2.3函数的单调性（第二课时）。

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2.3函数的单调性（第二课时）

教学目的：

1..巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.

2.会求复合函数的单调区间.明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.

教学难点：单调性的综合运用

一、复习引入：

1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.

2.判断证明函数单调性的一般步骤：（区间内）设量，作差（或比），变形，比较，判断.

二、讲解新课：

1．函数单调性的判断与证明

例1．求函数的单调区间.

2．复合函数单调性的判断

对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

减↘

增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

证明：①设，且

∵在上是增函数，

∴，且

∵在上是增函数，∴.

所以复合函数在区间上是增函数。

②设，且，∵在上是增函数，

∴，且

∵在上是减函数，∴.

所以复合函数在区间上是减函数。

③设，且，∵在上是减函数，

∴，且

∵在上是增函数，∴.

所以复合函数在区间上是减函数。

④设，且，∵在上是减函数，

∴，且

∵在上是减函数，∴.

所以复合函数在区间上是增函数。

例2．求函数的值域，并写出其单调区间。

解：题设函数由和复合而成的复合函数，

函数的值域是，

在上的值域是.

故函数的值域是.

对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；

二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数。

当时，，即，或.

当时，，即，.

x

[-1,0]

(0,1)

u=g(x)

增

增

减

减

y=f(u)

增

减

减

增

y=f(g(x))

增

减

增

减

综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数。

三、课堂练习：课本P60练习：3，4

四、作业：课本P60习题2.36（2），7

补充，已知：f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)f(x2-1),求x的取值范围.

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教学目的：函数单调性的应用

重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.

教学过程

一、复习引入函数单调性的概念，复合函数的单调性.

二、例题.

例1.如果二次函数在区间内是增函数，求f(2)的取值范围.

分析：由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y=-2a+11的值域，固应先求其定义域.

例2.设y=f(x)在R上是单调函数，试证方程f(x)=0在R上至多有一个实数根.

分析：根据函数的单调性，用反证法证明.

例3.设f(x)的定义域为，且在上的增函数，

（1）求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);

（2）若f(2)=1,解不等式

分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解一般的不等式；注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).

例4.已知函数.

（1）当时，求函数f(x)的最小值；

（2）若对任意恒成立，试求实数a的取值范围.

分析：（1）利用f(x)的单调性即可求最小值；

（2）利用函数的性质分类讨论解之.

例5.求函数的单调区间.

分析：利用复合函数的单调性解题.

令即函数的定义域为[-3，1]；

再根据复合函数的单调性求出其单调区间.

三、作业：《精析精练》P73智能达标训练.

函数的单调性

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“函数的单调性”，仅供您在工作和学习中参考。

数学必修1：函数的单调性
教学目标：理解函数的单调性
教学重点：函数单调性的概念和判定
教学过程：
1、过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.
2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念
3、
例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
解：函数的单调区间有，
其中在区间，
上是减函数，在区间上是
增函数。
注意：1单调区间的书写
2各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2、证明函数在R上是增函数。
证明：设是R上的任意两个实数，且，则
，
所以，在R上是增函数。
例3、证明函数在上是减函数。
证明：设是上的任意两个实数，且，则
由，得，且
于是
所以，在上是减函数。
利用定义证明函数单调性的步骤：
（1）取值
（2）计算、
（3）对比符号
（4）结论

课堂练习：教材第50页练习A、B
小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法
课后作业：第57页习题2-1A第5题

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助授课经验少的高中教师教学。高中教案的内容具体要怎样写呢？以下是小编为大家收集的“§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）”相信您能找到对自己有用的内容。

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）
【学情分析】：
高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：
（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法
（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性
【教学重点】：
利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
情景引入过程
从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：
分析运动动员的运动过程：
上升→最高点→下降
运动员瞬时速度变换过程：
减速→0→加速从实际问题中物理量入手
学生容易接受
实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：
先增后减
由正数减小到0，再由0减小到负数
将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍
引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系
进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系
我们能否得出以下结论：
在某个区间（a,b）内，如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减
答案是肯定的
从导数的概念给出解释表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在附近单调递增
表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在附近单调递减
所以，若，则，f(x)为增函数
同理可说明时，f(x)为减函数
用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆
导数正负与函数单调性总结若y=f(x)在区间（a,b）上可导，则
（1）在（a,b）内，y=f(x)在（a,b）单调递增
（2）在（a,b）内，y=f(x)在（a,b）单调递减
抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目）
例题精讲1、根据导数正负判断函数单调性
教材例1在教学环节中的处理方式：
以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。
小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状
提醒学生观察的点的图像特点（为下节埋下伏笔）
丢出思考题：“”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替）例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路”
2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间
教材例2在教学环节中的处理方式：
可以先以为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。
引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册”
判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负
→Y，得出函数单调性；
→N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间

补充例题：
已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′=1－1x－2=
令＞0.解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)

要求根据函数单调性画此函数的草图
3、实际问题中利用导数意义判断函数图像
教材例3的处理方式：
可以根据课程进度作为课堂练习处理
同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像）
堂上练习教材练习2——由函数图像写函数导数的正负性
教材练习1——判断函数单调性，计算单调区间针对教材的三个例题作知识强化练习
内容总结体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性体会学习导数的重要性

课后练习：
1、函数的递增区间是（）
ABCD
答案C对于任何实数都恒成立

2、已知函数在上是单调函数,则实数的
取值范围是（）
AB
CD
答案B在恒成立，

3、函数单调递增区间是（）
ABCD
答案C令

4、对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）
AB
CD
答案C当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得

5、函数的单调增区间为，单调减区间为___________________
答案

6、函数的单调递增区间是___________________________
答案

7、已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间
解：（1）的图象经过点，则，
切点为，则的图象经过点
得
（2）
单调递增区间为

函数单调性

年级高一

学科数学

课题

函数的单调性（2）

授课时间

撰写人

刘报

学习重点

函数单调性证明

学习难点

函数单调性应用及证明

学习目标

1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.函数单调性证明

教学过程

一自主学习

1.指出函数的单调区间及单调性，并进行证明.2．函数的最小值为，的最大值为.

3：先完成下表，

函数

最高点

最低点

,

,

4设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的。

仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．

二师生互动

例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？

变式：经过多少秒后炮弹落地？

试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？

例2求在区间[3，6]上的最大值和最小值.

变式：求的最大值和最小值.

练一练函数的最小值为，最大值为.如果是呢？

三巩固练习

1.函数的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函数的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函数的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值

3，则在区间上，当时，有最值为.5.函数的最大值为，最小值为.6.用多种方法求函数最小值.

四课后反思

五课后巩固练习

1.作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）；（2）；（3）.2.已知函数在区间是增函数，则实数a的取值范围