平面向量的正交分解和坐标表示及运算。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。关于好的教案要怎么样去写呢？以下是小编为大家收集的“平面向量的正交分解和坐标表示及运算”供您参考，希望能够帮助到大家。

平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………○2
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1）若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即，同理可得
（2）若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2，2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)
例4已知三个力(3，4)，(2，5)，(x，y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++=得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)
即：∴∴(5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3，-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标
2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2=.
3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

精选阅读

§3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示

§3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示
【学情分析】：
本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面
（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理
（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解
【教学重点】：
空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用
【教学难点】：
空间向量的分解
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理
二．新课讲授1．空间向量的正交分解
设，，是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量，设Q为点P在，所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所确定的平面上，存在实数z，使得
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得
从而
以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。
由此可知，对空间任一向量，存在一个有序实数组{}，使得，称，，为向量在，，上的分向量。
2．空间向量的基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
由此定理，若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使记
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使
注意介绍单位正交基、正交基、基的特殊与一般的关系，以帮助学生理解概念。
三．典例讲练例1．如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
解：

∴
向量的分解过程中注意向量的运算的正确使用。
四．练习巩固1、如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和
解：
课本P94练习1、2、3
五．拓展与提高1．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量（）
A．互不相等B．至多有两个相等C．至少有两个相等D．有且只有两个相等
2．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。
六．小结1．正交分解的推导和空间向量基本定理
2．如何将向量用坐标表示
3．任意空间向量在某组基底下的分解
七．作业课本P97习题3.1第6题

练习与测试：
（基础题）
1如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和
解：

2．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）
A．B．C．D．
3．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量（）
A．互不相等B．至多有两个相等C．至少有两个相等D．有且只有两个相等
4．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是()
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定
6．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，
则x＋y＋z＝．
7．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
以｛，，｝为基底，则＝．

（中等题）
8．已知四面体中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）
(1).(2).
(3).(4).
不一定成立的是.

9,已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。

平面向量坐标表示

平面向量坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量坐标表示
授课时间撰写人
学习重点平面向量的坐标运算．

学习难点对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

教学过程
一自主学习
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？

二师生互动
例1已知，，求和.

例2已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.

变式：若与的交点为，试求点的坐标.

练1.已知向量的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷

三巩固练习
1.若向量与向量相等，则（）
A.B.
C.D.
2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）
A.B.
C.D.
3.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
4.设点，，且
，则点的坐标为.
5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知点，及，，，求点、、的坐标。

四课后反思

五课后巩固练习
1.若点、、，且，，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？

2.已知向量，，，试用来表示.

高中数学必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示导学案

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“高中数学必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示导学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【新知自学】
知识回顾：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2；
使得
给定基底，分解形式惟一.λ1，λ2由，，唯一确定.
2.向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，
当=，、同向；当=，、反向（同向、反向通称平行）；
当=°，称与垂直，记作。
新知梳理：
由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个的向量。
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得=x+y………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作=(x,y)………○2
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，=(1,0)=(0,1)，=(0,0).
3.在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。
如图，在直角坐标平面内，以原点为起点作=，则点的位置由唯一确定.
设=x+y，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.
对点练习：
1.如图，向量、是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且||=4，以向量、为基底，向量=_________

2.在平面直角坐标系下，起点是坐标原点，终点A落在直线上，且模长为1的向量的坐标是___________

【合作探究】
典例精析：
例1：请写出图中向量,,的坐标

变式1：请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.

例2:如图所示，用基底、分别表示向量、、、并求出它们的坐标。

变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，，，求向量的坐标

【课堂小结】
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。
将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。
【当堂达标】
1、已知力在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力的实际大小是__________，若水平方向为x轴的正方向，竖直方向为y轴的正方向，则力的坐标表示是______________

2、若，（，为单位向量），则的坐标（x，y）就是____的坐标，即若=（x，y），则点A的坐标就是_______________。

3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量的坐标。

【课时作业】
1．设、是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且，，则△OAB的面积等于（）
A、15B、10C、7.5D、5
2、在平面直角坐标系中，A（2,3），B(-3,4)，如图所示，x轴，y轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是__________
①2+3;②3+4;
③-5+;④5-.

3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OC=6，，则用坐标表示下列向量：_______________；
______________；______________；
______________；

4.在直角坐标系xoy中，向量的方向如图所示，且，分别写出他们的坐标。

5.如图，已知O为坐标原点，点A在第一象限，，，求向量的坐标。

【延伸探究】
在平面直角坐标系中，A（1,1），B（-2,4），则向量的坐标是_________

平面向量的基本定理及坐标表示

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《平面向量的基本定理及坐标表示》，希望能对您有所帮助，请收藏。

平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1已知向量，求作向量2.5+3.
例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t(tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系
A.不共线B.共线C.相等D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=.
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：