集合的运算。

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，使教师有一个简单易懂的教学思路。您知道教案应该要怎么下笔吗？下面是小编帮大家编辑的《集合的运算》，仅供参考，希望能为您提供参考！

�www.JAB88.cOM��学必修1：集合的运算（三）
教学目标：
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
能用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
教学重、难点：
会求给定子集的补集，用文氏图表达集合的关系及运算
教学过程：
（一）复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.
（二）讲述新课
一、全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
二、若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作，
三、基本性质
，，
，
注：是否给出证明应根据学生的基础而定.
四、补充
1、分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分
2、已知全集I=，若，，求实数
3、已知全集，集合，
，其中，若，求
4、已知全集I={小于10的正整数}，其子集A,B满足，，，求集合A,B
课堂练习：第19页练习A、B
小结：1、本节课我们学习了补集的概念和基本性质
2、文氏图对理解集合概念有重要作用
课后作业：第20页，第8题
第21页，第5题

相关阅读

集合的概念与运算

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《集合的概念与运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算
高考要求
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质
知识点归纳
定义：一组对象的全体形成一个集合.
特征：确定性、互异性、无序性.
表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
分类：有限集、无限集.
数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.
关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.
运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集
性质：AA；φA；若AB，BC，则AC；
A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C(CA)＝A；
C(AB)＝(CA)∩(CB).
方法：韦恩示意图,数轴分析.
注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。
④区分集合中元素的形式：如；；；；；；。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
题型讲解
例1已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1m＜0.
综合①②知-1m≤0，∴Q={m∈R|-1m≤0}.
答案：C
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
例3已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由得
x2+（m－1）x+1=0.①
∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.
评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.
例4设，求实数的取值范围。
分析：若满足，则集合B需分两种情况求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。
解：由.
∵，∴
当，即无实根，由，
即，解得；
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
综上所得。
例5求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
解：如图先画出文氏图，不难看出不符合条件
的数共有
（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
例6已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。
分析：此题的关键是理解符号是两层含义：
解：∵∴，即＝0，
解得
当时，，为A中元素
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或。
另法：∵∴，
∴＝0且
∴或。
变式思考题：
同时满足条件：①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个：
.
例7某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解：设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，
既学舞蹈又学唱歌的人又z人，
由题意可列方程：
解得
所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人。
例8对于集合,是否存在实数？若存在，求出的取值，若不存在，试说明理由。
解：∴,即二次方程:
，
,解之得
故存在实数.
例9已知集合，,
,求的值。
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得
又因为当时，与题意不符
所以，.
例10已知为全集，,.
解:由
所以
由
例11已知集合，求的值.
解：
（1）当含有两个元素时：；
（2）当含有一个元素时：
若
若
综上可知：。
小结：
1.正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；
2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。
3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。
4.注意符号的理解，相互之间的转化：例如等等.
学生练习
题组一：
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（A）∩B等于
A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}
解析：A={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），
∴（A）∩B={4}.
答案：D
3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=PB.P∩QQC.P∪Q=QD.P∩QP
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，
则（Q）=｛3｝，（P）={2，3}，易见（Q）∩P=.
答案：（Q）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：BA，A∈C，B∈C
题组二：
1.设全集为实数集R，集合M={x|x21999x20000},P={x||x1999|a}(a为常数）,且1P,则M与P满足（）
(A)(B)
(C)(D)
2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB
成立的所有a的集合是（）
(A){a|1a9}(B){a|6a9}(C){a|a9}(D)
3．设集合A={x|x2a},B={x|x2},若A∩B=A,则实数a的取值范围是（）
（A)a4(B)a4(C)0a4(D)0a4
4．若{1,2}A{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为。
5．设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若BA,则实数a的不同取值个数为。
6.设全集I=R，集合A={x|x2x2=y2,yR,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则
=.
7．若集合A={32x,1,3},B={1,x2},且AB=A,求实数x.
8．设全集I=R，A={x|0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩.
9．已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩B=,求实数a的取值范围。
10．已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。
11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x|=1},且A∩B,A∩C=,求实数a的值。
参考答案：
1.D2．B.3．B.
4．75．36.(,0][2,+).7．x=3或x=.
8．{1}.9．a或a210．m3/211．a=5
课前后备注

集合的基本运算教案

1.1.3集合的基本运算（第一课时）
一，教学目标
1，知识与技能：
（1）理解并集和交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集
（2）能够使用Venn图表达两个集合的运算，体会直观图像对抽象概念理解的作用
2，过程与方法
（1）进一步体会类比的作用
（2）进一步树立数形结合的思想
3，情感态度与价值观
集合作为一种数学语言，让学生体会数学符号化表示问题的简洁美.

二，教学重点与难点
教学重点：并集与交集的含义
教学难点：理解并集与交集的概念，符号之间的区别与联系

三，教学过程
1，创设情境
（1）通过师生互动的形式来创设问题情境，把学生全体作为一个集合，按学科兴趣划分子集，让他们亲身感受，激起他们的学习兴趣。
（2）用Venn图表示（阴影部分）

2，探究新知
（1）通过Venn图，类比实数的加法运算，引出并集的含义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A和集合B的并集。
记作：A∪B，读作：A并B，其含义用符号表示为：
.
（2）解剖分析：
1“所有”：不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，即简单平凑，要满足集合的互异性，相同的元素即A和B的公共元素只能算作并集中的一个元素
2“或”：“”这一条件，包括下列三种情况：；；
3用Venn图表示A∪B：

（3）完成教材P8的例4和例5（例4是较为简单的不用动笔，同学直接口答即可；例5必须动笔计算的，并且还要通过数轴辅助解决，充分体现了数形结合的思想。）
（4）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？（具体画出A与B相交的Venn图）
（5）交集的含义：一般地，由属于集合A和集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：A∩B，读作：A交B，其含义用符号表示为
（6）解剖分析：
1“且”
2用Venn图表示A∩B：

（7）完成教材P9的例6（口述）
（8）（运用数轴，答案为）

3，巩固练习
（1）教材P9的例7
（2）教材P11#1#2

4，小结作业：
（1）小结：1并集和交集的含义及其符号表示
2并集与交集的区别（符号等）
（2）作业：
1必做题：教材P12#6#7
2选做题：已知，（答案：）)

集合的基本运算教学设计

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，减轻教师们在教学时的教学压力。优秀有创意的教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“集合的基本运算教学设计”，希望对您的工作和生活有所帮助。

教学设计
1.1.3集合的基本运算
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集、全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
作者：尚大志
导入新课
思路1．我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2．请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．
思路3．(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1
②观察集合A，B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．
(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．
(4)试用Venn图表示A∪B＝C.
(5)请给出集合的并集定义．
(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？
①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；
②A＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}．
(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示．
讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集．记为A∪B＝C，读作A并B.
(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
(3)C＝{x|x∈A，或x∈B}．
(4)如图1所示．
(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B＝C，②A∪B＝C.
(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如图2所示．
图2
应用示例
例1集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：因为A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝.
图3
点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
变式训练
1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝22n－1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以AB.
而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．
解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.
3．设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.
解：∵A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9.
∴a＝10或a＝±3.
当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．
故a＝10.此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．
4．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于()
A．{x|－3＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－3}D．{x|x＜1}
解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，
观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．
答案：A
例2设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，∴BA.
∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有－4＋0＝－2(a＋1)，－4×0＝a2－1.
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
变式训练
1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题意知A(A∩B)，即AB，A非空，利用数轴得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
分析：由A∪B＝A得BA，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．
解：∵A∪B＝A，∴BA.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠.
当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
当B≠时，观察图4：
图4
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
知能训练
课本本节练习1,2,3.
【补充练习】
1．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(，)填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)由Venn图可知
A∩BA，BA∩B，A∪BA，A∪BB，A∩BA∪B.
2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝.
4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.
分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素．
解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，∴A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．
7．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()
A．ACB．CAC．A≠CD．A＝
解析：思路一：∵(B∩C)B，(B∩C)C，A∪B＝B∩C，
∴A∪BB，A∪BC.∴ABC.∴AC.
思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B，D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，
而此时A＝C，排除C.
答案：A
拓展提升
观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
(2)当A＝时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
图5
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．(1)(2)(3)中的集合A，B均满足AB，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．
解：A∩B＝AABA∪B＝B.
用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A(A∪B)，B(A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，ABA∪B＝B；
A∩B＝B∩A；(A∩B)A，(A∩B)B；A∩A＝A；A∩＝；ABA∩B＝A.
课堂小结
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
作业
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8.
设计感想
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．
第2课时
作者：赵冠明
导入新课
问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x－3)＝0，其结果会相同吗？
②若集合A＝{x|0＜x＜2，x∈Z}，B＝{x|0＜x＜2，x∈R}，则集合A，B相等吗？
学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合：
A＝{x∈Z|(x－2)＝0}；
B＝{x∈Q|(x－2)＝0}；
C＝{x∈R|(x－2)＝0}.
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①中，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn图表示UA.
活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
讨论结果：①A＝{2}，B＝2，－13，C＝2，－13，2.
②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
⑤B＝{2,3}．
⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．
集合A相对于全集U的补集记为UA，即UA＝{x|x∈U，且xA}．
⑦如图6所示，阴影表示补集．
图6
应用示例
思路1
例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求UA，UB.
活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出UA，UB.
解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以UA＝{4,5,6,7,8}，UB＝{1,2,7,8}．
点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．
常见结论：U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
变式训练
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(UA)∩(UB)等于()
A．{1,6}B．{4,5}
C．{2,3,4,5,7}D．{1,2,3,6,7}
解析：思路一：观察得(UA)∩(UB)＝{1,3,6}∩{1,2,6,7}＝{1,6}．思路二：A∪B＝{2,3,4,5,7}，则(UA)∩(UB)＝U(A∪B)＝{1,6}．
答案：A
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(UB)等于()
A．{1,2,3,4,5}B．{1,4}
C．{1,2,4}D．{3,5}
答案：B
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3，4,5,6,7}，则P∩(UQ)等于()
A．{1,2}B．{3,4,5}
C．{1,2,6,7}D．{1,2,3,4,5}
答案：A
例2设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B，U(A∪B)．
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：根据三角形的分类可知A∩B＝，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.
变式训练
1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求RA.
解：RA＝{x|x＜3，或x≥8}．
2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，AB，SA.
解：B∩C＝{x|x是正方形}，AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，SA＝{x|x是梯形}．
3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(IA)∩B＝{2}，(IB)∩A＝{4}，求实数a，b的值．
解：a＝87，b＝－127.
4．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋3}，B＝{3,4,5,6}，则(UA)∩B等于()
A．{4}B．{4,5,6}C．{2,3,4}D．{1,2,3,4}
解析：∵U＝R，A＝{x|x≤2＋3}，∴UA＝{x|x＞2＋3}．而4,5,6都大于2＋3，∴(UA)∩B＝{4,5,6}．
答案：B
思路2
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
(1)UA，UB；
(2)(UA)∪(UB)，U(A∩B)，由此你发现了什么结论？
(3)(UA)∩(UB)，U(A∪B)，由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．
解：在数轴上表示集合A，B，如图7所示，
图7
(1)由图得UA＝{x|x＜－2，或x＞4}，UB＝{x|x＜－3，或x＞3}．
(2)由图得(UA)∪(UB)＝{x|x＜－2，或x＞4}∪{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－2，或x＞3}；∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴U(A∩B)＝U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2，或x＞3}．
∴得出结论U(A∩B)＝(UA)∪(UB)．
(3)由图得(UA)∩(UB)＝{x|x＜－2，或x＞4}∩{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－3，或x＞4}；∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴U(A∪B)＝U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3，或x＞4}．∴得出结论U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
变式训练
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(UA)∪(UB)等于()
A．{1,6}B．{4,5}
C．{1,2,3,4,5,7}D．{1,2,3,6,7}
答案：D
2．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(IB)等于()
A．{1}B．{1,2}C．{2}D．{0,1,2}
答案：D
例2设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩(UB)＝{3,5}，(UA)∩B＝{7,19}，(UA)∩(UB)＝{2,17}，求集合A，B.
活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．
解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如图8所示，
图8
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.
变式训练
1．设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是()
图9
A．M∩[(IN)∩P]
B．M∩(N∪P)
C．[(IM)∩(IN)]∩P
D．M∩N∪(N∩P)
解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B，D.
思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在(IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(IN)∩P]．
答案：A
2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(UA)∩B＝{3,7}，(UB)∩A＝{2,8}，(UA)∩(UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.
解析：借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了．
图10
答案：{2,4,8,9}{3,4,7,9}
知能训练
课本本节练习4.
【补充练习】
1．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述UA的意义．
解：A＝{x|2x＋1＞0}，即不等式2x＋1＞0的解集，UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴UA即不等式2x＋1≤0的解集．
2．如图11所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．
图11
解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内；二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即(US)∩(M∩P)．
答案：(US)∩(M∩P)
3．设集合A，B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(UA)∩(UB)＝{2}，(UA)∩B＝{1}，则A等于()
A．{1,2}B．{2,3}C．{3,4}D．{1,4}
解析：如图12所示．
图12
由于(UA)∩(UB)＝{2}，(UA)∩B＝{1}，则有UA＝{1,2}．∴A＝{3,4}．
答案：C
4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则U(S∪T)等于()
A．B．{2,4,7,8}C．{1,3,5,6}D．{2,4,6,8}
解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T＝{1,3,5,6}，则U(S∪T)＝{2,4,7,8}．
答案：B
5．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪(IB)等于()
A．{1}B．{1,3}C．{3}D．{1,2,3}
解析：∵IB＝{1,3}，∴A∪(IB)＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．
答案：B
拓展提升
问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
(1)至少解对其中一题者有多少人？
(2)两题均未解对者有多少人？
分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决．
解：设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}，
A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，U(A∪B∪C)＝{两题均未解对的学生}．
由已知，A∪C有34个人，C有20个人，
从而知A有14个人；B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42(人)，U(A∪B∪C)有N2＝50－42＝8(人)．
∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人．
课堂小结
本节课学习了：
①全集和补集的概念和求法．
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．
作业
课本习题1.1A组9,10，B组4
设计感想
本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．
备课资料
【备选例题】
【例1】已知A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，
又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．
故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．
【例2】设S＝{(x，y)|xy＞0}，T＝{(x，y)|x＞0，且y＞0}，则()
A．S∪T＝SB．S∪T＝TC．S∩T＝SD．S∩T＝
解析：S＝{(x，y)|xy＞0}＝{(x，y)|x＞0且y＞0，或x＜0且y＜0}，则TS，所以S∪T＝S.
答案：A
【例3】某城镇有1000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：设这1000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示．有彩电无空调的有819－535＝284(户)；有空调无彩电的有682－535＝147(户)，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966(户)．填966.
图13
答案：966
【知识拓展】
差集与补集
有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A－B(或AB)．
例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．
也可以用Venn图表示，如图14所示(阴影部分表示差集)．
图14
图15
特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作B.
例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，B＝I－B＝{4,5}．
也可以用Venn图表示，如图15所示(阴影部分表示补集)．
从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．

集合的概念与运算技巧

【命题趋向】
1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.
2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1.正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x21,x∈R},N={y|y=x1,x∈R},则M∩N=()
A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2}D.{y|y≥1}
思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x21(x∈R),y=x1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.
解:M={y|y=x21,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x1,x∈R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D.
点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组
从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x21}、{y|y=x21,x∈R}、{(x,y)|y=x21,x∈R},这三个集合是不同的.
例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x21,x∈R},则P∩Q等于()
A.PB.QC.D.不知道
思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y=x21(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.
解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x21的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知QP,即P∩Q=Q.∴应选B.
例3.若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()
A.P∩Q=B.PQC.P=QD.PQ
思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:正确解法应为:P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=.∴应选A.
例4(2007年安徽卷文)若,则=()
A.{3}B.{1}C.D.{-1}
思路启迪:
解:应选D.
点评:解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.