集合的概念与运算。
俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《集合的概念与运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算
高考要求
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质
知识点归纳
定义：一组对象的全体形成一个集合.
特征：确定性、互异性、无序性.
表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
分类：有限集、无限集.
数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.
关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.
运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集
性质：AA；φA；若AB，BC，则AC；
A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C(CA)＝A；
C(AB)＝(CA)∩(CB).
方法：韦恩示意图,数轴分析.
注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。
④区分集合中元素的形式：如；；；；；；。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
题型讲解
例1已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1m＜0.
综合①②知-1m≤0，∴Q={m∈R|-1m≤0}.
答案：C
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
例3已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由得
x2+（m－1）x+1=0.①
∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.
评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.
例4设，求实数的取值范围。
分析：若满足，则集合B需分两种情况求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。
解：由.
∵，∴
当，即无实根，由，
即，解得；
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
综上所得。
例5求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
解：如图先画出文氏图，不难看出不符合条件
的数共有
（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
例6已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。
分析：此题的关键是理解符号是两层含义：
解：∵∴，即＝0，
解得
当时，，为A中元素
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或。
另法：∵∴，
∴＝0且
∴或。
变式思考题：
同时满足条件：①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个：
.
例7某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解：设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，
既学舞蹈又学唱歌的人又z人，
由题意可列方程：
解得
所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人。
例8对于集合,是否存在实数？若存在，求出的取值，若不存在，试说明理由。
解：∴,即二次方程:
，
,解之得
故存在实数.
例9已知集合，,
,求的值。
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得
又因为当时，与题意不符
所以，.
例10已知为全集，,.
解:由
所以
由
例11已知集合，求的值.
解：
（1）当含有两个元素时：；
（2）当含有一个元素时：
若
若
综上可知：。
小结：
1.正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；
2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。
3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。
4.注意符号的理解，相互之间的转化：例如等等.
学生练习
题组一：
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（A）∩B等于
A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}
解析：A={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），
∴（A）∩B={4}.
答案：D
3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=PB.P∩QQC.P∪Q=QD.P∩QP
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，
则（Q）=｛3｝，（P）={2，3}，易见（Q）∩P=.
答案：（Q）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：BA，A∈C，B∈C
题组二：
1.设全集为实数集R，集合M={x|x21999x20000},P={x||x1999|a}(a为常数）,且1P,则M与P满足（）
(A)(B)
(C)(D)
2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB
成立的所有a的集合是（）
(A){a|1a9}(B){a|6a9}(C){a|a9}(D)
3．设集合A={x|x2a},B={x|x2},若A∩B=A,则实数a的取值范围是（）
（A)a4(B)a4(C)0a4(D)0a4
4．若{1,2}A{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为。
5．设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若BA,则实数a的不同取值个数为。
6.设全集I=R，集合A={x|x2x2=y2,yR,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则
=.
7．若集合A={32x,1,3},B={1,x2},且AB=A,求实数x.
8．设全集I=R，A={x|0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩.
9．已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩B=,求实数a的取值范围。
10．已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。
11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x|=1},且A∩B,A∩C=,求实数a的值。
参考答案：
1.D2．B.3．B.
4．75．36.(,0][2,+).7．x=3或x=.
8．{1}.9．a或a210．m3/211．a=5
课前后备注
相关知识
集合与函数的概念
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师提高自己的教学质量。那么怎么才能写出优秀的教案呢？以下是小编为大家收集的“集合与函数的概念”希望对您的工作和生活有所帮助。
第一章集合与函数的概念（复习）
学习目标
1.理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn图；
2.深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
（复习教材P2~P45，找出疑惑之处）
复习1：集合部分.
①概念：一组对象的全体形成一个集合
②特征：确定性、互异性、无序性
③表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
④关系：∈、、、、=
⑤运算：A∩B、A∪B、
⑥性质：AA；A，….
⑦方法：数轴分析、Venn图示.
复习2：函数部分.
①三要素：定义域、值域、对应法则；
②单调性：定义域内某区间D，，
时，，则的D上递增；
时，，则的D上递减.
③最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.
④奇偶性：对定义域内任意x，
奇函数；
偶函数.
特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.
二、新课导学
※典型例题
例1设集合，
，.
（1）若=，求a的值；
（2）若，且=，求a的值；
（3）若=，求a的值.
例2已知函数是偶函数，且时，.
（1）求的值；（2）求时的值；
（3）当0时，求的解析式．
例3设函数．
（1）求它的定义域；（2）判断它的奇偶性；
（3）求证：；
（4）求证：在上递增.
※动手试试
练1.判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）（R）；（4）
练2.将长度为20cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？
三、总结提升
※学习小结
1.集合的三种运算：交、并、补；
2.集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；
3.函数的三要素：定义域、解析式、值域；
4.函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.
※知识拓展
要作函数的图象，只需将函数的图象向左或向右平移个单位即可.称之为函数图象的左、右平移变换.
要作函数的图象，只需将函数的图象向上或向下平移个单位即可.称之为函数图象的上、下平移变换.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.若，则下列结论中正确的是（）.
A.B.0A
C.D.A
2.函数，是（）.
A．偶函数B．奇函数
C．不具有奇偶函数D．与有关
3.在区间上为增函数的是（）.
A．B．
C．D．
4.某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.
5.函数在R上为奇函数，且时，，则当，.
课后作业
1.数集A满足条件：若，则.
（1）若2，则在A中还有两个元素是什么；
（2）若A为单元集，求出A和.
2.已知是定义在R上的函数，设
，.
（1）试判断的奇偶性；
（2）试判断的关系；
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？
集合的概念
课题：___集合的概念___
教学任务
教学目标
知识与技能目标
理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义，集合间的交、并、补运算
过程与方法目标
学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中掌握集合的有关概念，发展由概念出发推理的能力，体会数形结合和分类讨论的思想.
情感,态度与价值观目标
在探究活动中，培养学生独立的分析和探索精神
重点
能通过定义合情推理解决问题，从而巩固基本概念。
难点
能结合概念利用数学思想方法――分类讨论、数形结合解决实际问题。
教学流程说明
活动流程图
活动内容和目的
活动1课前热身－练习
重温概念与性质
活动2概念性质－反思
深刻理解定义与性质
活动3提高探究－实践
挖掘定义性质的内涵与外延
活动4归纳小结－感知
让学生在合作交流的过程总结知识和方法
活动5巩固提高－作业
巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1课前热身（资源如下）
1、用集合符号填空：0{0，1}；{a，b}{b，a}；0φ；
2、用列举法表示{y|y=x2－1，|x|≤2，xZ}=.
{(x,y)|y=x2－1，|x|≤2，xZ}=.
3、M={x|x2＋2x－a=0，x∈R}≠φ，则实数a的取值范围是…（）
(A)a≤－1(B)a≤1(C)a≥－1(D)a≥1.
4、已知集合A={x|x2－px＋15=0}，B={x|x2－5x＋q=0}，如果A∩B={3}，那么p＋q=.
5、已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜a，如果A∩B=A，那么a的取值范围是.
6、已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a，如果A∪B=R，那么a的取值范围是.
7、集合元素具有的三大特征是：、、；
集合的表示方法：、、；元素与集合只有两种关系：、；
，=，，
C
14
确定性，互异性，无序性；列举法，描述法，图示法；属于，不属于。
熟悉集合概念，能从中回忆起集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义。集合间的交、并、补运算
特别注意：空集，数轴
活动2概念性质（资源如下）
集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
集合的表示方法：
1、列举法：a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素
2、描述法：格式：{x∈A|P（x）}
点集与数集的区别:
A={y│y=x2—2x—3}———值域
B={x│y=x2—2x—3}———定义域
B={x│x=x2—2x—3}———方程的解
C={(x,y)│y=x2—2x—3，}———函数图象上的点(既要注意前缀,又要注意后缀)
3、文氏图
空集：不含任何元素的集合记作Φ，
注：；、和的区别；0与三者间的关系
子集：子集及真子集：若x∈A都有x∈B，则AB
x∈A都有x∈B，但Xo∈BXo∈A则AB
集合相等？真子集？
集合运算：交集：A∩B={x|x∈A且X∈B}
并集：A∪B={x|x∈A或X∈B}
补集：I为全集，AI，则C1A={X|X∈A，但X∈I}
师生共同完成对概念的回顾，教师起到“点睛”的作用。如总结以下：
集合中元素的特性
（1）确定性（2）互异性（3）无序性
元素对于集合的隶属关系：（1）属于（2）不属于
注：①空集是任何集合的子集ΦA
空集是任何非空集合的真子集ΦA
②“”与“”应用的区别。
注：有两种可能
（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合
在回顾概念的同时知晓其中的深层的含义、区别、如何应用。
活动3提高探究
资源1、①如果a∈A则∈A
当2∈A时，求A
②设求A中所有元素之和。
＞0，
资源2、①集合A={x│x2—2x—30},B={x││x│a},若B?A,则实数a的取值范围是__
②若A有n个元素，则它的真子集的个数是______，子集的个数是_______，非空子集的个数是________
③集合A={x│x2＋x—6＝0},B={x│,若B?A,求实数的取值范围
资源3、①集合A=，B=，则用区间表示A∪B是________
②集合A=，B=，则用区间表示
资源4、已知f(x)=x2+ax+b(a,b,x∈R)，集合A={x|x=f(x)}.B={x|x=f[f(x)]}。
（1）证明AB；（2）当A={－1，3}时，用列举法求集合B；
集合证明的掌握
活动4归纳小结
活动5巩固提高
附作业
巩固发展提高
集合的概念
一、选择：
1、方程组的解（x,y）的集合是：（D）
A．（5，－4）B．{5，－4}C．{（－5，4）}D．{（5，－4）}
2、若A、B、C为三个集合，，则一定有（A）
（A）（B）（C）（D）
3、设全集是实数集R，，，则等于（A）
（A）（B）
（C）（D）
4、含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2,a+b,0}，则a2003+b2003的值为（C）
A．0B．1C．－1D．±1
5、设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（B）
（A）（CIA）B＝I（B）（CIA）（CIB）＝I
（C）A（CIB）＝（D）（CIA）（CIB）＝CIB
6、设M={x|x∈Z}，N={x|x=，n∈Z}，P={x|x=n＋，n∈Z}，则下列关系正确的是（C）
(A)NM(B)NP(C)N=M∪P(D)N=M∩P
二、填空：
7、用列举法表示集合A==_______________.
8、设U={x|x10,x∈N*}，A∩B={2}，(CuA)∩(CuB)={1}，(CuA)∩B={4，6，8}，
则A＝_________________________B＝_________________________
9、A={x|x=a2＋1，a∈Z}，B={y|y=b2－4b＋5，b∈Z}，则A、B的关系是.
10、满足{0，1}M{0，1，3，5，6}的集合M的个数为10.
11、设集合A={x|10＋3x－x2≥0}，B={x|x2＋a＜0，如果BA，那么实数a的取值范围是.
12、已知集合A={x│a+1＜x＜2a—1}，B={x│-1＜x＜4}，若A≠，且，则a的取值范围是_________________________
三、解答
13、设集合A={x|－3x－2}∪{x|x2},B={x|a≤x≤b}.（a,b是常数），且A∩B={x|2x≤4}，
A∪B={x|x－3}，求a,b的值.
答案：
14、1）若集合A=，B=，问A、B是否相等，为什么？，
2）若集合M=P=，x0∈M，y0∈P，求x0y0与集合M、P的关系。
答案：通分；x0y0∈P，x0y0M
15、函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B
①求A
②若B?A,求实数a的取值范围
答案：；
16、，如果，求的取值。
答案：
对数的概念与对数运算性质
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。关于好的教案要怎么样去写呢？以下是小编为大家收集的“对数的概念与对数运算性质”供您参考，希望能够帮助到大家。
2.2.1对数的概念与对数运算性质
一、内容与解析
(一）内容：对数的概念与对数的基本性质
（二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
二、教学目标及解析
(一)教学目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质.
3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性.
（二）解析
1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号；
2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。
三、问题诊断分析
对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
1．庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？
2．假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.＝？，＝0.125x=?2.=2x=?
也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？
问题1.将上述问题进行归纳----对数的定义
一般地,如果a(a0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
有了对数的定义,（1）前面问题中的x就可表示成什么式子？
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
（2）怎样用表格表示对数和指数幂之间的关系？
由此得到对数和指数幂之间的关系:
aNb
指数式ab=N底数幂指数
对数式logaN=b对数的底数真数对数
例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
探究一：指对互化
例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）
（1）=625（2）=（3）=27(4)=5.73
解析：直接用对数式的定义进行改写．
解：（1）625=4；（2）=-6；
（3）27=a；（4）
点评：主要考察了底真树与幂三者的位置．
变式练习１：将下列对数式写成指数式：
（1）；（2）128=7；
（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303
解：（1）（2）=128；
（3）=0.01；（4）=10
探究二：计算
例２计算：⑴，⑵，⑶，⑷
解析：将对数式写成指数式，再求解．
解：⑴设则,∴
⑵设则,,∴
⑶令=,
∴,∴
⑷令,∴,,∴
点评：考察了指数与对数的相互转化．
五．课堂目标检测
优化设计：随堂练习.
六．小结
本节主要学习了对数的概念，要熟练的进行指对互化．
七．配餐作业
优化设计：优化作业.
(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
高考数学（理科）一轮复习集合的概念与运算学案1含答案
古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“高考数学（理科）一轮复习集合的概念与运算学案1含答案”，相信能对大家有所帮助。
第一章集合与常用逻辑用语
学案1集合的概念与运算
导学目标：
1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
自主梳理
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)．
若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则A?B(或B?A)．
若AB且BA，则A＝B.
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为U，则UA＝{x|x∈U且xA}．
A∩＝，A∩BA，A∩BB，
A∩B＝AAB.
A∪＝A，A∪BA，A∪BB，
A∪B＝BAB.
A∩UA＝；A∪UA＝U.
自我检测
1．(2011长沙模拟)下列集合表示同一集合的是()
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案C
2．(2009辽宁)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|－5x5}，则M∩N等于()
A．{x|－5x5}B．{x|－3x5}
C．{x|－5x≤5}D．{x|－3x≤5}
答案B
解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3x5}．
3．(2010湖北)设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()
A．4B．3C．2D．1
答案A
解析易知椭圆x24＋y216＝1与函数y＝3x的图象有两个交点，所以A∩B包含两个元素，故A∩B的子集个数是4个．
4．(2010潍坊五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N等于()
A．{t|0≤t≤3}B．{t|－1≤t≤3}
C．{(－2，1)，(2，1)}D．
答案B
解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．(2011福州模拟)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，则a＝________.
答案－1或2
解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.
探究点一集合的基本概念
例1(2011沈阳模拟)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．
解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
解由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应关系：
a＋b＝0，ba＝a，b＝1①或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.②
由①得a＝－1，b＝1，符合题意；②无解．
∴b－a＝2.
变式迁移1设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.
解由元素的互异性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得a2＝1，ab＝b，或a2＝b，ab＝1，解得a＝－1，b＝0.
探究点二集合间的关系
例2设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是()
A．M＝NB．M?N
C．M?ND．M∈N
解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
答案A
解析集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
变式迁移2设集合P＝{m|－1m0}，Q＝{m|mx2＋4mx－40对任意实数x恒成立，且m∈R}，则下列关系中成立的是()
A．P?QB．Q?P
C．P＝QD．P∩Q＝
答案A
解析P＝{m|－1m0}，
Q：m0，Δ＝16m2＋16m0，或m＝0.
∴－1m≤0.
∴Q＝{m|－1m≤0}．
∴P?Q.
探究点三集合的运算
例3设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．
解(1)A＝{x|12≤x≤3}．
当a＝－4时，B＝{x|－2x2}，
∴A∩B＝{x|12≤x2}，
A∪B＝{x|－2x≤3}．
(2)RA＝{x|x12或x3}．
当(RA)∩B＝B时，BRA，
即A∩B＝.
①当B＝，即a≥0时，满足BRA；
②当B≠，即a0时，B＝{x|－－ax－a}，
要使BRA，需－a≤12，
解得－14≤a0.
综上可得，a的取值范围为a≥－14.
变式迁移3(2011阜阳模拟)已知A＝{x||x－a|4}，B＝{x||x－2|3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解(1)当a＝1时，
A＝{x|－3x5}，
B＝{x|x－1或x5}．
∴A∩B＝{x|－3x－1}．
(2)∵A＝{x|a－4xa＋4}，
B＝{x|x－1或x5}，且A∪B＝R，
∴a－4－1a＋451a3.
∴实数a的取值范围是(1,3)．
分类讨论思想在集合中的应用
例(12分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，求由a的可取值组成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，求由m的可取值组成的集合．
【答题模板】
解(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足SP；[2分]
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，
为满足SP可使－1a＝－3或－1a＝2，
即a＝13或a＝－12.[4分]
故所求集合为{0，13，－12}．[6分]
(2)当m＋12m－1，即m2时，B＝，满足BA；[8分]
若B≠，且满足BA，如图所示，
则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.[10分]
故m2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[12分]
【突破思维障碍】
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
【易错点剖析】
(1)容易忽略a＝0时，S＝这种情况．
(2)想当然认为m＋12m－1忽略“”或“＝”两种情况．
解答集合问题时应注意五点：
1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．
2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
3．注意的特殊性．在利用AB解题时，应对A是否为进行讨论．
4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．
5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝的情况，然后取补集．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．满足{1}?A{1,2,3}的集合A的个数是()
A．2B．3C．4D．8
答案B
解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，
即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
2．(2011杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()
A．9B．8C．7D．6
答案B
解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.
3．(2010北京)集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()
A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}
答案B
解析由题意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
4．(2010天津)设集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x|1x5，x∈R}．若A∩B＝，则实数a的取值范围是()
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}
答案C
解析由|x－a|1得－1x－a1，
即a－1xa＋1.
由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x24}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()
A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1x≤2}D．{x|x2}
答案C
解析题图中阴影部分可表示为(UM)∩N，集合M为{x|x2或x－2}，集合N为{x|1x≤3}，由集合的运算，知(UM)∩N＝{x|1x≤2}．
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．
答案4
解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7．(2009天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx1}，若A∩(UB)＝{m|m＝2n＋1，
n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
答案{2,4,6,8}
解析A∪B＝{x∈N*|lgx1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(UB)＝{1,3,5,7,9}，
∴B＝{2,4,6,8}．
8．(2010江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____.
答案1
解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011烟台模拟)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B.
解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x0}＝{x|x－3或x0}．(6分)
如图所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x－3或x0}＝R.(9分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x－3或x0}
＝{x|－6≤x－3，或0x≤1}．(12分)
10．(12分)已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．若BA，求实数a的取值范围．
解当a＝0时，显然BA；(2分)
当a0时，
若BA，如图，
则4a≤－12，－1a2，(5分)
∴a≥－8，a－12.∴－12a0；(7分)
当a0时，如图，若BA，
则－1a≤－12，4a≥2，(9分)
∴a≤2，a≤2.∴0a≤2.(11分)
综上知，当BA时，－12a≤2.(12分)
11．(14分)(2011岳阳模拟)已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m0}，
(1)当m＝3时，求A∩(RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．
解由x－5x＋1≤0，
所以－1x≤5，所以A＝{x|－1x≤5}．(3分)
(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}，
则RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因为A＝{x|－1x≤5}，
A∩B＝{x|－1x4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2x4}，符合题意，
故实数m的值为8.(14分)
