七年级数学下册《平方根》教学设计。

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七年级数学下册《平方根》教学设计
一．学生学情分析
学生在七年级上册学习棋盘上的故事就认识了一种运算乘方，并能熟练计算任何一个数的平方。知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0。在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根。那么这一课时进一步学习平方根，本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用。并对平方根和算术平方根、平方和开平方的概念做辨析，使学生在引导探索类比发现中发展学习数学的能力。
二．学习任务分析
第二章《实数》的第二节，本节安排了两个课时完成。第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力。本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用。并对平方根和算术平方根，平方和开平方的概念做辨析，使学生在引导探索类比发现中发展学习数学的能力。
三．学习目标
知识目标
1、了解平方根、开平方的概念。
2、明确算术平方根与平方根的区别和联系。
3、进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系。
能力目标
1、经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力。
2、培养学生求同与求异的思维，通过比较提高思考问题、辨析问题的能力。
情感目标
1、在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神。
2、在学习的过程中，培养学生严谨的科学态度。
四.重点、难点重点
1、了解平方根开、平方根的概念。
2、了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根。
3、了解平方根与算术平方根的区别与联系。
难点：
1、平方根与算术平方根的区别和联系。
2、负数没有平方根，即负数不能进行平方根的运算。
五．学习方法自主合作探究
六．课前准备
完成导学稿
七．学习过程设计
八．教学设计反思

精选阅读

平方根1

第二章实数
2.平方根（一）

一、学生起点分析
学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性．

二、教学任务分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下：
知识与技能目标
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
3．了解算术平方根的性质．
过程与方法目标
1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．
2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
情感与态度目标
1．让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．
教学重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．
教学难点：
对算术平方根的概念和性质的理解．

三、教法学法
教学方法：讲授法．
课前准备：
教具：教材，多媒体课件，电脑．
学具：教材，笔，练习本．

四、教学过程：
本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．
本节课教学流程为：

第一环节：问题情境
方法一：问题导入
内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2=2，a=，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2=，y2=，z2=，w2=．
意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．
效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值．
说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二。
第二环节：初步探究
内容1：情境引出新概念
x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？
意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x、y、w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．
意图：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．
内容3：简单运用巩固概念
例1求下列各数的算术平方根：
（1）900；（2）1；（3）；（4）14．
意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即；
（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即；
（3）因为，所以的算术平方根是，即；
（4）14的算术平方根是．

内容4：回解课堂引入问题
x2=2，y2=3，w2=5，那么x=，y=，w=．

第三环节：深入探究
内容1：例2自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
意图：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将h=4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将h=19.6代入公式得h=4.9t2，t2=4，所以t==2(秒)．
即铁球到达地面需要2秒．
说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的a是一个非负数，a的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．

第四环节：反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是；
2．的算术平方根是；
3．的算术平方根是；
4．若，则=．
二、求下列各数的算术平方根：
36，，15，0.64，，，．
三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
答案：一、1.7；2.；3.；4．16；二、6；；；0.8；；；1；
三、解：由题意得AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得（米）．所以帐篷支撑竿的高是米．
意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。

第五环节：学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
（1）算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．
（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．
第六环节：作业布置
习题2.3

五、教学设计说明
1．设计理念
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
2．知识拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：
内容：例已知，求的值．
解：因为和都是非负数，并且，所以，，解得x=2，y=-4，所以．
意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题．
效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．
课后还可以布置相应的拓展性习题：
内容：1．已知，求x+y+z的值．
2．若x，y满足，求xy的值．
3．求中的x．
4．若的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值．
5．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，求c的取值范围．
解：1．因为≥0，≥0，≥0，且，
所以=0，=0，=0，解得，，，所以x+y+z=．
2．因为2x-1≥0，1-2x≥0，所以2x-1=0，解得x=，当x=时，y=5，所以xy=×5=．
3．解：因为x-5≥0，≥0，所以x=5．
4．解：因为，所以的整数部分为8，的整数部分为1，所以的小数部分，的小数部分，所以．
5．解：由，可得，因为≥0，≥0，
所以=0，=0，所以a=1，b=2，由三角形三边关系定理有：b-acb+a，即1c3．

平方根学案

学习目标:
1.了解平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根；
2.理解开平方与乘方是互逆的运算，能根据平方根的概念求一个非负数的平方根.
重点、难点：理解用字母表示一个非负数的平方根的意义.
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1.在等式中，已知，你能求a吗？已知，你能求吗？

2.若一个数的平方等于（0），则这个数可表示为；

3.一个正数的平方根有几个？如何求一个非负数的平方根？

二.【预学练习】初步运用、生成问题
1.判断下列说法是否正确：
（1）5是25的平方根（）（2）25的平方根是-5（）
（3）0的平方根是0（）（4）1的平方根是1（）
（5）（-3）2的平方根是-3（）
2.25的平方根记作，结果是；
361的负的平方根记作，结果是；
3.计算：○1=；○2=；
③=；○4=.
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
活动1.观察下面的式子：
，；，；，；
(1)再列举与上式类似的3个式子；
（2）你得出什么结论？
问题1.求下列各数的平方根：（1）25；（2）；（3）15；（4）.

四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题2.填空：
（1）因为平方得64的数是，所以64的平方根是.
（2）平方根是它本身的数是.
（3）若a+1没有平方根，则a的取值范围是.
（4）如果x、y是2011的平方根，那么x和y的关系是.
（5）如果-b是a的平方根，那么a和b的关系是.
问题3.①=；②=；
③=；④=．

五.【变式拓展】能力提升、突破难点
1.已知是25的平方根，是36的平方根，求的值．

2.已知4a+1的平方根是±5，求a的值．

3.已知一个数a的平方根是b+1，b+3，求a、b的值．

六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1.任意的有理数都有平方根吗？为什么？
2.求一个非负有理数的平方根的步骤是什么？

平方根

老师在新授课程时，一般会准备教案课件，大家应该开始写教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，可以更好完成工作任务！你们会写适合教案课件的范文吗？下面是小编为大家整理的“平方根”，仅供您在工作和学习中参考。

课题：10.1平方根（1）

教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性；
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根；
3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。
教学难点根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
知识重点算术平方根的概念。
教学过程（师生活动）设计理念
情境导入同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度（米／秒）而小于第二宇宙速度：（米／秒）．、的大小满足.怎样求、呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．
这节课我们先学习有关算术平方根的概念．
请看下面的问题．神舟”五号成功发射和安全着陆，标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步，是我们伟大祖国的荣耀．此内容有感染力，使学生对
本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．这里的计算实际上是已知
幂和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算，学生以前没有见过，由此引出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路．
提出问题
感知新知多媒体展示教科书第160页的问题（问题略），然后提出问题：
你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法）
这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值．
练习：教科书第160页的填表．练习：教科书第160页的填表．这个问题抽象成数学问题
就是已知正方形的面积求正方形的边长，这与学生以前学过的
已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，教学时可以让学生初步体会这种互逆的过程，为后面的学习做准备。
归纳新知上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数．
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式=a(x≥0)中，规定x=.
思考：这里的数a应该是怎样的数呢？
试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如表示25的算术平方根，因为……[也可以写成,读作“二次根号a”。
算术平方根的概念比较抽象，原因之一是学生对石这个新
的符号的理解要有一个过程．通过此问题，使学生对符号“而”表示的具体含义有更具体、更深刻的认识．
应用新知例．（课本第160页的例1）求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001
建议：首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再求出结果，例如求100的算术平方根，就是求一个数x，使=100，因为
例题的解答展示了求数的算术平方根的思考过程．在开始阶段，宜让学生适当模仿，熟练后可以直接写出结果．
探究拓展提出问题：（课本第160页）怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
方法1：课本中的方法，略；
方法2：
可还有其他方法，鼓励学生探究。
问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？
大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
建议学生观察图形感受的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们将在下节课探究．
教科书在边空提出问题“小正方形的对角线的长是多少”，
这是为在10．3节介绍在数轴上画出表示的点做准备．

小结与作业
课堂小结提问:1、这节课学习了什么呢？
2、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3、怎样求一个正数的算术平方根？
布置作业1、必做题：课本第167页习题10.1第1、2、3题；168页第11题。
2、备选题：
（1）判断下列说法是否正确：
①是25的算术平方根；
②一6是的算术平方根；
③0的算术平方根是0；
④0.01是0.1的算术平方根；
⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．
（2）下列各式哪些有意义，哪些没有意义？
①－②③④
（3）一个正方形的面积为10平方厘米，求以这个正方形的边为直径的圆的面积。
在本节的第一个“探究”栏目之前，重点是介绍算术平方根的概念，因此所涉及的数（包括例题中的数）都是完全平方数（能表示成一个有理数的平方），所求的是这些完全平方数的算术平方根．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本节课是本章的第一节课，主要是要建立算术平方根的概念为了使学生体会引入算
术平方根的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学技术发展的需要，也为了激发学生的学习热情，所以章前图的学习不要省略．特别地应提醒学生这里求速度的问题实际上是已知幂和乘方求底数的问题，是一个新的数学问题．
通过一个简单的实际问题，引人算术平方根的概念对学生来说是容易接受并有兴趣
的．教学中要注意算术平方根的非负性，对它的符号的理解与接受要有一个过程，但这也是最重要的，能从根号很自然地联想到算术平方根的意义（应满足的一个等式）这是学好平方根概念的基本保证，所以在例题之前安排了试一试和想一想，教师还可根据学生实际情况进行有关的训练．
通过对两个小正方形拼成一个大正方形的探究活动，一方面是培养学生的动手能力和思维能力，调动学生的学习积极性，另一方面是使学生理解引人算术平方根符号的必要性，明确有些正数的算术平方根不能容易地求得，为下节课的学习做准备．