解一元二次方程——配方法导学案（新版新人教版）。

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第3课时解一元二次方程-配方法
一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；
2．学会利用配方法解一元二次方程.
二、知识回顾1．形如(≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.
2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x＝±或mx＋n=±．
三、新知讲解1．配方法的依据
配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．
2．配方法的步骤
（1）化——化二次项系数为1
如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.
（2）移——移项
通过移项使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.
（3）配——配方
在方程两边都加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式把原方程变为(≥0)的形式．
（4）解——用直接开平方法解方程.
四、典例探究
1．配方法解一元二次方程
【例1】（2015科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把二次项的系数化为1；
（2）把常数项移到等号的右边；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法解这个方程.
练1用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.

2．用配方法求多项式的最值
【例2】（2015春龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．

总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.
练2（2014甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

练3（2014秋崇州市期末）已知a、b、c为△ABC三边的长．
（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．

五、课后小测一、选择题
1．（2015延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（）
A．（x+1）2+4B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4D．（x+1）2+2
2．（2015东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）
A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17
二、填空题
3．（2015春盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a=．
4．（2014秋营山县校级月考）当x=时，代数式3x2﹣6x的值等于12．
三、解答题
5．（2015东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

6．（2013秋安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？

7．（2014秋蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小华：能．求解过程如下：
因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7
而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
问题：
（1）小华的求解过程正确吗？
（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．

8．（2014秋安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值为4
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．

9．（2014春乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．

10．（2014秋江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a=﹣1．
①当x=时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．
②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．
③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

典例探究答案：
【例1】【解析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．
故选：B．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
练1．【解析】（1）移项，得x2﹣2x=24，
配方，得：x2﹣2x+1=24+1，
即：（x﹣1）2=25，
开方，得：x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
（2）两边除以3，得：,
移项，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：
∴
（3）整理，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：
∴
点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．
解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．
练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；
（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．
解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
∵a、b、c为△ABC三边的长，
∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，
∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形．
点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．

课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．
解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．
故选：B．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
2．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．
解：移项，得x2﹣8x=1，
配方，得x2﹣8x+16=1+16，
即（x﹣4）2=17．
故选A．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．
二、填空题
3．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．
解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；
故答案为：9．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．
解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，
开方得：x﹣1=±，
解得：x=1±．
故答案为：1±．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题
5．【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
6．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．
解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3
=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，
当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．
点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．
解：（1）正确
（2）能．过程如下：
x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+
∵（x﹣）2≥0，
所以x2﹣3x+4的最小值是．
点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．
8．【解析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5．
点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．【解析】先将原式变形为x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．
解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．
∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，
∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23
解得m=﹣2或m=
点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．
10．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；
②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；
③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．
解：①∵（x﹣1）2≥0，
∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，
则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；
②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，
则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；
③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
故答案为：①1；大；3；②2；大；7
点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

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用配方法解一元二次方程学案

【学习目标】1.知道什么叫开平方法。
2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。
【学习过程】
一.复习回顾：1.平方根的定义____________________________。
2.求下列各数的平方根：4，6，0，12.
3.负数有没有平方根？
相关知识链接：
为美化校园，我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应该增加多少？
解：设边长应增加x米，根据题意可列方程_________________________________
同学们思考，怎样解这个方程？
二.探求新知：
自学课本80页内容，再根据平方根的意义，解下列方程
①x2=9②x2=6③(x+3)2=1④(x-2)2=2

方法总结：
通过学习，总结以上各题的特点：1.如果一个一元二次方程一边是____________________
另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。
2.利用开平方解一元二次方程，一定注意方程有__________个解。
三.典型例题：
例1.解方程：4x2-7=0

对应练习：解方程
①49x2=25②0.5x2-32=0③2x2=3④9x2-8=0
例2.9（x-1）2=25

对应练习：（1）（x+1）2=16（2）(6x-1)2=81

小结：

当堂测试：
1.下列方程，能否用开平方法求解（）
（1）2x2=1（2）3x2+1=0（3）9(x-2)2=25（4）x2-4x+4=9
2.利用开平方法解方程：
(1)4x2=9(2)2(x-3)2=8

3.解方程：（x+）(x-)=2

4、解方程x2-10x+25=7

《用配方法解一元二次方程》教学反思

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在用心的考虑自己的教案课件。只有写好教案课件计划，才能促进我们的工作进一步发展！你们会写教案课件的范文吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“《用配方法解一元二次方程》教学反思”，但愿对您的学习工作带来帮助。

《用配方法解一元二次方程》教学反思

《用配方法解一元二次方程》，是本章解法的第三课时，我的设计思路如下：

首先因为学生在开始已经学习了用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，因此通过大屏幕展示学生比较感兴趣的篱笆问题引入，从而引出本节课的内容，在学生掌握的过程中，选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了二次项系数不是一的方程，让学生学会用类比的方法解决问题。

我认为本节课自己在实施学生主体参与方面做到比较成功：

1.巩固旧知对学生来说是非常重要的，尤其是初三年级的学生大部分已经有了厌学的情绪，或是怕自己跟不上，产生消极的心里，通过复习旧知，可唤起他们学习的积极性，大面积提高课堂效率。

2.从生活实例中引入新课，是数学课程标准的要求，学生们学习数学的目的就是为了应用数学知识解决实际问题，对他们感兴趣的话题他们就会愈学愈带劲，这样更能提高学困生的学习积极性。

3.初三数学又得体现分次优化，因此，在本节课的重点教学时，我备课翻阅了近几年的中考题，选择了一些比较典型的习题让同学们来做，并让他们在小组内充分的交流，以达到提高全体学生学习积极性的目的。.

教学中还有许多需要改进的地方：

1.本节课中有些能够让学生口答的地方应节省出时间让学生做大量的类型题，以提高优生的能力。

2.课堂小结的权利也应交给学生来总结，以提高学生的主体参与能力。

3.题目的难易度没有掌握好，根本上解决不了好学生吃不饱，跟队生吃不了的问题。

4.课堂容量不大，节奏比较缓慢。应该是大容量，快节奏，高效率。

《配方法解一元二次方程》教学设计

《配方法解一元二次方程》教学设计

教学目标：

知识与技能
1．会用开平方法解形如（x+m）2=n(n≧0)一元二次方程。
2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程
过程与方法
1．理解配方法；知道配方是一种常用的数学方法。
2．经历观察、实践、交流等活动，体会转化的数学思想，进一步发展计算能力和有条理表达的能力。
情感态度与价值观
通过用配方法解一元二次方程的过程，培养学生学习数学的积极性和自信心，增强他们的数学应用意识和能力．
教学重点：运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
教学难点：理解配方法的基本步骤。

教学方法：启发，探究式等方法。

教学过程：

一、复习回顾，引入课题

1.什么是完全平方式？完全平方公式有哪几个？

2.什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？

学生回答：略

3.咱们会不会解一元二次方程呢？

从最简单的方法入手例如

解方程：（1）x2=5;(2)(x+6)2=5;(3)x2+12x+36=5

引导学生利用初二所学的平方根的知识解第一个方程，再观察第二个方程的特征对照第一个方程解出第二个方程，对于第三个方程要引导学生观察与第二个方程的关系，引导学生探索之间的内在联系。

二、讲授新课、推导新知

对于上节课梯子的问题：x2+12x-15=0如何解，怎样求出它的精确值呢？

我们可以利用完全平方将x2+12x-15=0转化为（x+6）2=51

两边开平方，得x+6=±√51，

∴x1=-6+√51,x2=-6+√51(不合实际)

因此，该解法的基本思路是将方程转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≧0时，两边开平方便可求出它的根。

1，配方：填上适当的数，使下列等式成立。

（1）x2+12x+=（x+6）2

（2）x2-4x+=（x）2

（3）x2+8x+=（x）2

在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？

答案：左边填写的是“一次项系数一半的平方”，右边填写的是“一次项系数的一半”。

三、讲解例题，示范新知

例1解方程：x2+8x-9=0

解：移项，得x2+8x=9

两边都加上42，得x2+8x+42=9+42

即（x+4）2=25

开平方，得x+4=±5,

即x+4=+5,或x+4=-5,

∴x1=1,x2=-9

我们通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

四、学生练习，巩固新知

1，随堂练习

2，解下列方程：

（1）x2+12x+25=0（2）x2-8x-12=0

（3）x2-6x=11（4）x2+4x-14=0

五、总结回顾，提升新知

1.什么叫配方法?

2.配方法的基本思路是什么？

3.怎样配方？

六、布置作业：第55页，1，2，3。