九年级数学直接开平方法。
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2.2一元二次方程的解法1
班级姓名学号
学习目标
1、了解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法
2、会用直接开平方法解一元二次方程
学习重点:会用直接开平方法解一元二次方程
学习难点:理解直接开平方法与平方根的定义的关系
教学过程
一、情境引入:
1.我们曾学习过平方根的意义及其性质,现在来回忆一下:什么叫做平方根?平方根有哪些性质?
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示:若x2=a,则x叫做a的平方根。记作x=,即x=或x=。
如:9的平方根是±3,的平方根是
平方根有下列性质:
(1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互为相反数的;
(2)零的平方根是零;
(3)负数没有平方根。
2如何解方程(1)x2=4,(2)x2-2=0呢?
二、探究学习:
1.尝试:
(1)根据平方根的意义,x是4的平方根,∴x=±2
即此一元二次方程的解(或根)为:x1=2,x2=-2
(2)移项,得x2=2
根据平方根的意义,x就是2的平方根,∴x=
即此一元二次方程的解(或根)为:x1=,x2=
2.概括总结.
什么叫直接开平方法?
像解x2=4,x2-2=0这样,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明:运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程,就是把方程化为形如x2=a(a≥0)或(x+h)2=k(k≥0)的形式,然后再根据平方根的意义求解
3.概念巩固:
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解,且有两个实数根,则m、n必须满足的条件是()
A.n=0B.m、n异号C.n是m的整数倍D.m、n同号
4.典型例题:
例1解下列方程
(1)x2-1.21=0(2)4x2-1=0
解:(1)移向,得x2=1.21(2)移向,得4x2=1
∵x是1.21的平方根两边都除以4,得x2=
∴x=±1.1∵x是的平方根
即x1=1.1,x2=-1.1∴x=
即x1=,x2=
例2解下列方程:
⑴(x+1)2=2⑵(x-1)2-4=0
⑶12(3-2x)2-3=0
分析:第1小题中只要将(x+1)看成是一个整体,就可以运用直接开平方法求解;第2小题先将-4移到方程的右边,再同第1小题一样地解;第3小题先将-3移到方程的右边,再两边都除以12,再同第1小题一样地去解,然后两边都除以-2即可。
解:(1)∵x+1是2的平方根
∴x+1=
即x1=-1+,x2=-1-
(2)移项,得(x-1)2=4
∵x-1是4的平方根
∴x-1=±2
即x1=3,x2=-1
(3)移项,得12(3-2x)2=3
两边都除以12,得(3-2x)2=0.25
∵3-2x是0.25的平方根
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1=,x2=
例3解方程(2x-1)2=(x-2)2
分析:如果把2x-1看成是(x-2)2的平方根,同样可以用直接开平方法求解
解:2x-1=
即2x-1=±(x-2)
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1,x2=1
5.探究:(1)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?
如果一个一元二次方程具有(x+h)2=k(k≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解。
(2)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解
(3)任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗?请举例说明
6.巩固练习:
(1)下列解方程的过程中,正确的是()
①x2=-2,解方程,得x=±
②(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
③4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)=±3,x1=;x2=
④(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5,x1=1;x2=-4
(2)解下列方程:
①x2=16②x2-0.81=0③9x2=4④y2-144=0
(3)解下列方程:
①(x-1)2=4②(x+2)2=3
③(x-4)2-25=0④(2x+3)2-5=0
⑤(2x-1)2=(3-x)2
(4)一个球的表面积是100cm2,求这个球的半径。(球的表面积s=4R2,其中R是球半径)
三、归纳总结:
1、不等关系在日常生活中普遍存在.
2、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
3、列不等式表示不等关系.
【课后作业】
班级姓名学号
1、用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满足的条件是()
A.k≥oB.h≥oC.hk>oD.k<o
2、方程(1-x)2=2的根是()
A.-1、3B.1、-3C.1-、1+D.-1、+1
3、解下例方程
(1)36-x2=0;(2)4x2=9(3)3x2-=0(4)(2x+1)2-3=0
(5)81(x-2)2=16;(6)(2x-1)2=(x-2)2(7)=0(a≥0)(8)(ax+c)2=d(a≠0,d≥0)
4.便民商店1月份的利润是2500元,3月份的利润为3025元,这两个月利润的平均月增长的百分率是多少?
扩展阅读
22.2.1直接开平方法
22.2.1直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重难点关键
1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教学过程
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
老师点评:
问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)()2.
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:x2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2
即x1=2,x2=-2
可以验证,2和-2都是方程x2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2
即2t+1=2,2t+1=-2
方程的两根为t1=-,t2=--
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材P36练习.
四、应用拓展
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)当成一个数,配方得:
(1+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56
x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6
方程的根为x1=10%,x2=-3.1
因为增长率为正数,
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
五、归纳小结
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.
六、布置作业
1.教材P45复习巩固1、2.
2.选用作业设计:
一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为().
A.3B.-3C.±3D.无实数根
3.用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是().
A.(x-)2=,x=±
B.(x-)2=-,原方程无解
C.(x-)2=,x1=+,x2=
D.(x-)2=1,x1=,x2=-
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
答案:
一、1.B2.D3.B
二、1.±2.9或-33.-8
三、1.当n≥0时,x+m=±,x1=-m,x2=--m.当n0时,无解
2.(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,
依题意,得:x(40-2x)=180
整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+,x2=10-;
同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.
(2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,
b2-4ac=400-410=-100,无解,即不能达到.
3.因要制矩形方框,面积尽可能大,
所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.
一元二次方程-----直接开平方法
一元二次方程-----直接开平方法
教学目标
1.理解直接开平方法与平方根运算的联系,学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程;培养基本的运算能力;
2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.培养观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题;
3.鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.
教学重点及难点
1、用直接开平方法解一元二次方程;
2、理解直接开平方法中的整体思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解
教学过程设计
一、情景引入,理解方法
看一看:特殊奥林匹克运动会的会标
想一想:
在2006年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重,XX学校将在运动场搭建一个舞台,其中一个方案是:在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台,那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢?
解:由题意得:x2=144
根据平方根的意义得:x=±12
∴原方程的解是:x1=12,x2=-12
∵边长不能为负数
∴x=12
了解方法:
上述解方程的方法叫做直接开平方法.通过直接将某一个数开平方,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【说明】用开平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三种可能性,学生归纳是难点,教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括.通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力..
第三阶段:怎样解方程(1+x)2=144?
请四人学习小组共同研究,并给出一个解题过程.可以参考课本或其他资料.小组长负责清楚的记录解题过程.
第四阶段:众人齐心当考官!
请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144这样能用直接开平方法解的一元二次方程.
1、分析学生所编的方程.
2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习.
3、出示:思考:下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢?
4(x+1)2-144=0
归纳:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.
【说明】在第三、四阶段的讲解和练习中教师需让学生体会到其中蕴涵了整体思想.
三、巩固方法,提高能力
请大家帮帮忙,挑一挑,拣一拣,下列一元二次方程中,哪些更适宜用直接开平方法来解呢?
⑴x2=3⑵3t2-t=0
⑶3y2=27⑷(y-1)2-4=0
⑸(2x+3)2=6⑹x2=36x
四、自主小结
今天我们学会了什么方法解一元二次方程?适合用开平方法解的一元二次方程有什么特点?
九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版
老师职责的一部分是要弄自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好了教案课件新的工作计划,新的工作才会如鱼得水!你们知道适合教案课件的范文有哪些呢?下面是小编帮大家编辑的《九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版》,欢迎您参考,希望对您有所助益!
九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)()2.
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2即x1=2,x2=-2可以验证,2和-2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2