于直线________对称；
⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点________对称；
⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；
⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．
自我检测
1．(2009北京)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．(2011烟台模拟)已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是
()
A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)
3．函数f(x)＝1x－x的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是()
A．(－1,0)B．[－1,0)
C．(－2,0)D．[－2,0)
5．(2011潍坊模拟)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()
探究点一作图
例1(1)作函数y＝|x－x2|的图象；
(2)作函数y＝x2－|x|的图象；
(3)作函数的图象．
变式迁移1作函数y＝1|x|－1的图象．
探究点二识图
例2(1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，
则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是()
(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为()
变式迁移2(1)(2010山东)函数y＝2x－x2的图象大致是()
(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝cosxx
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)
探究点三图象的应用
例3若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．
变式迁移3(2010全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
数形结合思想的应用
例(5分)(2010北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是()
A.－14，1B.－14，1
C.－12，1D.－12，1
【答题模板】
答案D
解析因函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
图象的对称轴为x＝1，
当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
当t≥1时，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；
当t1时，
即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts1.综上可知选D.
【突破思维障碍】
当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合ts的几何意义为点(s，t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．
【易错点剖析】
当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t1及联想不起来线性规划．
1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．
2．合理处理识图题与用图题
(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．
(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010重庆)函数f(x)＝4x＋12x的图象()
A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()
A．－2B．2
C．－1D．1
3．(2011北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是()
4．(2011深圳模拟)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为
()
5．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()
A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．为了得到函数y＝3×(13)x的图象，可以把函数y＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．
7．(2011黄山月考)函数f(x)＝2x－1x＋1的图象对称中心是________．
8．(2011沈阳调研)如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．
(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；
(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．
(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；
(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；
(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．
10．(12分)(2011三明模拟)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范围．
11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．
(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
答案自主梳理
2．③奇偶性单调性周期性3.(1)左右|a|上下|a|(2)a1a10a1a(3)①原点y②y③x④原点⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方⑧右方
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1．C[A项y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，
B项y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，
C项y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，
D项y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]
2．C
3．C[∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．]
4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知满足条件的x∈(－1,0)．]
5．B[由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]
课堂活动区
例1解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，
即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x1或x0，
其图象如图所示．
(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其图象如图所示．
(3)
作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，
即得y＝12|x|的图象．
变式迁移1解定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．
又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.
先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．
又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，
得y＝1|x|－1的图象(如图(b)所示)．
例2解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（1）?A?[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.又x0时，g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→（从小于0趋向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)?的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］
变式迁移2(1)A[考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：
当x0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，
且→－∞；
当x0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，
且→＋∞.]
(2)C[由图象知f(x)为奇函数，排除D；
又0，±π2，±32π为方程f(x)＝0的根，故选C.]
例3解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．
方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．
解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.
由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个根．
变式迁移3(1，54)
解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14，x0.
当其图象如图所示时满足题意．
由图知a1，a－141，解得1a54.
课后练习区
1．D[f(x)＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)图象关于y轴对称．]
2.D[令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，
如图，所以t＝1.]
3．D[选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]
4．C[函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)关于x轴对称，函数y＝－f(x)的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f(x＋1)的图象．]
5．B[∵b0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a0，∴a0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]
6．右1
解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，
∴y＝(13)x向右平移1个单位便得到y＝(13)x－1.
7．(－1,2)
解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，
∴函数f(x)图象的对称中心为(－1,2)．
8．(1)A(2)D(3)B(4)C
9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)＝x|x－4|
＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)
f(x)的图象如右图所示．
(3)由图可知，f(x)的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由图象可知f(x)0的解集为
{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝54，
由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解设f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝logax，
要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．
当0a1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分)
当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分)
方法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)
等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋e2x(x0)的图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)
