高二数学矩阵的概念001。
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？以下是小编为大家收集的“高二数学矩阵的概念001”供大家借鉴和使用，希望大家分享！
课题矩阵的概念时间
教学目的学习矩阵相关的概念
重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵
时间
分配教学过程教学方法
教学手段
30ˊ一、导言
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。
二、新授
1．矩阵定义：由个数排成的行列的表
称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。
2．特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当时，称为阶方阵
（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
叫做列矩阵
（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵
3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵
4．常用特殊矩阵：
（1）对角矩阵：
（2）数量矩阵：
讲授法
板演
时间
分配教学过程教学方法
教学手段
（3）单位矩阵：
（4）三角矩阵：
称作上三角矩阵（
称作下三角矩阵。WWw.Jab88.COm
四、小结：本节主要介绍敌阵概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵，要求掌握这些内容。
课后记事注意矩阵与行列式从形式上的区别。
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高二数学矩阵运算002
经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。关于好的高中教案要怎么样去写呢？小编经过搜集和处理，为您提供高二数学矩阵运算002，希望能对您有所帮助，请收藏。
9.2矩阵运算
一、教学内容分析
这一节重点介绍矩阵的三种基本运算：矩阵的加减、实数与矩阵相乘、矩阵的乘法.例2、例3是二阶矩阵的加、减法；例6是二阶矩阵与23阶矩阵的乘法；这三个例题是矩阵的基本运算.必须掌握好矩阵基本运算，并掌握它们的运算律.
例7、例8是矩阵的实际应用题，说明矩阵可用于处理一些复杂的数据问题.
二、教学目标设计
1、理解和掌握矩阵的运算及其运算律;
2、提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力.
三、教学重点及难点
1、提高矩阵的运算能力是重点;
2、矩阵乘法是教学难点.
四、教学流程设计:
五、教学过程设计
（一）情景引入
小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：
题型
答题
姓数
名期中期末
填空题选择题解答题填空题选择题解答题
小王1032844
小李953733
填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分.
1、观察：
2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？
思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩
3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？
（二）学习新课
1、矩阵的加法
（1）引入
记期中成绩答题数为A期末答题数为B
确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C
（2）矩阵的和（差）
当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）
（3）运算律
加法运算律：A+B=B+A
加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（4）举例：P80例2，例3
2、数乘矩阵
（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵
（2）矩阵与实数的积
设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵.记作：A
（3）运算律：（为实数）
分配律：；
结合律：
（4）举例：P81例4
3、矩阵的乘积
（1）引入：P83的两次线性变换
（2）矩阵的乘积：
一般，设A是阶矩阵，B是阶矩阵，设C为矩阵
如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB
（3）运算律
分配律：，
结合律：，
注：交换律不成立，即
（4）举例
例1（1）（2）
（3）（4）
（5）
答案：1）2)3)4)5)
注：（1）（2）结果不同.（3）（4）结果不同，说明矩阵乘法交换律不成立.
例2：P85例8
（三）回归情景：讨论如何使用矩阵运算进一步研究小王、小李的考试成绩.
（四）课堂练习：P83，P86
（五）课堂小结
（六）布置作业：见练习册
七：教学设计说明
1、通过情景题小王、小李的成绩情况引入矩阵运算，说明矩阵运算的重要性.
2、课堂按“加减法→数乘→乘法”展开研究，层层深入，重在掌握2阶，3阶的矩阵的基本运算.
3、对矩阵运算律只进行总结，不进行证明.旨在今后学生能灵活地使用运算律进行运算.这里特别强调乘法的交换律不成立.这是学生思维上不易接受点，在过去的学习的实数运算、集合运算、向量运算的不同之处，必须引起重视.
加强了实际问题的分析，说明矩阵在实际问题中的重要运用.
高二数学集合的概念教案3
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么如何写好我们的教案呢？小编收集并整理了“高二数学集合的概念教案3”，希望对您的工作和生活有所帮助。
第1课时集合的概念
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称．集合中的每一个对象叫做这个集合的．
2．集合中的元素属性具有：
(1)确定性；(2)；(3)．
3．集合的表示法常用的有、和韦恩图法三种，有限集常用，无限集常用，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和的从属关系，若a是集合A的元素，记作，若a不是集合B的元素，记作．但是要注意元素与集合是相对而言的．
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号表示．
6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作．
7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．
8．真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作．
9．若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，解题时不可忽视．
例1.已知集合，试求集合的所有子集.
例2.
例2.设集合，，，求实数a的值.
例3.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.?（1）若A是空集，求m的取值范围；?（2）若A中只有一个元素，求m的值；?（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.?
例4.若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、}，且A∩B＝{2，5}，试求实数的值．
变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.
变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。
变式训练3.（1）已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；?
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.?
变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，}，其中a≠0，若A＝B，求q的值
1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．
4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．
2017高二数学函数的概念
2017高二数学函数的概念
一.知识网络
二.高考考点
1.映射中的象与原象的概念;
2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.
三.知识要点
(一)函数的定义
1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
3、认知:
①注意到现代定义中A、B是非空数集,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.
②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.
(二).映射的概念
将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B
2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.
3、认知:
映射定义的精髓在于任一(元素)对应唯一(元素),即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可一对多,允许多对一.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为满射和非满射两类.
集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B与f：B→A一般情况下是不同的映射.
（三）、函数的表示法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.
3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.
图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
认知:函数符号的意义
在函数的概念中,我们用符号y=f(x)表示y是x的函数这句话.
其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则f表示解析式蕴含的对自变量x施加的一套运算的法则,即一套运算的框架.
具体地,对于函数f(x)=5-2x+3(x1)①对应法则f表示这样一套运算的框架:5()－2（）＋3，（）＞１．
即f:5()-2()+3,()1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5-2a+3(a1);
f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5-2x+3(x1);
f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x))=5(x)-2g(x)+3(g(x)1)②
感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:
f(x)的解析式f[g(x)]的表达式
我们将上述替换形象地称之为同位替换.
显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于等量替换，又高于等量替换，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是等量替换所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.
四.经典例题
例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中()
分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,故当0≤t≤1时,ｓ＝，,由此否定A,B,D,应选C.
分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.
当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1,ΔS2...,ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)=的凹凸性可排除D,故应选C.
例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数y=f(x)的解析式,定义域及值域.
分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4分划讨论的区间.
解:(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时,ｙ＝,即;
(2)当2(3)当4因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为
由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪∪=[0,6].
又当0≤x≤2时,,即此时0≤y≤2;当2当4点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.
例3.(1)已知f(x)=x2+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;(2)已知,求f(x＋1)的解析式.
解:(1)∵f(x)=x2+2x-1(x2)∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+12)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2(x1/2)
(2)由已知得∴以x替代上式中的得f(x)=x2-1(x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1)2-1(x+1≥1)即f(x+1)=x2+2x(x≥0)
点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是换元法,还是上面实施的同位替换,它们都包括两个方面的替换:
(1)解析式中的替换;(2)取值范围中的替换.根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.
例4.设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)分析:为将不等式f(1-x)解:由题设知,在y=f(2x+1)中有-1≤x≤1-1≤2x+1≤3,
∴运用同位替换的思想在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3①又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1②
∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1(-1≤x-1≤3)∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1(-1≤1-x≤3)即f(1-x)=x2-4x+4(-2≤x≤2)
于是有f(1-x)因此,所求不等式f(1-x)点评:在这里,三个不同函数f(2x+1),f(x-1),f(x+1)均以x为自变量,x是一仆三主.因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意两方替换,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.
例5.(1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
①若映射f满足f(a)f(b)≥f(c),则映射f的个数为;
②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为;
③若映射f满足f(a)-f(b)=f(c),则映射f的个数为.
(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为.
分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.
解:(1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
①列表法：∵f(a)f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个.
②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察f(a)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101
由此可知符合条件的映射有7个.
③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c)f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.
（i）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.
（ii）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0}{-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
此时符合条件的映射有4个.
（iii）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1}{-1,0,1}:0=1+(-1),0=(-1)+1∴此时符合条件的映射f有2个
于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.
(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.
(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;
(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有×3=12个;
(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.
点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.
例6.已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着一般与特殊之间的辩证关系,想到从特殊(特殊取值或特殊关系)入手去破解一般,以寻出目标.
解:(1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)①又令x=0,y=0得f(0)=-1②
令x=-1,y=-1得f(-2)=2f(-1)+2∵f(-2)=-2,∴f(-1)=-2③∴将②、③代入①得f(1)=1.
(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2④
根据④,运用阶差法得f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)]∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+即f(t)=∴f(t)=tt2+t-2=0(t-1)(t+2)=0t=1或t=-2
于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.
点评:函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.
五.高考真题
(一)选择题
1.在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0A.0B.1C.2D.3
分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x12.已知,则f(x)的解析式可取为()
A.B.C.D.
分析:运用直接法．令=t，则x=(t≠-1),∴f(t)=(t≠-1)∴f(ｘ)=(x≠-1)应选C
说明:注意到对于,有=－1+≠-1,∴对于f(x)应有x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.
3.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为().
A.1B.2C.3D.4
分析:从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴方程f(x)=x或或x=2或x=2,故本题应选C
4.设函数f(x)=,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为()
A.∪[0,10]B.∪[0,1]C.∪[1,10]D.[-2,0]∪[1,10]
分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.
f(x)≥1或x≤-2或0≤x≤10,故应选A
运用特取法:取,则,由此否定C,D;取x=2,得,由此否定B,故本题应选A
(二)填空题
1.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=.
分析:由f(x)=x2+4x+3得f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
∴由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24
故有∴5a-b=2
2.对于函数定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)②f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
③;④.
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是.
分析:根据对数的运算法则知②正确,①不正确;借助f(x)=lgx的图象,考察的几何意义;经过点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线的斜率,可知③正确;注意到f(x)=lgx的图象上凸,可知④正确.故本题应填②、③、④.
3.已知,则不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集是.
分析:注意到原不等式中f之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化.原不等式或或x-2
∴原不等式的解集为.
(三)解答题
1.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
分析:求对称曲线的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,分类讨论乃是解题取胜的杀手锏.
解:(1)设点Q(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则有
①∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)图象上∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
即y=-x2+2x故有g(x)=-x2+2x
(2)g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0当x≥1时,2x2-x+1≤0,此不等式无解;当x1时,2x2+x-1≤0.
∴原不等式的解集为.
点评:以点对称入手破解对称问题,以绝对值的零值分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.
2.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,=(分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6
(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时,求函数的最小值.
分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用=建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)g(x)的解集，探求所给函数的最小值.
解:(1)由已知得A(-,0),B(0,b),从而=(,b)、又=(2,2),故得∴所求k=1,b=2.
(2)f(x)g(x)x+2x2-x-6x2-2x-80-2===(x+2)+-5(分离整式项)②
又由①知0∴由②得-5=-3当且仅当x+2=即x=-1(满足①式)时等号成立.
∴函数的最小值为-3.
点评:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项.分离整式项的手法,是在分子实施配凑,将分子表示为分母的函数式.
3.已知函数f(x)=(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k1,解关x的不等式.
分析:对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化(为整式不等式)-求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.
解:(1)f(x)-x+12=0-x+12=0将x1=3,x2=4代入方程得解得∴f(x)=
(2)原不等式f(x)-(2-x)[]0
(x-2)(x-1)(x-k)0※
(I)当12;(II)当k=2时,由(※)得(x-2)2(x-1)012;
(III)当k2时,由(※)得1k.于是可知,当1当k2时,原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).
点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用根轴法，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.
4.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数
(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+),其中是常数,且∈,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
分析:对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于分段探求,综合结论的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x)f(x+),又h(x)=cos4x,于是可由f(x)f(x+)=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的一分为二的变形入手.
解:(1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞)Dg=R∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞)时，;
当xDf且x∈Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1;又x∈Df且xDg的x不存在,故得
(2)当x≠1时,=(x-1)++2∴若x1,则x-10,h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
若x1,则x-10,故有h(x)≤0,当且仅当x=0时等号成立.又当x=1时,h(x)=1.
∴函数h(x)的值域为∪{1}∪.
(3)由题意得h(x)=f(x)f(x+)①
又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x)②
∴由①、②知,令f(x)=cos2x+sin2x(x∈R)=则有g(x)=f(x+)==cos2x－sin2x
于是有h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos22x-sin22x=cos4x.
点评:(I)对于(1),务必要注意逐段考察,不可忽略f(1)=1.
(II)既要注意(3)中g(x)=f(x+),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x)f(x+).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.
5.已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)(1)求函数f(x)的表达式;(2)证明:当a3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.
分析:由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用待定系数法探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.
解:(1)由题意设f1(x)=ax2,f2(x)=(k0),由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A,B,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)=∴f(x)=x2+
(2)证法一:由f(x)=f(a)得x2+==－x2+
在同一坐标系内作出f2(x)=与f3(x)=－x2+的大致图象,注意到f2(x)=的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)=－x2+的图象则是以点(0,)为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)=与f3(x)=－x2+的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.①
又∵f2(2)=4,f3(2)=-4∴当a3时,f3(2)－f2(2)=-80,
∴当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在y=f2(x)图象的上方.
∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点.即方程f(x)=f(a)有两个正数解.②
于是由①、②知,当a3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
证法二:由f(x)=f(a)得x2+=(x-a)(x+a-)=0
∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解.①
又方程x+a-=0可化为ax2+－8=0②
由a3得方程②的判别式Δ=a4+32a0
∴由②解得x2=,x3=
∵x20.x30,∴x1≠x2且x2≠x3③
此时,若x1=x3,则有a=3a2=a4=4aa=0或a=
这与a3矛盾,故有x1≠x3④
于是由①、③、④知,原方程有三个实数解.
点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.
高二数学算法概念010
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，减轻教师们在教学时的教学压力。优秀有创意的教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“高二数学算法概念010”，但愿对您的学习工作带来帮助。
10.1算法概念
一、教学内容分析
随着计算机在社会各方面的普及，软件的地位日渐突出；软件通常所指的就是计算机可以执行命令的集合，即程序．算法初步就是针对编写计算机程序而设计的一章教学内容．我们知道数学可以培养学生逻辑思维能力和抽象思维能力，算法和编程同样需要很强的逻辑思维能力和抽象思维能力，从这个方面来说，它是数学学科实际应用的一个重要内容．通过本章的学习，可以让学生体会到计算机是一个重要的工具，通过程序的编写和执行，学生可以体会到人的思维在计算机上得到延续．
二、教学目标设计
1.了解算法的基本概念，能够叙述一些简单问题的算法；
2.理解算法与计算机（器）应用之间的关系，通过简单的算法设计初步认识算法的作用.
三、教学重点及难点
重点：理解算法的作用：算法是解决“做什么”和“怎么做”的问题；
难点：设计算法，认识算法的几个特性．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
（一）算法的引入
做任何事情都有一定的步骤．例如，你要买电视机，先要选好货物，然后付款，开票，取货．（最好再举出一些更专业的例子）用二分法求函数的零点，也是一套按一定步骤的解题方法．不要以为只有“计算”的问题，才是算法．广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步骤，就称为“算法”．
（二）设计几个算法
例1设计算法：求．
解法1①先求，得到结果；
②将步骤①得到的乘积再乘以3，得到结果6；
③将6再乘以4，得到24；
④将24再乘以5，得到120．这就是最后的结果．
[说明]一共4个步骤依次执行，这种结构为顺序结构．这样的算法虽然是正确的，但是太过繁琐．如果是，需要999个步骤，这种做法显然是不可取的．
解法2[分析]可以设计两个变量，一个代表乘数，一个变量代表被乘数．用循环算法来求结果．
①把1赋给变量；
②把2赋给变量；
③做，乘积仍放在变量中，可表示为；
④使的值加1，即；
⑤如果的值不大于5，返回重新执行步骤③以及其后的步骤④和⑤；否则，算法结束．最后的的值就是120．
[说明]不能理解为数学中的，同样不能理解为数学中的等式；解法2表示的算法具有通用性、灵活性，如只要把步骤⑤中的数值5改变为100，就可以求出的值．步骤③④⑤组成一个循环，在实现算法时，要反复多次执行③④⑤步骤，直到某一时刻，在执行步骤⑤时经过判断，乘数已超过规定的数值而不返回到步骤③为止．此时结束算法，变量的值就是所求的结果．
例2对于第七章阅读材料中所给出的Fibonacci数列：
计算并输出和前项的和．
[说明]该例题对于刚接触算法的同学有些过难了．有例1的铺垫，例2就可以很好的理解了．
例3对于任意五个数，设计算法
（1）求它们中的最大数；
（2）在求得最大数的同时，给出该数的序号．
[说明]如果,那么…；否则…．该结构成为条件结构．
例4将任意给定的五个数按数值由小到大的顺序排列．
[说明]步骤①中，就可以实现最大值与的对换，顺序不能颠倒；如果是顺序执行，的值就消失了，这样就出现逻辑上的错误．
从几个实例中，可以体会到算法的一些特点：有限性（如不能出现程序无法终止的情况，如例1步骤⑤中把“的值不大于5”误写成了“的值大于-1”，程序就无法终止了）；确定性（每一个步骤不能存在“二义性”）；可行性；有输入和输出．
根据上面几个例子，介绍顺序结构；条件结构和循环结构．
（三）课堂小结
由学生总结交流：通过本节学习，你对算法的认识是什么？
（四）课后作业
补充：1、写出算法．
练习10.1两个题目．
