中位线教案。

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中位线

【知识与技能】

1.经历三角形中位线的性质定理形成过程.

2.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.

3.通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力.

【过程与方法】

通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯.

【情感态度】

进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点、转化的思想.

【教学重点】

三角形中位线的性质定理.

【教学难点】

三角形中位线的性质定理的应用.

一、情境导入，初步认识

在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题：如图，△ABC中，DE∥BC,则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点.现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？

二、思考探究，获取新知

1.猜想：从画出的图形看，可以猜想：

DE∥BC,且DE=BC.

2.证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）,∴∠ADE=∠ABC,相似三角形的对应角相等，对应边成比例），

∴DE∥BC且DE=BC.

思考：本题还有其他的解法吗？

已知：如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC.求证：DE∥BC,DE=BC.

【分析】要证DE∥BC,DE=BC,可延长DE到F，使EF=DE，于是本题就转化为证明DF=BC，DE∥BC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形.

还可以作如下的辅助线.

【归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

【教学说明】介绍中位线时，强调它与中线的区别.

例1求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.

求证：AE、DF互相平分.

【分析】要证AE、DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形.

证明：连结DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,

∴DE∥AC，同理可得EF∥BA.

∴四边形ADEF是平行四边形.

∴AE、DF互相平分.

例2如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：.

【分析】有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线.

思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得，即两图中的G与G′是重合的，由此我们可以得出什么结论?

归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.

三、运用新知，深化理解

1.如图，在?ABCD中，有E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MN∥AD,MN=12AD.

2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD.求证：OM=ON.

【答案】1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM=AM，FN=DN，∴MN∥AD,MN=AD.

2.解：取BC的中点G，连接EG，FG，

∵BG=CG，BE=AE，∴GE=AC，EG∥AC

∴∠ONM=∠GEF，同理GF=BD，

∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，

∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE，

∴∠ONM=∠OMN，

∴OM=ON.

【教学说明】引导学生取BC的中点，构造中位线.

四、师生互动，课堂小结

1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

2.三角形中位线定理的应用.

3.三角形重心的性质.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.4”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解.在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力.

扩展阅读

三角形中位线定理

课案（学生用）
三角形中位线定理
（新授课）
【学习目标】
1．知识技能
利用平行四边形的性质和判定证明出三角形的中位线定理，并会用定理进行计算或证明．
2．数学思考
通过猜想、验证、推理、交流等数学活动，发展我们的动手操作能力、合情推理能力以及应用数学能力．
3．解决问题
通过三角形中位线定理的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性．
4．情感态度
（1）在观察、分析过程中发展我们主动探索、质疑和独立思考的习惯．
（2）经历合作探究的过程，培养我们合作交流意识和探索精神．
【学习重难点】
1．教学重点：理解和掌握三角形中位线定理，并能熟练运用．
2．教学难点：利用平行四边形的性质与判定证明三角形的中位线定理，以及复杂图形中通过作辅助线应用三角形中位线定理．

课前延伸

各人准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB、AC边中点D、E，用直尺分别测量DE、BC的长，比较DE、BC的大小关系，并猜想DE、BC之间存在怎样的数量关系．还能借助量角器测量有关角的大小，并猜想出DE、BC之间的位置关系吗？

课内探究

一．上面猜想进行理论证明．
已知：D、E分别平分AB、AC，
求证：_______________________

二．总结归纳．
三角形的中位线定义：
三角形的中位线定理：
三．三角形的中位线和中线区别：
三角形中位线定理的符号语言：

四．随堂练习、巩固深化
1．D、E分别平分AB、AC，若BC=10cm，则DE=______；
若DE=cm，则BC=______．

2．已知中，，且cm，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则的周长是_________cm．
3．如图，内有一点P，EF是的中位线，MN是的中位线，
求证：四边形MNFE是平行四边形．

4．判断任意一个四边形各边中点连接所形成四边形的形状，并证明你的结论．
已知：E、F、G、H分别为四边形ABCD中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形．
5．实际应用：
想知道一池塘边缘宽度AB，且AB不可直接测量，怎么办？
提醒：池塘旁取一点C，C与A、B之间可以直接到达．

五．当场训练反馈：
1．如图，任意四边形ABCD各边中点分别为E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为10cm，则四边形EFGH的周长是（）
A．40cmB．20cmC．10cmD．5cm

2．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（）
Ａ．1个B．2个C．3个D．4个

课后提升
1．已知一个三角形的周长为a，它的三条中线组成的第二个三角形周长为_________，
第二个三角形的三条中线又组成第三个三角形，其周长为_________，以此类推，
第2010个三角形的周长为_________．
2．如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，
试猜想EF、DG之间的关系，并证明你的结论．

三角形中位线学案

教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西，是认真规划好自己教案课件的时候了。此时就可以对教案课件的工作做个简单的计划，新的工作才会如鱼得水！适合教案课件的范文有多少呢？小编特地为大家精心收集和整理了“三角形中位线学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

九年级数学《1.6三角形中位线》学案（2）人教新课标版

课型新授课授课时间

执笔人审稿人总第14课时

学习内容学习随记

教学目标：

1.掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理

2．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力

3．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

一、情景创设

怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个三角形？

操作：

（1）剪一个梯形，记为梯形ABCD;

（2）分别取AB、CD的中点M、N，连接MN；

（3）沿AN将梯形剪成两部分，并将△ADN绕点N按顺时针方向旋转180°到△ECN的位置，得△ABE，如右图。

讨论：在上图中，MN与BE有怎样的位置关系和数量关系？为什么？

二、合作交流

1.梯形中位线定义：

2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.

如右图所示：MN是梯形ABCD的中位线，引导学生回答下列问题：

MN与梯形的两底边AD、BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？

梯形中位线定理：

定理符号语言表达：∵

3.归纳总结出梯形的又一个面积公式：

S梯=(a+b)h设中位线长为l,则l=(a+b),S=l*h

三、例题解析

例1.如图，梯子各横木条互相平行，且A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,B1B2=B2B3=B3B4=B4B5。已知横木条A1B1=48cm，A2B2=44cm,求横木条A3B3、A4B4、A5B5的长

练习：

①一个梯形的上底长4cm，下底长6cm，则其中位线长为；

②一个梯形的上底长10cm，中位线长16cm，则其下底长为；

③已知梯形的中位线长为6cm，高为8cm，则该梯形的面积为________；

④已知等腰梯形的周长为80cm，中位线与腰长相等，则它的中位线长.

例2：已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB＝AD＋BC，P为CD的中点，求证：AP⊥:

已知横木条A1B1=48cm，A2B2=44cm,求横木条A3B3、A4B4、A5B5的长

练习：

①一个梯形的上底长4cm，下底长6cm，则其中位线长为；

②一个梯形的上底长10cm，中位线长16cm，则其下底长为；

③已知梯形的中位线长为6cm，高为8cm，则该梯形的面积为________；

④已知等腰梯形的周长为80cm，中位线与腰长相等，则它的中位线长.

例2：已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB＝AD＋BC，P为CD的中点，求证：AP⊥BP

四、拓展练习

1.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9，则此梯形的中位线长是…（）

A．10B．C．D．12

2.已知，等腰梯形ABCD中，两条对角线AC、BD互相垂直，中位线EF长为8cm，求它的高CH.

三角形的中位线的

一、设计思路
（一）教材分析
本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
（二）学情分析
本班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，但知识迁移能力较差，数学思想方法运用不够灵活。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。
三）教学目标
1.知识目标
1）了解三角形中位线的概念。
2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。
2.能力目标
1）经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。
2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感目标
通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。
（四）教学重点与难点
教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明.
教学难点：三角形中位线定理的多种证明。
（五）教学方法与学法指导
对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。
（六）教具和学具的准备
教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。
学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。
二、教学过程
1.一道趣题——课堂因你而和谐
问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）
（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。）
学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形．
如图中，将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形ADFE。
问题：你有办法验证吗？
2.一种实验——课堂因你而生动
学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：
生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的ABC剪开，看四个三角形能否重合。
生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。
生3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。
引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？
3.一种探索——课堂因你而鲜活
师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（板书）
问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图1中你能发现什么结论呢？
（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言）
学生的结果如下：DEBC，DFAC，EFAB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，
ADEDBFEFCDEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB……
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书）
师：如何证明这个猜想的命题呢？
生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。
已知：DE是ABC的中位线，求证：DE//BC、DE=BC。
学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。
（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下）
生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF
由ADECFE（SAS）
得ADFC从而BDFC
所以，四边形DBCF为平行四边形
得DFBC
可得DEBC（板书）
生2：将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点A与点C重合，
即ADECFE，
可得BDCF，
得平行四边形DBCF
得DFBC可得DEBC
生3：延长DE到F使DE=EF，连接AF、CF、CD,可得ADCF
得DBCF
得DFBC
可得DEBC
生4：利用ADEABC且相似比为1：2
即
可得DEBC
师：还有其它不同方法吗？
（学生面面相觑，学生5举手发言）4.一种创新——课堂因你而美丽
生5：过点D作DF//BC交AC于点F
则ADFABC
可得
又E是AC中点
可得
因此AE=AF
即E点与F点重合
所以DE//BC且DE=BC
（笔者事先只局限于思考利用平行四边形及三角形相似的性质解决问题，没想到学生的发言如此精彩，为整个课堂添加了不少亮色。）
师：很好，好极了！这种证法在数学中叫做同一法，连老师也没想到。太棒了，大家要向生5学习，用变化的、动态的、创新的观点来看问题，努力去寻找更好更简捷的方法。
5.一种思考——课堂因你而添彩
问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？
容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段．但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（学生交流、探索、思考、验证）
6.一种照应——课堂因你而完整
问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃）
7.一种应用——课堂因你而升华
做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？
（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。）
已知：四边形ABCD，点E、F、G、H
分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是ABC的中位线，
∴EFAC且EF=AC，
同理可得：GHAC且GH=AC，
∴EFGH，
∴四边形EFGH为平行四边形。（板书）
其它解法由学生口述完成。
8.一种引申——课堂因你而让人回味无穷
问题：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”，结论又会怎么样呢？（学生作为作业完成。）
9.一句总结——课堂因你而彰显无穷魅力
学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。（另附作业）
三、板书设计
三角形的中位线
1.问题
2.三角形中位线定义
3.三角形中位线定理证明
4.做一做
5.练习
6.小结
四、课后反思
本节课以“如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形”这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索—发现—猜想—证明”的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。