高中函数单调性教案

导数与函数的单调性。

3.1.1导数与函数的单调性
教学过程：
一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．

（图3.3-3）

在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）；（2）
（3）；（4）
解：（1）因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
jab88.Com

（2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为，所以．
当，即时，函数；
当，即时，函数；
函数的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，
在或内的图像“平缓”．
例4．求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：证明可导函数在内的单调性步骤：
（1）求导函数；
（2）判断在内的符号；
（3）做出结论：为增函数，为减函数．
例5．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′
=1－1x－2=
令＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx
2．课本练习
五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数单调区间
（3）证明可导函数在内的单调性

扩展阅读

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助授课经验少的高中教师教学。高中教案的内容具体要怎样写呢？以下是小编为大家收集的“§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）”相信您能找到对自己有用的内容。

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）
【学情分析】：
高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：
（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法
（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性
【教学重点】：
利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
情景引入过程
从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：
分析运动动员的运动过程：
上升→最高点→下降
运动员瞬时速度变换过程：
减速→0→加速从实际问题中物理量入手
学生容易接受
实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：
先增后减
由正数减小到0，再由0减小到负数
将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍
引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系
进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系
我们能否得出以下结论：
在某个区间（a,b）内，如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减
答案是肯定的
从导数的概念给出解释表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在附近单调递增
表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在附近单调递减
所以，若，则，f(x)为增函数
同理可说明时，f(x)为减函数
用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆
导数正负与函数单调性总结若y=f(x)在区间（a,b）上可导，则
（1）在（a,b）内，y=f(x)在（a,b）单调递增
（2）在（a,b）内，y=f(x)在（a,b）单调递减
抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目）
例题精讲1、根据导数正负判断函数单调性
教材例1在教学环节中的处理方式：
以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。
小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状
提醒学生观察的点的图像特点（为下节埋下伏笔）
丢出思考题：“”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替）例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路”
2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间
教材例2在教学环节中的处理方式：
可以先以为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。
引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册”
判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负
→Y，得出函数单调性；
→N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间

补充例题：
已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′=1－1x－2=
令＞0.解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)

要求根据函数单调性画此函数的草图
3、实际问题中利用导数意义判断函数图像
教材例3的处理方式：
可以根据课程进度作为课堂练习处理
同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像）
堂上练习教材练习2——由函数图像写函数导数的正负性
教材练习1——判断函数单调性，计算单调区间针对教材的三个例题作知识强化练习
内容总结体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性体会学习导数的重要性

课后练习：
1、函数的递增区间是（）
ABCD
答案C对于任何实数都恒成立

2、已知函数在上是单调函数,则实数的
取值范围是（）
AB
CD
答案B在恒成立，

3、函数单调递增区间是（）
ABCD
答案C令

4、对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）
AB
CD
答案C当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得

5、函数的单调增区间为，单调减区间为___________________
答案

6、函数的单调递增区间是___________________________
答案

7、已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间
解：（1）的图象经过点，则，
切点为，则的图象经过点
得
（2）
单调递增区间为

函数的单调性

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“函数的单调性”，仅供您在工作和学习中参考。

数学必修1：函数的单调性
教学目标：理解函数的单调性
教学重点：函数单调性的概念和判定
教学过程：
1、过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.
2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念
3、
例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
解：函数的单调区间有，
其中在区间，
上是减函数，在区间上是
增函数。
注意：1单调区间的书写
2各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2、证明函数在R上是增函数。
证明：设是R上的任意两个实数，且，则
，
所以，在R上是增函数。
例3、证明函数在上是减函数。
证明：设是上的任意两个实数，且，则
由，得，且
于是
所以，在上是减函数。
利用定义证明函数单调性的步骤：
（1）取值
（2）计算、
（3）对比符号
（4）结论

课堂练习：教材第50页练习A、B
小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法
课后作业：第57页习题2-1A第5题

函数单调性

年级高一

学科数学

课题

函数的单调性（2）

授课时间

撰写人

刘报

学习重点

函数单调性证明

学习难点

函数单调性应用及证明

学习目标

1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.函数单调性证明

教学过程

一自主学习

1.指出函数的单调区间及单调性，并进行证明.2．函数的最小值为，的最大值为.

3：先完成下表，

函数

最高点

最低点

,

,

4设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的。

仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．

二师生互动

例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？

变式：经过多少秒后炮弹落地？

试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？

例2求在区间[3，6]上的最大值和最小值.

变式：求的最大值和最小值.

练一练函数的最小值为，最大值为.如果是呢？

三巩固练习

1.函数的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函数的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函数的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值

3，则在区间上，当时，有最值为.5.函数的最大值为，最小值为.6.用多种方法求函数最小值.

四课后反思

五课后巩固练习

1.作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）；（2）；（3）.2.已知函数在区间是增函数，则实数a的取值范围

函数单调性的应用

1.3.1函数单调性的应用
一、内容与解析
(一）内容：函数单调性的应用
（二）解析：本节课要学的内容指的是会判定函数在某个区间上的单调性、会确定函数的单调区间、能证明函数的单调性,其关键是利用形式化的定义处理有关的单调性问题,理解它关键就是要学会转换式子.学生已经掌握了函数单调性的定义、代数式的变换、函数的概念等知识,本节课的内容就是在此基础上的应用.教学的重点是应用定义证明函数在某个区间上的单调性,解决重点的关键是严格按过程进行证明。
二、教学目标及解析
(一)教学目标:
掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
(二)解析:
会证明就是指会利用三步曲证明函数的单调性；会求函数的单调区间就是指会利用函数的图象写出单调增区间或减区间；应用知识解决问题就是指能利用函数单调性的意义去求参变量的取值情况或转化成熟悉的问题。

三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是如何才能准确确定的符号,产生这一问题的原因是学生对代数式的恒等变换不熟练.要解决这一问题,就是要根据学生的实际情况进行知识补习，特别是因式分解、二次根式中的分母有理化的补习.

四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().

五、教学过程
问题1.用三种语言描述函数单调性的意义

问题2.基本例题
例1如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为：“去比赛”.
变式训练
课本P32练习4.
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y=(k≠0)
当k0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；
当a0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.

问题3。能力型例题
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，则有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，∴x1-x20,x1+x22.
∴2-x1-x20.∴f(x1)-f(x2)0.∴f(x1)f(x2).
∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
例2.已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；解：（1）设x1、x2∈R，且x1x2.则
F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1x2，∴a-x2a-x1.
∴f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).
∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］0.
∴F(x1)F(x2).∴F(x)是R上的增函数.
知能训练
课本P32练习2.
例3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(a+1)f(-4a+1)成立，则a的取值范围是______.
点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.
拓展提升
例4．1.画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.
2.试分析函数y=x+的单调性.

六、课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.