九年级数学圆复习。
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九年级数学期末复习（3）---圆
班级学号姓名
【导学提纲】
1.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）
A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定
2.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）
3.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）
A.8B.4C.10D.5
4.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D=50°，则∠C的度数是（）
A.25°B.40°C.30°D.50°
5.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是（）
A.52°B.76°C.26°D.128°
6.如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的长为．
7.如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD＝，则线段BC的长度等于．
【展示交流】
例1.如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D.求证：（1）BD是⊙O的切线（2）
例2.如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（l）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是⊙的切线.
例3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．
【反馈练习】
1.⊙O的半径r=10cm，圆心到直线a的距离OM=8cm，在直线a上有一点P，且PM=6cm，则点P（）
A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能⊙O内也可能在外
2.三角形内切圆的圆心是这个三角形的()wWw.JAb88.COM
A．三条中线的交点B.三条角平分线的交点
C．三条高的交点D.三边的垂直平分线的交点
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=3，则AD的值为（）
A.6B.35C.5D.33
4.如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）
A.12B.1C.2D.3
5.已知O半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则O上有且只有个点到直线AB的距离为3.
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是⊙O上（不与B、C重合）的一个动点，∠BPC=.
7.已知圆O的半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为.
8.如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.
9.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
10.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，
求证：（l）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB＝AC．
11.已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：是线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．
扩展阅读
九年级数学竞赛圆与圆辅导教案
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【例题求解】
【例1】如图，⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙Ol经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=，那么∠BAF=度．
(重庆市中考题)
思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出∠DO2A的度数．
注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．
(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．
【例2】如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol与⊙O2的半径之比为()
A．2：5B．1：2C．1：3D．2：3
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．
【例3】如图，已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙Ol上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙Ol于点N．
(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E，求证：PA=PE；
(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．
(重庆市中考题)
思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PBPC=PDPA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．
【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2．
(1)求大圆半径长；
(2)求线段BF的长；
(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．
(宜宾市中考题)
思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．
注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．
【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为．
(1)试建立以为自变量的函数的解析式；
(2)求函数的最小值．
(太原市竞赛题)
思路点拨设两圆半径分别为R、r，对于(1)，，通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因=R+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围．
注：如图，半径分别为r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分别为两圆的公切线，OlO2与AB交于P点，则：
(1)AB=2；
(2)∠ACB=∠OlMO2=90°；
(3)PC2=PAPB；
(4)sinP=；
(5)设C到AB的距离为d，则．
学力训练
1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B两点，且⊙Ol经过点O2，若∠AOlB=90°，则∠AO2B的度数是．
2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围．
(2003年上海市中考题)
3．如图；⊙Ol、⊙O2相交于点A、B，现给出4个命题：
(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C，AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D，则AB2=BCBD；
(2)连结AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则OlO2=25cm；
(3)若CA是⊙Ol的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上，
(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙Ol于点C，直线CA交⊙O2于点E，连结DE，则DE2=DBDC，则正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．
(厦门市中考题)
4．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M，设⊙Ol的半径为，AM的长为，则与的函数关系是，自变量的取值范围是．
(昆明市中考题)
5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是()
A．2B．C．D．
6．如图，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点，且点Ol在⊙O2上，过A作⊙Oll的切线AC交BOl的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙Ol于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为()
A．B．C．D．
(武汉市中考题)
7．如图，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PBPC=OlAO2A．
上述结论，正确结论的个数是()
A．1B．2C．3D．4
(郴州市中考题)
8．两圆的半径分别是和r(Rr)，圆心距为d，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是()
A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切
(连云港市中考题)
9．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙Ol于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
(2)求证：PDPA=PC2+ACDC；
(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．
10．如图，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙Ol于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙Ol的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．
(四川省中考题)
11．如图，已知A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点M是OlO2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙Ol、⊙O2于B、C．
(1)求证：AB=AC；
(2)若OlA切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=O1O2；
(3)在(2)的条件下，若dld2=1，设⊙Ol、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2=R2r2．
(山西省中考题)
12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．
(全国初中数学联赛试题)
13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．
(全国初中数学联赛试题)
14．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙Ol的圆心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙Ol与⊙O2的直径之比为()
A．2：7B．2：5C．2：3D．1：3
15．如图，⊙Ol与⊙O2相交，P是⊙Ol上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是()
A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，4
(安徽省中考题)
16．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立()
A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆
C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对
(太原市竞赛题)
17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙PP于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
(2)若CD=2，CB=，求EF的长；
(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．
(青岛市中考题)
18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
(1)若PC=PD，求PB的长；
(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；
(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．
请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．(浙江省嘉兴市中考题)
19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．
(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；
(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．
(全国初中数学联赛试题)
20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图)．
方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，
探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；
(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；
(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
(大连市中考题)
九年级数学圆的有关性质总复习
第24讲圆的有关性质
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.
[导学必备知识]
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1．圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧；
(3)________相等的两个圆是等圆；
(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．
二、垂径定理及推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．
2．推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________．
4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
四、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
自主测试
1．(2012重庆)如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为()
A．45°B．35°C．25°D．20°
2．(2012山东泰安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()
A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()
A．45°B．85°C．90°D．95°
4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
5．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝23，OC＝1，则半径OB的长为__________．
6．(2012山东青岛)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__________°.
[探究重难方法]
考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()
A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米
分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=12AB=3，CF=12CD=4，设OE=x，则OF=x-1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.
解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝12AB＝3，CF＝12CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4.
∴半径OA＝32＋42＝5.∴直径MN＝2OA＝10(分米)．
故选C．
答案：C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD．
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
解：(1)证明：∵AB＝BC，
∴＝.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC．
(2)由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB．
∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA．∴ABBE＝BDAB.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BEBD＝3×9＝27.∴AB＝33.
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．
触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为()
A．40°B．50°C．80°D．90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝()
A．116°B．32°C．58°D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD．还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
答案：B
方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．
触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.
[品鉴经典考题]
1．(2012湖南湘潭)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()
A．20°B．40°C．50°D．80°
2．(2012湖南益阳)如图，点A，B，C在圆O上，∠A＝60°，则∠BOC＝__________.
3．(2012湖南娄底)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝__________.
4.(2012湖南长沙)如图，点A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD．
5.(2012湖南怀化)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD，DB．
(1)当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
(2)若AC＝23，求证：△ACD∽△OCB．
[研习预测试题]
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为()
A．5B．4C．3D．2
2.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()
A．12B．34C．32D．45
3.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()
A．16B．10C．8D．6
4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为()
A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位
5．如图，已知在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝________.
6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径等于________．
8.如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：
(1)△ABD为等腰三角形；
(2)ACAF=DFFE.
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)圆心半径
2．(1)线段(2)部分(3)半径(4)重合
二、1.平分平分
2．(1)不是直径(2)圆心两条
3．相等
三、1.相等相等
四、1.圆心圆相交
2．(1)弧(2)圆心角(3)相等相等(4)直角直径
导学必备知识
自主测试
1．A∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝45°.故选A.
2．D∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；
B为的中点，即CB＝DB，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，
∴△ACM≌△ADM(SAS)，
∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D.
3．B∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，
∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.
4．8如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm.
在Rt△AOD中，
∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)．
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
故答案为8.
5．2∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23，
∴BC＝12AB＝3.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，
OB＝OC2＋BC2＝12＋(3)2＝2.
故答案为2.
6．150因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.
探究考点方法
触类旁通1.24连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝OA2－OP2＝132－52＝12，所以AB＝24cm.
触类旁通2.B由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.
触类旁通3.48°因为的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.
品鉴经典考题
1．D∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝40°.
∴∠BOD＝2∠C＝2×40°＝80°.
2．120°∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°.
3．24°连接OB，∵CD⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝48°.
∴∠BDC＝12∠BOC＝12×48°＝24°.
4．(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于点D，∴OD＝12OB＝4.
5.(1)解：连接OA.
∵∠ADC=18°，
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)证明：过点O作OE⊥AB于点E.
在Rt△OBE中，OB＝4，∠OBC＝30°，
∴BE＝OBcos30°＝4×32＝23.
∵OE⊥AB，∴AB＝2BE＝43.
∵AC＝23，∴C，E重合．
∴∠ACD＝∠OCB＝90°，
∠AOC＝∠COB＝90°－∠OBC＝60°.
∴∠ADC＝12∠AOC＝30°.
∴∠ADC＝∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研习预测试题
1．C2.C3.A4.B
5．150°6.18°
7.52连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD=AEAC.∵在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，
∴AD=4.∴AE=52.
8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，
∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴＝.
又∵BC＝AF，∴＝，∠CDB＝∠FDA，
∴＝，∴CD＝DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，
∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①
∠FAE＝∠BDE.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE＝CDAF，
∴ACAF＝CDFE.
而CD＝DF，∴ACAF＝DFFE.
九年级数学圆和圆的位置关系
3.6圆和圆的位置关系
本节课要学习的内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验直观地探索圆和圆之间的几种位置关系，通过讨论两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系．重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系．
在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程．看学生是否能积极地投入到数学活动中去，在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣就成功了一半，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验．
通过学习本节课的内容，使学生具备一定的识图能力，体会数学活动充满着探索性和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益．
教学目标
(一)教学知识点
1．了解圆与圆之间的几种位置关系．
2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
(二)能力训练要求
1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．
2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
教学难点
探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关
系的过程．
教学方法
教师讲解与学生合作交流探索法
教具准备
投影片三张
第一张：(记作§3．6A)
第二张：(记作§3．6B)
第三张：(记作§3．6C)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．
Ⅱ．新课讲解
一、想一想
[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．
[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么．
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?
[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．
[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．
[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；
(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．
[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?
[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．
[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．
经过大家的讨论我们可知：
投影片(§3．6A)
(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离
外离外切
，相切
内含内切
三、例题讲解
投影片(§3．6B)
两个同样大小的肥皂泡黏
在一起，其剖面如图所示
(点O，O′是圆心)，分隔
两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，
TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．
解：∵OP＝OO′＝PO′，
∴△PO′O是一个等边三角形．
∴∠OPO′=60°．
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=∠NPO′=90°．
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°．
四、想一想
如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?[如图(2)]
[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点了是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．
证明：假设切点丁不在O1O2上．
因为圆是轴对称图形．所以T关于O1O2的对称点广也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假没不成立．
则T在O1O2上．
由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．
在图(2)中应有同样的结论．
通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．
五、议一议
投影片(§3．6C)
设两圆的半径分别为R和r．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?
(2)当两圆内切时(Rr)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?
[师]如图，请大家互相交流．
[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．
在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．
[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R+r
当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R-r．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；
3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．
Ⅴ．课后作业
Ⅵ．活动与探究
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3＝R+r，连接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.
解：连接O2O3、OO3，
∴O2OO3＝90°，OO3＝2R-r
O2O3＝R+r，OO2＝R
∴(R+r)2=(2R-r)2+R2．
∴r=R
板书设计
3.6圆和圆的位置关系
一、1．想一想
2．探索圆和圆的位置-关系
3．例题讲解
4．想一想
5．议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
参考练习
1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；则d＝____．
2．如果两个圆相切，那么切点和两圆的圆心_____．
3．半径为5cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．
4．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．
5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、
6．两圆的半径分别为10cm和R、圆心距为13cm，若这两个圆相切，则R的值是
