高中集合教案
发表时间：2020-09-22集合的运算。
数学必修1：集合的运算（三）教学目标：
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
能用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
教学重、难点：
会求给定子集的补集，用文氏图表达集合的关系及运算
教学过程：
（一）复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.
（二）讲述新课
一、全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
二、若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作，
三、基本性质
，，
，
注：是否给出证明应根据学生的基础而定.
四、补充
1、分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分
2、已知全集I=，若，，求实数
3、已知全集，集合，
，其中，若，求
4、已知全集I={小于10的正整数}，其子集A,B满足，，，求集合A,B
课堂练习：第19页练习A、B
小结：1、本节课我们学习了补集的概念和基本性质
2、文氏图对理解集合概念有重要作用
课后作业：第20页，第8题
第21页，第5题
相关知识
集合的概念与运算
俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《集合的概念与运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算
高考要求
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质
知识点归纳
定义：一组对象的全体形成一个集合.
特征：确定性、互异性、无序性.
表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
分类：有限集、无限集.
数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.
关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.
运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集
性质：AA；φA；若AB，BC，则AC；
A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C(CA)＝A；
C(AB)＝(CA)∩(CB).
方法：韦恩示意图,数轴分析.
注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。
④区分集合中元素的形式：如；；；；；；。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
题型讲解
例1已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1m＜0.
综合①②知-1m≤0，∴Q={m∈R|-1m≤0}.
答案：C
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
例3已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由得
x2+（m－1）x+1=0.①
∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.
评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.
例4设，求实数的取值范围。
分析：若满足，则集合B需分两种情况求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。
解：由.
∵，∴
当，即无实根，由，
即，解得；
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
综上所得。
例5求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
解：如图先画出文氏图，不难看出不符合条件
的数共有
（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
例6已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。
分析：此题的关键是理解符号是两层含义：
解：∵∴，即＝0，
解得
当时，，为A中元素
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或。
另法：∵∴，
∴＝0且
∴或。
变式思考题：
同时满足条件：①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个：
.
例7某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解：设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，
既学舞蹈又学唱歌的人又z人，
由题意可列方程：
解得
所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人。
例8对于集合,是否存在实数？若存在，求出的取值，若不存在，试说明理由。
解：∴,即二次方程:
，
,解之得
故存在实数.
例9已知集合，,
,求的值。
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得
又因为当时，与题意不符
所以，.
例10已知为全集，,.
解:由
所以
由
例11已知集合，求的值.
解：
（1）当含有两个元素时：；
（2）当含有一个元素时：
若
若
综上可知：。
小结：
1.正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；
2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。
3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。
4.注意符号的理解，相互之间的转化：例如等等.
学生练习
题组一：
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（A）∩B等于
A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}
解析：A={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），
∴（A）∩B={4}.
答案：D
3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=PB.P∩QQC.P∪Q=QD.P∩QP
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，
则（Q）=｛3｝，（P）={2，3}，易见（Q）∩P=.
答案：（Q）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：BA，A∈C，B∈C
题组二：
1.设全集为实数集R，集合M={x|x21999x20000},P={x||x1999|a}(a为常数）,且1P,则M与P满足（）
(A)(B)
(C)(D)
2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB
成立的所有a的集合是（）
(A){a|1a9}(B){a|6a9}(C){a|a9}(D)
3．设集合A={x|x2a},B={x|x2},若A∩B=A,则实数a的取值范围是（）
（A)a4(B)a4(C)0a4(D)0a4
4．若{1,2}A{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为。
5．设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若BA,则实数a的不同取值个数为。
6.设全集I=R，集合A={x|x2x2=y2,yR,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则
=.
7．若集合A={32x,1,3},B={1,x2},且AB=A,求实数x.
8．设全集I=R，A={x|0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩.
9．已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩B=,求实数a的取值范围。
10．已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。
11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x|=1},且A∩B,A∩C=,求实数a的值。
参考答案：
1.D2．B.3．B.
4．75．36.(,0][2,+).7．x=3或x=.
8．{1}.9．a或a210．m3/211．a=5
课前后备注
集合的基本运算教案
1.1.3集合的基本运算（第一课时）
一，教学目标
1，知识与技能：
（1）理解并集和交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集
（2）能够使用Venn图表达两个集合的运算，体会直观图像对抽象概念理解的作用
2，过程与方法
（1）进一步体会类比的作用
（2）进一步树立数形结合的思想
3，情感态度与价值观
集合作为一种数学语言，让学生体会数学符号化表示问题的简洁美.
二，教学重点与难点
教学重点：并集与交集的含义
教学难点：理解并集与交集的概念，符号之间的区别与联系
三，教学过程
1，创设情境
（1）通过师生互动的形式来创设问题情境，把学生全体作为一个集合，按学科兴趣划分子集，让他们亲身感受，激起他们的学习兴趣。
（2）用Venn图表示（阴影部分）
2，探究新知
（1）通过Venn图，类比实数的加法运算，引出并集的含义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A和集合B的并集。
记作：A∪B，读作：A并B，其含义用符号表示为：
.
（2）解剖分析：
1“所有”：不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，即简单平凑，要满足集合的互异性，相同的元素即A和B的公共元素只能算作并集中的一个元素
2“或”：“”这一条件，包括下列三种情况：；；
3用Venn图表示A∪B：
（3）完成教材P8的例4和例5（例4是较为简单的不用动笔，同学直接口答即可；例5必须动笔计算的，并且还要通过数轴辅助解决，充分体现了数形结合的思想。）
（4）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？（具体画出A与B相交的Venn图）
（5）交集的含义：一般地，由属于集合A和集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：A∩B，读作：A交B，其含义用符号表示为
（6）解剖分析：
1“且”
2用Venn图表示A∩B：
（7）完成教材P9的例6（口述）
（8）（运用数轴，答案为）
3，巩固练习
（1）教材P9的例7
（2）教材P11#1#2
4，小结作业：
（1）小结：1并集和交集的含义及其符号表示
2并集与交集的区别（符号等）
（2）作业：
1必做题：教材P12#6#7
2选做题：已知，（答案：）)
集合的概念与运算技巧
【命题趋向】
1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.
2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1.正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x21,x∈R},N={y|y=x1,x∈R},则M∩N=()
A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2}D.{y|y≥1}
思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x21(x∈R),y=x1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.
解:M={y|y=x21,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x1,x∈R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D.
点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组
从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x21}、{y|y=x21,x∈R}、{(x,y)|y=x21,x∈R},这三个集合是不同的.
例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x21,x∈R},则P∩Q等于()
A.PB.QC.D.不知道
思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y=x21(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.
解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x21的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知QP,即P∩Q=Q.∴应选B.
例3.若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()
A.P∩Q=B.PQC.P=QD.PQ
思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:正确解法应为:P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=.∴应选A.
例4(2007年安徽卷文)若,则=()
A.{3}B.{1}C.D.{-1}
思路启迪:
解:应选D.
点评:解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
高三数学集合的运算
课题：集合的运算
教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．
教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．
教学过程：
（一）主要知识：
1．交集：；并集：；
补集：若；
2．,；
3．．；
4..，。
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
（三）高考回顾：
考题1：(2006安徽理)设集合，，则等于()
A．B．C．D．
考题2：（2006安徽文）设全集，集合，，则等于（）
A．B．C．D．
考题3：（2006福建文）已知全集且则等于()
（A）（B）（C）（D）
考题4：（2006辽宁文）设集合，则满足的集合的个数是（）
Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8
考题5：（2006全国卷I理）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝
（）
（A）（B）｛x|0＜x＜3｝
（C）｛x|1＜x＜3｝（D）｛x|2＜x＜3｝
考题6：（2006陕西理）已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0},则P∩Q等于()
A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}
（四）典型例题：
例1．设全集，若，，，则，．
例2．已知集合，，则，
；
例3．已知集合，，若，，求实数、的值．
说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
例4．已知集合，，若，求实数的取值范围．
例5．已知集合，
，若，求实数的取值范围．
分析：本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．
（五）巩固练习：
1．设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（）
①，②，③，④，
个个个个
2．集合，，若为单元素集，实数的取值范围为．
（六）课后作业：
1．设全集I={1，2，3，4，5}，若AB={2}，={4}，={1，5}，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
2．已知M=，N=，则MN=（）
A．B．MC．ND．R
3．设A=，B=，C=，且AB=C，则a=
b=。
4．设含有4个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集个数为T，则=。
5．集合A=，B=，若AB中有且仅有一个元素，则r=。
6.设集合A=，B=，求集合C，使其同时满足下列三个条件：（1）；（2）C有两个元素；（3）.
7.设集合P=，Q=
I．若PQ，求实数a的取值范围；II．若；求实数a的取值范围；
III．若，求实数a的值。
