九年级数学下28.2.1解直角三角形学案(人教版)。
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28.2.1解直角三角形学案
一、新课导入
1.课题导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题.
2.学习目标
（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.
（2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
3.学习重、难点
重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.
难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90°.
b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2.
c.边角关系：sinA＝，sinB＝；
cosA＝,cosB＝；
tanA＝,tanB＝.
③已知直角三角形中不是直角的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）
已知其中两个元素（至少有一个是边）.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.
4.强化
（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）.
（2）直角三角形的可解条件：必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）.
①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.
②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.
第二层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P73例1、例2.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠.
（4）自学参考提纲：
①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC、BC，需求出的未知元素是：斜边AB、锐角A、锐角B.
方法一：∵tanA==,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°.
∵AC=，BC=,∴AB=.
方法二：∵AC=，BC=,∴由勾股定理可得AB=.
sinA==，∴∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°.
这里∠B的度数也可用三角函数来求，你会吗？
②比较上述解法，体会其优劣.
③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b和一锐角B，则要求的未知元素有直角边a、斜边c、锐角A.
④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.
⑤练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
a.c=20,b=20；
b.∠B=60°，c=14；
c.∠B=30°，a=.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生解直角三角形的思路是否清晰，是否会选择恰当的三角函数关系式.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：解直角三角形的思路：首先，明确已知什么，要求的元素有哪些；其次，合理选择三角函数关系式，并正确进行变形（所选的关系式必须要有两个已知元素）；第三，尽可能选用题目的原始数据，以减少误差.
三、评价
1.学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑问？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等方面进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.
评价作业
一、基础巩固（70分）
1.(40分)已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=4,b=2,则c=；（2）若a=10，c=10，则∠B=45°；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=35；（4）若c=20，∠A=60°，则a=.
2.(10分)在△ABC中，AC=2，AB=3，∠A=30°，则△ABC的面积等于（B）
A.B.
C.D.3
3.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=，那么AB的长是9.
4.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
∴BC===4,AC=ABtanB=.
∴△ABC的周长为2++4=6+.
二、综合应用（20分）
5.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，△ABC的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1cm）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA==，AB+AC+BC=45cm，
∴AC=45×=(cm),sinA=.
∴CD=ACsinA=×≈6.9(cm).
三、拓展延伸（10分）
6.(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，求AD的长.
解：在Rt△BCD中,BC=AC=6,tan∠DBC=,
∴CD=BCtan∠DBC=6×=.
∴AD=AC-CD=6-=.
延伸阅读
九年级数学下1.3解直角三角形（新浙教版）
1.3解直角三角形
教学目标：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点和难点：
重点：直角三角形的解法．
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、引入
1、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a吗？
变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
在例题中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.
二、新课
1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
问：在三角形中共有几个元素？
问：直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
(3)边角之间关系
2、例1：如图1—16，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，AB=3。求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）
3、练习1:P161、2
4、例2：（引入题中）已知平顶屋面的宽度L为10m，坡顶的设计高度h为3.5m，（或设计倾角a）（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
5、练:如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
说明：本题是已知一边,一锐角.
6、温馨提示：
▲在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，
本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
▲解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角
（两个已知元素中至少有一条边）
7、你会求吗？
课本P17作业题
三、小结：
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
四、布置作业：课课通
九年级数学下册《解直角三角形》复习学案
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家开始动笔写自己的教案课件了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了，这样接下来工作才会更上一层楼！你们了解多少教案课件范文呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《九年级数学下册《解直角三角形》复习学案》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
九年级数学下册《解直角三角形》复习学案
课题解直角三角形（复习一）
课前发下学案，学生先熟悉学习目标、自主整理
学习目标:1、进一步理解锐角三角函数的概念。
2、会进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3、能运用直角三角形的边角关系，解决有关实际问题。
4、学会利用数形结合的思想分析、解决问题。
学习重点:锐角三角函数概念、勾股定理及直角三角形的解法。
学习难点:锐角三角函数之间的关系与解直角三角形的实际应用学习过程；一、常考点清单
1、锐角三角函数概念A
（1）边的关系_______（2）角的关
（3）边角关系:如图在RtABC中，∠C=90°CB
sinA=_______=cosA_______=tanA=_______=
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的_______
2、（1）特殊锐角的三角函数值
sina
cosa
tana
30°
45°
60°
（2）特殊锐角三角函数之间的关系：互余关系_________平方关系________相除关系______
俯角
视线
视线
水平线
仰角
（3）当角度在0°～90°之间变化时，正弦值、正切值随角度增大而_______；余弦值随着角度的增大而_______。（4）锐角三角函数的取值范围sinA_______cosa_______tana______
3、直角三角形边角关系的实际应用（1）视线与水平线方向的夹角中，
L
h
视线在水平_______的角叫做仰角，视线在水平线____的角叫做俯角。（2）如图，把_______与____的夹角叫做坡角
（如右图中的∠a）。坡面的_______与_______的比
叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为i=_______设计思路：通过自主整理，让学生对直角三角形的边与边，边与角，边与角之间的关系做系统复习，使其更熟悉的掌握这些关系。为解决实际问题打下坚实的基础。此环节由中等以下的学生展示，增加其表现机会，提高学习数学的信心。
二、考点解析考点1、锐角三角形函数的定义
1、RtABC中，∠C=90°AB=10，sinA=，则tanA=_______
斜边上的高等于_______
2、如图，在高度是21米的小山A处
测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，
底部D处的俯角为45°，则这个
建筑物的高度CD=______米（结果可保留根号）3、AE、CF是锐角ABC的两条高，
若AECF=32，则sinAsinC=_______
考点2、特殊锐角的三角函数值1、sin30°+2sin60°+tan45°—tan60°+cos30°=_______
2、已知a是锐角，且sin（a+15°）=
则—4cosa-（π-3.14）°+（）的值等于_______
3、如图，是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).
考点3，与锐角三角函数相关的计算1、等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
若tan∠DBA=，求AD的长.
2、如图，在RtABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，
BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=
（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．
考点4、实际应用
如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，
AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
设计思路：此环节采取学生课前先做，课上先小组对照答案、讨论思路、推举代表展示、老师解惑答疑、引导规律、方法总结的方式进行。充分体现学生自主学习的理念。
三、课堂达标：
1、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，
若将ABC绕着点A逆时针旋转
得到AC′B′，则tanB′的值为
2、如果方程x-4x+3=0的两个根分别是RtABC的两条边，ABC中最小的角为A，那么tanA的值为__
3、ABC中，若|sinA—|+（—cosB）
2
=0
∠A、∠B都是锐角，则∠C=___4、在RtABC中，∠C=90°已知c=8，∠A=60°求∠B、a、b5、已知有一山坡水平方向前进了40米，就升高了20米，那么山坡的坡度是（）
A.1：2B.2：1C.1：D.：1
设计思路：此环节采取学生限时做、对答案、统计答题情况、小组内消化、老师解疑答惑的方式进行。学生会做的不讲、小组内能消化的不讲。使学生体验成功的快乐，并从中提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。
四、课堂小结：通过本节课的学习你的收获有________仍然存在的疑惑有_______设计思路：通过学生自己谈收获、说疑惑的总结，有效回扣目标，培养学生分析、梳理习惯，概括、总结的能力
中考数学解直角三角形复习
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在用心的考虑自己的教案课件。教案课件工作计划写好了之后，这样接下来工作才会更上一层楼！有没有好的范文是适合教案课件？小编特地为大家精心收集和整理了“中考数学解直角三角形复习”，仅供您在工作和学习中参考。
初三第一轮复习第34课时：解直角三角形
【知识梳理】
1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余；(2)边的关系:勾股定理；(3)边角关系:锐角三角函数
2.解直角三角形的基本类型及解法：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．
3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决
【课前预习】
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量：
abc∠A∠B
630°
1045°
2、如图所示，在△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB=.
变式：若已知AB，如何求AC？
3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，则大楼高约m.
（精确到1m，）
4、如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3米，路基高为4米，
则坡角=°，腰AD=,路基的下底CD=．
5、如图所示，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地m.
【解题指导】
例1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB.
（1）求tanB；（2）若DE=1，求CE的长.
例2如图34-4所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.
（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若新楼的影子刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据：）
例3某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图34-6所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比，求树高AB.（结果保留整数，参考数据）
例4一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.
【巩固练习】
1、某坡面的坡度为1:，则坡角是_______度．
2、已知一斜坡的坡度为1:4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为．
3、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于．
4、菱形在平面直角坐标系中的位置如图2所示,,则点的坐标为．
5、如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为.
6、如图,一巡逻艇航行至海面处时,得知其正北方向上处一渔船发生故障.已知港口处在处的北偏西方向上,距处20海里;处在A处的北偏东方向上,求之间的距离(结果精确到0.1海里)
【课后作业】班级姓名
一、必做题：
1、如图4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为cm.
2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为米,则这个坡面的坡度为__________.
3、已知如图5,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为_____.
4、如图6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为.
5、如图7所示，在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）
(A)(B)(C)(D)
6、如图8，小明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，米，则岛B到公路l的距离为（）米．
(A)25(B)(C)(D)
7、如图9所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．
(A)30海里(B)40海里(C)50海里(D)60海里
8、如图10，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）
(A)(B)(C)(D)
9、如图11，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
10、如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.(1)求半径OD；(2)根据需要,水面要以每小时0.5m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？
11、如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：，）
12、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
二、选做题：
13、如图,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动,距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.⑴B处是否会受到台风的影响？请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货物？
14、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
