22.2.降次——解一元二次方程。

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么如何写好我们的高中教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“22.2.降次——解一元二次方程”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

22.2.降次——解一元二次方程

教学任务分析

教学目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。

教学过程问题与情景师生活动

设计意图

一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x2-6x+5=0（2）2x2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）复习配方法解一元二次方程的步骤，二、自主学习：一）自学课本Ｐ34---P35思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加的是什么？3、教材中方程能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？二)自学课本Ｐ36归纳：讨论：思考：b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系？（学生能自己总结出来最好，教师要把“归纳”作简单板书）5、交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。关键感受推导过程。在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终推导出求根公式，形成把一个一元二次方程方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再求解的方法。三、例题学习：例1（教材P36例2）解下列方程：例2、不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）3x2+x-1=0(2)x2+4=4x(3)2x2+6=3x在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。

交流与点拨：1、用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。2、由例题你发现一元二次方程根的情况有哪几种？3、对照教材体会解题过程。牢牢把握用公式法解一元二次方程的一般步骤。四、课堂练习：1教材P42练习1学生板演，教师点评。通过练习加深学生用公式法解一元二次方程的方法。五、布置作业

1、教材P42习题22.2第4、5题

六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、经历求根公式推导过程。2、会用公式法解一元二次方程。3、会用b2-4ac判断一元二次方程根的情况。①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；

延伸阅读

一元二次不等式

课题:3.2一元二次不等式（4）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
掌握一元二次不等式的解法；学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题；体会由实际问题建立数学模型的过程．
【课前预习】
1．已知某市场某一年的前个月商品累计需求量为，问：这一年哪几个月份商品需求量超过万件？

2．某校在一块长，宽的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉（花卉带的宽度相等），中间铺设草坪（如图），要使草坪面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度范围．
【课堂研讨】
例1.用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成矩形的面积最大？

例2某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件与货价元/件之间的
关系为，生产件所需成本为元．
问：该厂日产量多大时，日获利不少于元？

例3汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．
问：甲、乙两车有无超速现象？

【学后反思】
课题:3.2一元二次不等式（4）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？

2．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，已知某种酒每瓶元，不加收附加税时，每年大约销售万瓶；若政府征收附加税，每销售元要征税元（叫做税率），则每年的销售量将减少万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于万，应怎样确定？

【课后巩固】
1．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为（万元），其中是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量为多少时，企业所得的利润最大？
（3）年产量为多少时，企业才不亏本？

2．已知汽车刹车到停车所滑行的距离与速度的平方及汽车的总重量的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以行驶时，从刹车到停车滑行了，如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶，并与前面的车辆距离为，为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞，那么最大车速是多少？（假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁，答案精确到）

一元二次不等式解法

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？下面的内容是小编为大家整理的一元二次不等式解法，仅供参考，欢迎大家阅读。

第十二教时

教材：一元二次不等式解法

目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。

过程：

一、课题：一元二次不等式的解法

先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如2x-70x

y

这里利用不等式的性质解题

从另一个角度考虑：令y=2x-7作一次函数图象：

xc

O

引导观察，并列表，见P17略

当x=3.5时,y=0即2x-7=0

当x3.5时,y0即2x-70

当x3.5时,y0即2x-70

结论：略见P17

注意强调：1°直线与x轴的交点x0是方程ax+b=0的解

2°当a0时,ax+b0的解集为{x|xx0}

当a0时,ax+b0可化为-ax-b0来解

y

二、一元二次不等式的解法

同样用图象来解，实例：y=x2-x-6作图、列表、观察

-2O3x

当x=-2或x=3时,y=0即x2-x-6=0

当x-2或x3时,y0即x2-x-60

当-2x3时,y0即x2-x-60

∴方程x2-x-6=0的解集：{x|x=-2或x=3}

不等式x2-x-60的解集：{x|x-2或x3}

不等式x2-x-60的解集：{x|-2x3}

这是△0的情况：

若△=0,△0分别作图观察讨论

得出结论：见P18--19

说明：上述结论是一元二次不等式ax+bx+c0(0)当a0时的情况

若a0,一般可先把二次项系数化成正数再求解

三、例题P19例一至例四

练习：（板演）

有时间多余，则处理《课课练》P14“例题推荐”

四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）

五、作业：P21习题1.5

《课课练》第8课余下部分

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

教学目标

（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；
（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；
（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．

教学重点：一元二次不等式的解法；

教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ．设置情境

问题：

①解方程
②作函数的图像
③解不等式

【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索与研究

我们现在就结合不等式的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程的解集为
不等式的解集为

【置疑】哪位同学还能写出的解法？（请一程度差的同学回答）
【答】不等式的解集为
我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题的解集，还求出了的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。
下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见，暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：
如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）
【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）

【答】的解集依次是
的解集依次是
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数的图像。
课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）
Ⅲ．演练反馈
1．解下列不等式：
（1）（2）
（3）（4）
2．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是。
3．解不等式
（1）（2）
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）R
2．
3．（1）
（2）当或时，，当时，
当或时，。
Ⅳ．总结提炼
这节课我们学习了二次项系数的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。
（五）、课时作业
（P20．练习等3、4两题）
（六）、板书设计

第二课时

Ⅰ．设置情境
（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）
上节课我们只讨论了二次项系数的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？
Ⅱ．探索研究
（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）
生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数的一元二次不等式的解集．
生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．
师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．
（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）
[知识运用与解题研究]
由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求
解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（调两位程度中等的学生演板）
（1）（2）
（分别为课本P21习题1．5中1大题（2）、（4）两小题．教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）
训练二可化为一元一次不等式组来求解的不等式．
目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如（或）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本P20上关于不等式求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题．）
【答】因为满足不等式组或的x都能使原不等式成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．
这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式．（调三位程度各异的学生演板．教师巡视，重点关注程度较差的学生）．
（1）［P20练习中第1大题］
（2）［P20练习中第1大题］
（3）［P20练习中第2大题］
（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解P21例5）．
例5解不等式
因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解（或）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。
解：（略）
现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。
（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。）
[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。
（通过多媒体或其他载体给出下列各题）
1．不等式与的解集相同此说法对吗？为什么[补充]
2．解下列不等式：
（1）［课本P22第8大题（2）小题］
（2）［补充］
（3）［课本P43第4大题（1）小题］
（4）［课本P43第5大题（1）小题］
（5）［补充］
（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）
参考答案：
1．不对。同时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化为：，即
解集为。
（3）原不等式可化为
解集为
（4）原不等式可化为或
解集为
（5）原不等式可化为：或解集为
Ⅲ．总结提炼
这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。
（五）布置作业
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板书设计

一元二次不等式的应用

3.2.3一元二次不等式的应用
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次不等式的解法；进一步研究一元二次不等式的应用。
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法。
【教学难点】
分式不等式及简单高次不等式的解法的理解。
【教学过程】
1、引入
上一小节我们讨论了一元二次不等式的解法，本小节我们进一步研究一元二次不等式的应用。

2、发展探究
例1：解下列不等式
(1)1x2－3x+3≤7(2)(x2+4x-5)(x2-2x+2)0
(3)(x2+4x-5)(x2-4x+4)0(4)x4-x2-6≥０
(5)0(6)≤0
【解】
答案：（１）（２）
（３）（４）
（５）（６）
【课堂练习1】
1.函数y=的定义域为______
2.函数y=lg(2x2+3x-1)的定义域为______
３.函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为______
４．设k∈R,x1,x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根,则x+x的最小值为（Ｃ）
A.—2B.0C.1D.2

例2、（高次不等式的解法）解下列不等式：
（1）（2）
答案：（1）（2）

【思维点拨】
解高次不等式的方法步骤：
方法：序轴标根法．
步骤：①化一边为零且让最高次数系数为正；
②把根标在数轴上；
③右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根；
④根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集。
注：①重根问题处理方法：“奇过偶不过”．
②分式不等式转化为高次不等式求解．

【课堂练习2】
课本94页练习1第3、4题。

例1、课本94页例12.

3、课堂小结：

3、课后作业：
课本98页习题3-2A组第7、8题；B组第3题（选作）。

【板书设计】

【教后记】