课题对数的运算法则。
一名优秀的教师就要对每一课堂负责，高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。高中教案的内容要写些什么更好呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《课题对数的运算法则》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
课题对数的运算法则
教学目标
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题．
2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．
3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．
教学重点，难点
重点是对数的运算法则及推导和应用
难点是法则的探究与证明．
教学方法
引导发现法
教学用具
投影仪
教学过程
引入新课
我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题．
如果看到这个式子会有何联想?
由学生回答(1)(2)(3)(4)．
也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则．
二．对数的运算法则(板书)
对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．
由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：，，．
然后直接提出课题：若,是否成立?
由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而)，教师在肯定结论的正确性的同时再提出
可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32=2，还可以让学生再找几个例子，．之后让学生大胆说出发现有什么规律?
由学生回答应有成立．
现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢?
学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．
证明：设则，由指数运算法则
得
，
即．(板书)
法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：
公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．
(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得．
(条件同前)
(4)能否利用法则完成下面的运算：
例1：计算
(1)(2)(3)
由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：
．
可由学生说出．得到大家认可后，再让学生完成证明．
证明：设则，由指数运算法则得
．
教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论?
有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题．经思考可以得到如下证法
．或证明如下
，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差)
请学生完成下面的计算
(1)(2)．
计算后再提出刚才没有解决的问题即并将其一般化改为
学生在说出结论的同时就可给出证明如下：
设则，．教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．
将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则了解法则的由来．(怎么证)
掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述)
法则使用的条件．(使每一个对数都有意义)
法则的功能．(要求能正反使用)
三．巩固练习
例2．计算
(1)(3)
(4)(5)(6)
解答略
对学生的解答进行点评．
例3．已知，用的式子表示
(1)(2)(3)．
由学生上黑板写出求解过程．
四．小结
1．运算法则的内容
2．运算法则的推导与证明
3．运算法则的使用
五．作业略
六．板书设计
教案点评：
教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行．当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性．而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）．让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的．
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课题第十一课时导数的乘法与除法法则
学习
目标1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
学习
重点函数积、商导数公式的应用
学习
难点函数积、商导数公式
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
复习：两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.常见函数的导数公式：；
6.两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
探究新课
设函数在处的导数为，。我们来求在处的导数。
令，由于
知在处的导数值为。
因此的导数为。
一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
二师生互动
例1：求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）。
例2：求下列函数的导数：
（1）；（2）。
三、自我检测
课本练习1.
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
课本习题2-4：A组4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5
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课题第十课时导数的加法与减法法则
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目标1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线
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重点函数和、差导数公式的应用
学习
难点函数和、差导数公式的应用
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.常见函数的导数公式：；
探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
证明：令，
，
∴，
即．
二师生互动
例1：求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）；（4）。
例2：求曲线上点（1，0）处的切线方程。
三、自我检测
课本练习：1、2.
补充题：1、求y＝x3＋sinx的导数．
2、求y＝x4－x2－x＋3的导数．
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高课本习题2-4：A组2、3B组2
对数的运算
§2.2.1对数的运算
学习目标
1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2.能较熟练地运用对数运算法则解决问题.
旧知提示
复习1：（1）对数定义：如果，那么数x叫做，记作.
（2）指数式与对数式的互化：.
复习2：幂的运算性质.
（1）；（2）；（3）.
复习3：根据对数的定义及对数与指数的互化关系解答：
（1）设，，求；
（2）设，，试利用、表示．
合作探究（预习教材P64~P66，找出疑惑之处）
:探究1：由，如何探讨和、之间的关系？
根据上面的探讨，能否得出以下式子？
如果a0，a1，M0，N0，则
（1）；（2）；（3）.
新知：对数的运算性质
试一试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？
典型例题
例1用,,表示下列各式：（1）；（2）.
例2计算：（1）；（2）；（3）；（4）lg.
例3化简：
①；②；
课堂小结
①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.
知识拓展
①对数的换底公式；②对数的倒数公式.
③对数的性质：，，.
学习评价
1.下列等式成立的是（）
A．B．
C．D．
2.如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（）
A．x=a+3b－cB．C．D．x=a+b3－c3
3.若，那么（）
A．B．C．D．
4.计算：（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）.
课后作业
1.如，，且，，则下列各式：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
其中成立的有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.若，则=（）
A.B.C.D.
3已知，则=.
4.已知，，则=.
5.计算：（1）；（2）；
思考题：设、、为正数，且，求证：.
（运用倒数公式：）
对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.
（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.
2．过程与方法：
（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.
（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.
3．情感、态度与价值观
（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：
（1）换底公式及其应用.
（2）对数的应用问题.
2．教学难点：
换底公式的灵活应用.
（三）教学方法
启发引导式
通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提出
问题
我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？
师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.
产生认知冲突，激发学生的学习欲望.
概念
形成
1.探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.
例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得
x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.
由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.
师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.
（师生讨论并完成）
当a＞0，且a≠1时，
若ab=N，①
则logaN=b.②
在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，
则logcab=logcN，
即blogca=logcN.
∴b=.③
由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.
一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.
推导换底公式
应用
举例
（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）
例1计算：（1）log34log48log8m=log416，求m的值.
（2）log89log2732.
（3）（log25+log4125）.
合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.
例220世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.
例3科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.
课堂练习
1.课本P79练习第4题.
2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有
A.2个B.3个C.4个D.1个
3.若log34log48log8m=log42，求m.
4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；
（2）已知log1227=a，求log616.
例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.
（1）解：原方程等价于
××=2，
即log3m=2，∴m=9.
（2）解法一：原式
===.
解法二：原式
=
==.
（3）解：原式=
（log25+log25）
=log225log52
=log25log52
=log25log52=.
小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn
=logaM及换底公式
logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，
即logablogba=1.
例2解：（1）M=lg20－lg0.001
=lg=lg20000
=lg2+lg104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由M=lgA－lgA0可得
M=lg=10M
A=A010M.
当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0107.6；
当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0105.
所以，两次地震的最大振幅之比是
=
=107.6－5=102.6≈398.
答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.
例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：
死亡年数t12
碳14含量Pxx2
3…t…
x3…xt…
因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.
由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，
所以=x5730，
于是x==（），
这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.
由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，
由计算器可得t≈2193.
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.
课堂练习答案
1.（1）1；（2）1；（3）.
2.A
3..
4.（1）.
（2）.
掌握换底公式的应用.
掌握利用对数知识解决实际问题.
归纳
总结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.
2.解决实际问题的一般步骤：
学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.
课后
作业作业：2.2第三课时习案学生独立完成巩固新知
提升能力
备选例题
例1已知log189=a，18b=5，求log3645.
【解析】方法一：∵log189=a，18b=5，
∴log185=b，
于是
=
=.
方法二：∵log189=a，18b=5，
∴lg9=alg18，lg5=blg8，
∴
=.
【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式.
例2我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y=10lg.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0=10－12w/m2，当I=I0时，y=0，即dB=0.
（1）如果I=1w/m2，求相应的分贝值；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍？
【解析】（1）∵I=1w/m2，
∴y=10lg
（2）由70=10lg，即，∴，
又60=10lg，即lg=6，∴=106.
∴=10，即I=10I′
答：（1）I=1w/m2，相应的分贝值为；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍
