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一元二次方程高中教案

发表时间：2021-01-25

九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版。

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九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版

一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
问题1：根据完全平方公式可得：（1）164；（2）42；（3）（）2．
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2即x1=2，x2=-2可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

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解一元二次方程——直接开平方法导学案（新版新人教版）

第2课时解一元二次方程-直接开平方法
一、学习目标了解形如的一元二次方程的解法——直接开平方法；
能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．
二、知识回顾1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？
平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．
记作x=，即x=或x=．
如：9的平方根是；的平方根是．
平方根的性质：
（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根．
2．x2=4，则x=±2.
想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？

三、新知讲解直接开平方法解一元二次方程
一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得．
注：
（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．
（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．
（3）当时，方程没有实数根．

四、典例探究

1．用直接开平方法求一元二次方程的解
【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．

总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解．
练1．（2015东西湖区校级模拟）解方程：（2x+3）2﹣25=0

练2．（2014秋昆明校级期中）解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．

2．用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围
【例2】（2015春南长区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）
A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0
总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.
练3．（2015春利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（）
A．n=0B．m，n同号C．n是m的整数倍D．m，n异号
练4．（2015岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是．

五、课后小测一、选择题
1．（2015石城县模拟）方程x2﹣9=0的解是（）
A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±9
2．（2015河北模拟）已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（）
A．x1=x2=2B．x1=x2=﹣2C．x1=﹣4，x2=4D．x1=﹣2，x2=2
3．（2015杭州模拟）关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）
A．x1=﹣2，x2=3B．x1=﹣7，x2=﹣2C．x1=3，x2=﹣2D．x1=3，x2=8
4．（2015江岸区校级模拟）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）
A．3B．﹣3C．0D．1
5．（2014枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）
A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3
6．（2014春淮阴区校级月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）
A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，
7．（2012秋内江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，则a﹣b的值是（）
A．B．或C．3D．
8．方程x2=0的实数根有（）
A．1个B．2个C．无数个D．0个
9．方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
10．（2015泉州）方程x2=2的解是．
11．（2014怀化模拟）方程8x2﹣72=0解为．
三、解答题
12．（2014祁阳县校级模拟）解方程：（x﹣2）2﹣16=0．

13．（2014秋青海校级月考）解方程：．

14．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
（1）你选的m的值是；
（2）解这个方程．
典例探究答案：
【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．
分析：（1）先变形得到x2=4，然后利用直接开平方法求解；
（2）首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5，再解一元一次方程即可．
解答：解：（1）x2=4，
两边直接开平方，得x1=2，x2=﹣2．
（2）两边直接开平方，得2x﹣3=±5，
则2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，
所以x=4，x=﹣1．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．
练1．（2015东西湖区校级模拟）解方程：（2x+3）2﹣25=0
分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．
解答：解：移项得，（2x+3）2=25，
开方得，2x+3=±5，
解得x1=1，x2=﹣4．
点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
分析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：解：两边开方得：3（x+1）=±2（x﹣2），
即3（x+1）=2（x﹣2），3（x+1）=﹣2（x﹣2），
解得：x1=﹣7，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
【例2】（2015春南长区期末）关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）
A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0
分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．
解答：解：∵x2﹣k=0，
∴x2=k，
∵一元二次方程x2﹣k=0有实数根，∴k≥0，
故选：C．
点评：此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
练3．（2015春利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（）
A．n=0B．m，n同号C．n是m的整数倍D．m，n异号
分析：首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，
∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，
∵n≠0，∴mn异号，
故选：D．
点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．
练4．（2015岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是．
解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，
∴m＞0．
故答案为：m＞0．

课后小测答案：
一、选择题
1．（2015石城县模拟）方程x2﹣9=0的解是（）
A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±9
解：移项得；x2=9，
两边直接开平方得：x=±3，
故选：C．
2．（2015河北模拟）已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（）
A．x1=x2=2B．x1=x2=﹣2C．x1=﹣4，x2=4D．x1=﹣2，x2=2
解：x2﹣4=0，
（x+2）（x﹣2）=0，
x1=﹣2，x2=2．
故选D
3．（2015杭州模拟）关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）
A．x1=﹣2，x2=3B．x1=﹣7，x2=﹣2C．x1=3，x2=﹣2D．x1=3，x2=8
解：∵关于x的方程a（x+m）2+n=0的解是x1=﹣2，x2=3，（m，n，p均为常数，m≠0），
∴方程a（x+m﹣5）2+n=0变形为a[（x﹣5）+m]2+n=0，即此方程中x﹣5=﹣2或x﹣5=3，
解得x=3或x=8．
故选D．
4．（2015江岸区校级模拟）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）
A．3B．﹣3C．0D．1
解：ax2=c，
x2=，
x=±，
∵x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，
∴该方程的另一个根是x=3，
故选A．
5．（2014枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）
A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3
解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，
∴（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，
故选：A．
6．（2014春淮阴区校级月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）
A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，
解：方程（1﹣x）2=2，
开方得：1﹣x=±，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
故选D
7．（2012秋内江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，则a﹣b的值是（）
A．B．或C．3D．
解：∵a2﹣2ab+b2=6，
∴（a﹣b）2=6，
∴a﹣b=±，
故选：B．
8．方程x2=0的实数根有（）
A．1个B．2个C．无数个D．0个
解：x2=0，
两边直接开平方得：x1=x2=0，
故选：B．
9．方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：5y2﹣3=y2+3，
4y2=6，
y2=，
y=±，
即实数根的个数是2个，
故选C．
二、填空题
10．（2015泉州）方程x2=2的解是±．
解：x2=2，
x=±．
故答案为±．
11．（2014怀化模拟）方程8x2﹣72=0解为x=±3．
解：8x2﹣72=0，
8x2=72，
x2=9，
x=±3，
故答案为：x=±3．
三、解答题
12．（2014祁阳县校级模拟）解方程：（x﹣2）2﹣16=0．
解：分解因式得：（x﹣2+4）（x﹣2﹣4）=0，
x﹣2﹣4=0，x﹣2+4=0，
解得x1=6，x2=﹣2．
13．（2014秋青海校级月考）．
解：，
x﹣=±，
所以x1=1，x2=﹣．
14．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
（1）你选的m的值是8；
（2）解这个方程．
解：令m=8，则x2﹣4x+1+8=5，
即x2﹣4x+4=0，
（x﹣2）2=0，
开方得x﹣2=0，
即x=2．

配方法解一元二次方程

公开课教案

授课人:henao6202授课时间：2007-3-27

授课地点：ｘｘ中学八（1）班公开范围：数学组

授课内容：20.2一元二次方程解法（3）---配方法

教学目标：理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

教学重点：配方法解一元二次方程

教学过程：

一、复习旧知导入新课

1、因式分解的完全平方公式内容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]

2、填空：

（1）x2-8x+()2=(x-)2(2)y2+5y+()2=(y+)2

(3)x2-x+()2=(x-)2(4)x2+px+()2=(x+)2

说明：配方的关键是两边同加上一次项系数一半的平方，前提是二次项系数是1。

二、讲解新课

1、解方程(1)(x+3)2=2

解：x+3=±

x=-3±

即：x1=-3+x2=-3-

(2)x2+6x+7=0

这个方程显然不能用直接开平方法解，能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(x+m)2=n的形式。

我们可以这样变形：

把常数项移到右边，得

x2+6x=-7

对等号左边进行配方，得

x2+6x+32=-7+32

(x+3)2=2

这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了。像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后（即化为（x+m）2=n形式），再用开平方来解的方法叫配方法。

（板书）（一）、一元二次方程解法二：配方法

2、例1用配方法解下列方程：

（1）x2-4x-1=0(2)2x2-3x-1=0
说明：第（1）小题引导学生自己完成，第二小题引导学生将二次项系数化为1，再让学生自己完成。

解：（1）移项，得

x2-4x=1

配方，得

x2-4x+22=1+22

(x-2)2=5

开方，得

x-2=±

∴x1=2+x2=2-

(2)化二次项系数为1，得

x2-x-=0

移项，得

x2-x=

下面的过程由学生补充完整：

----------------------------------------

三、归纳小结

配方法的一般步骤（让学生总结，在黑板上板书）

1、化二次项系数为1

2、移项

3、配方（两边同加上一次项系数一半平方）

4、开方

其中“化、移、配、开”及“一半平方”用彩色粉笔标出。

四、练习

P40练习1、2

五、课外作业

P451、2

六、板书设计

20.2一元二次方程解法

（一）一元二次方程解法二--配方法例1解方程

（二）配方法的一般步骤（1）x2-4x-1=0

1、化二次项系数为1(2)2x2-3x-1=0

2、移项解：------------------------

3、配方（两边同加一次项系数一半平方）------------------------

4、开方------------------------

解一元二次方程

每个老师在上课前需要规划好教案课件，是时候写教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！你们会写适合教案课件的范文吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“解一元二次方程”，仅供参考，大家一起来看看吧。

28.2解一元二次方程
教学目的知识技能认识形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）类型的方程，并会用直接开平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
数学思考用直接开平方法解一元二次方程的依据是用平方根的定义来进行降次的，直接开平方法解一元二次方程，必须化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式来求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再应用直接开平方法求解
解决问题通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
情感态度通过本节学习，使学生感觉到由未知向已知的转化美.
教学难点用配方法解一元二次方程
知识重点选择适当的方法解一元二次方程
教学过程设计意图

教
学
过
程
问题一：填空
如果，那么.
教师活动：引导学生运用开平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
学生活动：在老师的引导下，初步了解一元二次方程的直接开平方法.
问题二：解方程
教师活动：与学生一起探究此种形式的方程的解法.
学生活动：仿照上题，解此问题，并总结出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
练习：解下列方程：
（1）(2)
问题三：解方程：
师生一起探究解法，通过配方把该方程转化为（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接开平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例题1：解方程
教师活动：给学生作出配方法解方程的示范.重点在配方的方法：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
学生总结配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.