一元二次方程高中教案

二次函数与一元二次方程导学案。

教案课件是老师需要精心准备的，到写教案课件的时候了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！有没有好的范文是适合教案课件？以下是小编收集整理的“二次函数与一元二次方程导学案”，希望能为您提供更多的参考。

九年级（下）数学学科导学案
主备人：复备人：备课组审核人：班级：小组：学号：姓名：编号：12
课题：2.8二次函数与一元二次方程的关系
学习目标：1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标

一、课前热身(填空)：
1.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是_______,开口方向是______,顶点坐标是__________
二、合作探究
2.二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如下图所示。
1）每个图象与x轴有几个交点？
2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3)说说二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
四.知识运用
4.阅读教材P73~75左图是y=x2+2x-10的图像
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
5.左图是y=x2+2x-10的图像，利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=2的近似根
6.（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标。

三、归纳总结
结论：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:_____________________________________________.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的_______就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h=－4.9t2＋19.6t来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）作出函数h=－4.9t2＋19.6t的图像
（2）当t=1时，足球的高度是多少？
（3）t为何值时，h最大？
（4）经过多长时间球落地？
（5）方程－4.9t2＋19.6t=0的根的实际意义是什么？能在图上表示吗?
（6）方程14.7=－4.9t2＋19.6t的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?

7.如图，已知二次函数的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．

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一元二次方程

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第二十二章一元二次方程
教材内容
本单元教学的主要内容：
1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.
2.本单元在教材中的地位和作用：
教学目标
1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。
2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
教学重点、难点
重点：
1．一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。
难点：
1.一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用
课时安排
本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）
22．1一元二次方程1课时
22．2降次7课时
22．3实际问题与一元二次方程3课时
教学活动、习题课、小结
22.1一元二次方程
教学目的
1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．
2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．
3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．
教学重点、难点
重点：一元二次方程的定义．
难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
教学过程
复习提问
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新课
1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）
学过的几类方程是
没学过的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化为：x2+5x-150=0．
从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．
【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
课堂练习P271、2题
归纳总结
1．方程分为两大类：
判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．
2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．
布置作业：习题22.11、2题．
达标测试
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是
5.方程4x2=3x-+1的二次项是,一次项是,常数项是
课后反思：

22.2解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例1解方程x2-4=0．
解：先移项，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
练习：P281、2
归纳总结
1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作业：习题22.14、6题
达标测试
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解为
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程无实根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是
A.不论c为何值,方程均有实数根B.方程的根是
C.当c≥0时,方程可化为:
D.当c=0时,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
课后反思

中考数学复习：一元二次方程与二次函数

中考数学专题4一元二次方程与二次函数

第一部分真题精讲

【例1】已知：关于的方程．

⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数的图象关于轴对称．

①求二次函数的解析式；

②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）

∴当，原方程有实数根.

当时，原方程为关于的一元二次方程，

∵.

∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，

∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

∴.

∴抛物线的解析式为.

②∵，（判断大小直接做差）

∴（当且仅当时，等号成立）.

（3）由②知，当时，.

∴、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）

∵对于的同一个值，，

∴的图象必经过.

又∵经过，

∴.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

设.

∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，

∴，

∴.

又根据、的图象可得，

∴.（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

∴.

∴.

而.

只有，解得.

∴抛物线的解析式为.

【例2】关于的一元二次方程.

（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

（1）由题意得

解得

解得

当且时，方程有两个不相等的实数根.

（2）由题意得

解得（舍）(始终牢记二次项系数不为0)

（3）抛物线的对称轴是

由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)

与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)

另设过点的直线（）

把代入，得，

整理得

有且只有一个交点，

解得

综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，

【例3】

已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．

（1）求的值；

（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，

十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．

所以，抛物线对称轴，所以，．

（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．

因为，=16-8=80．

所以，方程有两个不同的实数根，分别是

，．

（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．

若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．

由==0，得

又是正整数，所以得最小值为2．

【例4】已知抛物线，其中是常数．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.

（1）依题意，得，

∴

∴抛物线的顶点坐标为

（2）∵抛物线与轴交于整数点，

∴的根是整数．

∴是整数．

∵，

∴是整数．

∴是整数的完全平方数．

∵，

∴．(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)

∴取1，4，

当时，；当时，．

∴的值为2或．

∴抛物线的解析式为或．

【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；

（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解：（1）

∵方程有两个不相等的实数根,

∴

∵,

∴的取值范围是且.

（2）证明：令得.

∴.

∴(这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)

∴抛物线与轴的交点坐标为,

∴无论取何值，抛物线总过定点

（3）∵是整数∴只需是整数.

∵是整数，且,

∴

当时，抛物线为．

把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为

【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分发散思考

【思考1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.

（1）求的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

与此图象有两个公共点时，的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】已知：关于的一元二次方程

（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】已知:关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式的值；

（3）求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.

【思考4】已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根满足，求的值．

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出,

发现都是关于m的一次表达式,做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解.这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分思考题解析

【思考1解析】

解：（1）由题意得，．

∴．

∵为正整数，

∴．

（2）当时，方程有一个根为零；

当时，方程无整数根；

当时，方程有两个非零的整数根．

综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．

当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．

（3）设二次函数的图象与轴交于

两点，则，．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线经过点时，可得；

当直线经过点时，可得．

由图象可知，符合题意的的取值范围为．

【思考2解析】

证明：

∴方程有两个不相等的实数根。

（2）

∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．

又∵12＜m＜40，

∴5＜＜9．

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.

依题意k-1≠0.

∴.

∵方程的根为正整数，k为整数,

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

（3）证明：方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

(i)若ac0,则-4ac0.故Δ=b2-4ac0.此时方程②有两个不相等的实数

根.

(ii)证法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根为正实数，

∴方程(k-1)x=2的根为正实数.

由x0,20,得k-10.

∴4ac(k-1)0.

∵(a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此时方程②有两个不相等的实数根.

证法二:若ac0,

∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,

∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.

(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).

由证法一知k-10,

∴b2-4acb2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac0.此时方程②有两个不相等的实数根.

综上,方程②有两个不相等的实数根.

【思考4解析】

（1）-

不论取何值，方程总有两个不相等实数根

（2）由原方程可得

∴--

∴

又∵

∴

∴-

经检验：符合题意．

∴的值为4．

一元二次方程学案