中考数学专题：图形位置关系。

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中考数学专题2图形位置关系

第一部分真题精讲
【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．

【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

【解析】
（1）证明：联结OD．∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于点D.
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.
∵D为AC中点，∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=，∴EC=.（三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：DC=.
在Rt△DCB中，BD=．由勾股定理得：BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径.
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。

【解析】证明：连接.
∴.∴.
∴∥.（得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）
∵,
∴.∴.
∵是⊙O半径，
∴为⊙O的切线.
（2）∵,，，
∴.
由勾股定理，得.
∴.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
∵是⊙O直径，
∴.∴.
又∵,,
∴.（这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△中，==5.
∴的半径为.

【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点
在⊙上，且
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，，
求⊙的半径长.

【思路分析】此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。

【解析】
（1）证明：连接.
∵，
∴.
∴是等边三角形.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.（不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）
又∵点在⊙上，
∴是⊙的切线.
（2）解：∵是⊙的直径，
∴.
在中，,
∴设则，
∴.
∴.（设元的思想很重要）
∴.………………………………………5分

【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的值．
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。

【解析】
（1）证明：如图，连结，则．
∴．
∵，∴．
∴是的中点．
∵是的中点，
∴．
∵于F．
∴．
∴是的切线．
(2)连结，∵是直径,∴．（直径的圆周角都是90°）
∴．
∴．
设，则．
在中，．
在中，．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
∴．解得．即．
在中．

【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。

【解析】
（1）结论：与相切
证明：连接
∵点、在圆上，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴（做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）
在和
∴
∵与相切
∴
∴
∴与相切
（2）∵，四边形是平行四边形
∴
∴（很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）
∴
∴.

【总结】经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。
第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题，如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。

第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：
如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。
本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。
（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）

至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。

第二部分发散思考

【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低.因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。
（解法见后）
【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交
⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.

【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。
（解法见后）

【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。

【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，
D为上一点，CE⊥AD于E.
求证：AE=BD+DE．

【思路分析】前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。

【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．

【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。

第三部分思考题解析
【思考1解析】

1）证明:如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵AE=2AO=6,AB=4,
∴.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,
∴

【思考2解析】

解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．-
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD．
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A．
∴∠A=∠CBD．
∵OB=OC，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴∠OBD=90°．
∴直线BD与⊙O相切．
（2）解：∵∠D=∠ACB，，
∴．
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，，
∴，．
∴．

【思考3解析】

1）证明：连结，则．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，是角平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴与相切．
（2）解：在中，，是角平分线，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
设的半径为，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴的半径为．

【思考4解析】
证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD．
∴CF=CD.
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE.
∴.

【思考5解析】
证明：（1）连接OC,

相关知识

中考第一轮复习平面图形及位置关系学案、巩固案

新海实验中学九年级（教）学案

课题课时23平面图形及位置关系备课时间2012-3-31

课型复习主备人审核人

一、考点要求：

1.线段、直线、相交线、平行线、角的定义及定理，平行的判定和性质

2.垂线、距离的定义

二、精讲点拨：

例1．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写数字1，2，3，4，5，6，7，…。

（1）“17”在射线上；

（2）请任意写出三条射线上数字的排列

规律；；。

（3）2012在射线上。

例2．l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点；如果在这个平面内，再画第三条直线l3，那么这三条直线最多有_____个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有_____个交点.由此可以猜想：

（1）在同一平面内，6条直线最多可有______个交点；n条直线最多可有__________个交点.（用含n的代数式表示）

（2）在同一平面内有m条直线，其中有n（nm）条直线平行，则最多有___________个交点.（用含m、n的代数式表示）

例3．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD

的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

备注

巩固与练习

1、如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内角互补，两直线平行D.两直线平行，同位角相等

2、如中图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角的个数是（）

A.2B.4C.5D.6

3、如右图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

4、如图，直线a／／b，点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55，则∠2的度数为（）

A.35B.45C.55D.125

5、如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）

A．30°B.25°C.20°D.15°

6、如图已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°。∠P=.

7、如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB//AC的条件：________________.

8、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=________.

9、将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=__________度．

10、如右图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.

（1）求∠EDB的度数；

（2）求DE的长.

中考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系(湘教版)

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第32课直线与圆、圆与圆的位置关系

【知识梳理】

1.直线与圆的位置关系：

2.切线的定义和性质：

3.三角形与圆的特殊位置关系：

4.圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为）

相交；外切；

内切；外离；内含

【注意点】

与圆的切线长有关的计算．

【例题精讲】

例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）

A．相离B．相切C．相交D．内含

例2.如图1，⊙O内切于，切点分别为．，，连结，

则等于（）

A．B．C．D．

例3.如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（）

A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个

例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）A.1cmB.7cmC.10cmD.1cm或7cm

例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为

例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______时，两圆相交；

当d满足______时，两圆不外离．

例7．⊙O半径为6.5cm，点P为直线L上一点，且OP=6.5cm，则直线与⊙O的位置关系是____

例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_．

例9.如图，⊙M与轴相交于点，，与轴切于点，则圆心的坐标是

例10.如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=，求DB的长．

【当堂检测】

1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）

A．相离B．外切C．内切D．相交

2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（）

A．10cmB．6cmC．10cm或6cmD．以上答案均不对

3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（）A.B.C.D.

4.如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（）

A）6（B）2（C）2（D）2

5.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移

个单位长.

6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（）

A.B.C.D.

7.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长6，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.不能确定

8.如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是（保留）．

9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．

10.如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．

11.如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．

12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．

13.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．

中考英语语法专题关系代词

中考英语语法专题关系代词

关系代词有who，whom，whose，that，which，as等，可用作引导从句的关联词。它们在定语从句中可作主语、表语、宾语、定语等；另一方面它们又代表主句中为定语从句所修饰的那个名词或代词（通称为先行词）。

如：Heisthemanwhomyouhavebeenlookingfor.　他就是你要找的那个人。八、连接代词：

连接代词主要有who,whom,whose,what,which,whoever,whomever,whosever,

whatever,whichever等。

连接代词一般指疑问,但what,whatever除了指疑问之外,也可指陈述。

DoyouknowwhohaswontheRedAlertgame?你知道谁赢了这一局红警游戏吗？

Idontknowwhomyoushoulddependon?我不知道你该依靠谁。

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