九年级数学《相似三角形的判定程》教学反思。

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九年级数学《相似三角形的判定》教学反思

相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而“相似三角形判定定理一”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在，“难”的不是定理的本身，而是要跟以前学过的“角的等量关系”证明联系紧密，综合性比较强，因此对定理的运用也带来的障碍。“相似三角形判定定理一”应用的一个方面，这是根据对最近几年中考、各区县模拟考的压轴题的研究，发现全等三角形证明当中，我们可以找到“一条直线上有三个相等的角”这样的条件原型，所以在这节课就是基于这样的原型，选择了相关内容，试图从一个侧面突破这章教学的难点。

通过建立数学模型，引导学生使用化归思想。要让学生善于学习，促进他们通法的掌握是重要途径之一。化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老经验。因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。并把它上升为一种理论，指导其他问题的解决。二是采用探究条件的转化，使问题表象发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。

为突破重点，分解难点，我选择题分组教学的方式，让学生对一类例题求解，然后引导学生归纳他们的共同特征，建构起他们的知识结构：一条直线上有三个角相等，就能证明左右两个三角形相似，还能得到一个有用的等积式。让学生体验与感悟演绎与归纳的数学思想。例一通过等边三角形翻折问题，是引入教学，例二通过矩形中直角的翻折，再次引发学生的认知冲突，诱发他们思考两道题是同类型的，联系紧密，区别只是三个等角的度数不相同，他们可能会猜测：这种相似关系与角的度数无关。所以再次设计例三、例四，分别是三个相等的锐角、相等的钝角，再次验证刚才的猜想。这时再让学生总结规律，探讨有用的小结论，让他们起名等活动，充分认识与理解建构出来的数学模型，最后通过例5，让学生体验化归思想，让他们在复杂图形的分析中，把条件转化，向已经熟练掌握的知识转移，从而使问题得以解决。

在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。

教学的方式过于单一，学生的参与面较低。主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。

教学内容还有待于进一步改进。尽管这是一堂题分组教学的实践课，也较好地完成了教学目标。但站在更高的角度来思考，反映出我还有些急燥，应该把这个题型至少要细分为基本图形的形成、基本图形的巩固、基本图形的拓展应用三个层次，用2-3课时的时间逐步推进教学，效果可能会更好。

延伸阅读

相似三角形的判定1

相似三角形的判定（一）
教学目标：1．使学生在经历探究相似三角形判定方法的过程中，初步掌握相似三角形的判定定理，理解定理的证明方法，初步会运用定理来解决有关问题.
2．培养学生运用类比联想，猜想命题，再加以证明的研究问题的方法以及化归的思想.
3．通过观察、猜想、归纳、探究等数学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、会学，同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.
教学重点和难点：
重点：相似三角形的判定定理的理解和初步应用；
难点：相似三角形的判定定理的证明.
教学方法：自主探究与小组合作相结合

教学过程设计
一、创设情境，提出问题
请学生出示课前按要求剪好的三角形，教师利
用已知三角形模板验证两个三角形是否全等的同时
请学生回答他裁剪方法的理论依据，借此复习全等三角形的判定方法.
1．SAS；2．ASA；3．AAS；4．SSS。
在此基础上教师要求学生动手剪一个三角形与已知三角形相似.
学生可能马上利用平行线截一个三角形，教师要求学生说出这种裁剪方法的依据——预备定理.在肯定答案的同时提出，那么如何判断三角形相似呢？目前你掌握的方法有哪些？1．相似三角形的预备定理；2．定义教师提出：判定两三角形相似时，定义的条件过多，预备定理的使用要求具有局限性，那么是否还有其它的判定方法呢？本节课我们继续研究：相似三角形的判定（二）.你认为我们可以从哪儿入手研究呢？引导学生类比全等三角形的判定方法进行猜想.
学生类比联想，自主探究猜想相似三角形的判定方法：
1．利用投影展示一般三角形全等的判定定理
（1）ASA：
若∠A=∠A’,∠B=∠B’,，
则有△ABC≌△A’B’C’
（2）AAS：
若∠A=∠A’,∠B=∠B’,,则有△ABC≌△A’B’C’
3）SAS：
若,∠A=∠A’,则有△ABC≌△A’B’C’
4）SSS：
若，则有△ABC≌△A’B’C’
2．猜想相似三角形的判定方法
引导学生利用相似三角形与全等三角形的区别与联系，把上述全等三角形判定定理中比值为1改成比值为正数“k”，就可得到相似三角形的判定方法，得到猜想.
猜想一（类比角边角公理和角角边定理）
△ABC与△A’B’C’中，若∠A=∠A’,∠B=∠B’，则△ABC∽△A’B’C’.
猜想二（类比边角边公理）
△ABC与△A’B’C’中，若,∠A=∠A’,则有△ABC∽△A’B’C’.
猜想三（类比边边边公理）换元
△ABC与△A’B’C’中，若，则有△ABC∽△A’B’C’.
二、小组合作，探究新知
得到猜想后学生分组动手实践，进一步探究猜想的正确性。合作探究后，以猜想1为例分析证明思路.
猜想1．两角对应相等，两三角形相似。
已知：△ABC与△A’B’C’中，
∠A＝∠A’，∠B＝∠B’。
求证：△ABC∽△A’B’C’。
启发学生结合刚才的动手实践思考，若平移△A’B’C’得到△ADE，则可转化为预备定理的形式.如何实现平移是关键，在此可让学生集思广益阐述观点.
方法之一：由∠A=∠A’,∠B=∠B’，能实现上述平移.
证明法一：在AB上截取AD＝A’B’，且过点D作DE∥BC交AC于E.
∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠B’
∴∠B’＝∠ADE
又∵∠A＝∠A’，AD＝A’B’
∴△ADE≌△A’B’C’（ASA）
又∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，∴△ABC∽△A’B’C’
法二：截取AD＝A’B’且作∠ADE＝∠B’交AC于E.
证法：略
师生共同总结实现上述化归的思路：
（1）利用添加辅助线的方法将问题化归为相似三角形的预备定理（图中，DE∥BC则△ADE∽△ABC）.
（2）利用平移变换将证明三角形相似转化为证明三角形全等（图中△ADE≌△A’B’C’）.
利用上述思路，证明猜想，得到判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简记：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理2，3的证明过程由学生仿照定理1的证明完成.请二人上黑板板演.
猜想证明完毕，让学生观察、对比三个定理的证明方法，在证明过程中是否有共性？证法的本质是什么？让学生深入思考，感受三个判定定理的证法本质是一样的，即：将相似三角形的判定利用平移的方法，化归为预备定理的形式，最终转化为判断两个三角形全等，区别就在于全等的证明方法不同.
请学生分别说出三个定理的推理形式且提出：如果不是“夹角”，结论是否仍然成立，请学生分析并举出反例.
在△ABC与△A’B’C’中，
已知∠B＝∠B’，
但△ABC不相似于△A’B’C’

三、实战演练，巩固新知
例在△ABC和△DEF中，
∠A=40,∠B=80,∠E=80,∠F=60.
求证：△ABC∽△DEF.
思考题：
如图，已知，在△ADC和△ACB中,
∠A=∠A,请你添加一个条件,
使△ADC∽△ACB。

四、复习小结，归纳新知
师生共同回忆并总结：
今天你有什么收获？
新知的获得采用了什么方法？——类比、转化
你还有困难与困惑吗？
教师根据学生的回答总结类比学习方法及转化思想的重要意义.

五、作业
整理课上定理证明.

六、板书设计：

相似三角形的判定2

课题：相似三角形的判定
教学目标
知识与技能目标：
初步掌握运用两角对应相等的方法来判定两个三角形相似；
过程与方法目标：
1、经历三角形相似判定的探索过程，体会类比三角形全等的方法来进行三角形相似的探究的过程，从而体会研究问题的方法；
2、能利用添加辅助线将三角形相似判定定理的图形转化为预备定理的基本图形。
情感与态度目标：
1.在三角形相似判定的探究过程中，培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神.
2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验.
教学重点：探究运用两角对应相等的方法来判定两个三角形相似，并能简单运用.
教学难点：三角形相似判定方法的证明。.
教学方法:采用学生自主探索和合作学习的教学方法；
教学手段：采用多媒体辅助教学。
教学过程：
教师活动学生活动设计意图
一、复习引入：
1、两个三角形相似的定义：
2、我们已经学过的三角形相似的判定方法及各自的适用的范围：（定义及预备定理）
若使用预备定理，我们发现需要存在平行线截三角形两边的基本图形，而对于任意的两个三角形，我们只能运用定义去判定，我们需准备对应角相等，且对应边成比例，那么是否存在识别三角形相似的简单方法呢？
3、回忆并叙述三角形全等判定定理的探究过程。（由一个条件到多个条件，逐个按边、角及其组合的顺序去寻找）。
二、新课探究、巩固新知：
本节课，我们将类比三角形全等的探究方法来进行三角形相似判定的探究：
教师给出题目：

（1）在上面的网格中，已知△ABC，至少需要保证几个角对应相等才能确定出△DEF，使得△ABC∽△DEF；
（2）利用网格自己作出图形，并用刻度尺和量角器验证作出的图形与原图形相似；
（3）小组选派代表准备展示本组的成果：图形与判定三角形相似的猜想。

教师结合学生汇报的结果点评，并适时引导学生小结猜想：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

教师适时引导：借助辅助线将两个独立的三角形构造出预备定理的基本图形即可（强调作辅助线思想：平移小三角形到大三角形内部，但语言叙述应为：作线段或角等）。

教师板书判定定理1的符号语言：
在△ABC和△DEF中，
∵∠A=∠A`；∠B=∠B`（已知）
∴△ABC∽△DEF（两角对应相等的两三角形相似）

教师引导学生与三角形全等进行类比：
1、判定三角形全等的方法有ASA、AAS、SAS，至少有一组边相等；而判定相似只需两角对应相等即可。
2、证明三角形全等需要准备3个条件，而证明三角形相似需要2个条件即可。

例1、判断正误，并说明理由：
（1）任意等边三角形是相似三角形；
（2）有一角对应相等的两等腰三角形是相似三角形；
（3）顶角对应相等的两等腰三角形是相似三角形；
（4）任意直角三角形都相似；
（5）有一锐角对应相等的两直角三角形相似。
练习1：独立编写出一个能运用判定定理1来判断两三角形是否相似的题目，并与同学进行交流。
练习2：（1）如图：E是平行四边形ABCD的一边BA延长线上一点，CE交AD于点F，请找出图中的相似三角形，并说明理由：

（2）在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，请找出图中相似的三角形，并说明理由。
教师巡视，并辅导重点学生。
解答完题目后，教师适时引导学生小结基本图形。
例2、已知△ABC和△DEF均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并说明理由。
教师适时点拨：由△DBE的角的特点入手，先由特殊角600作为突破口，通过观察确定方向（寻找另外的一组角相等即可），再去证明。
教师引导学生小结例2的证明思路：当存在一组角相等时，我们需寻找另外一组角相等，从而证明三角形相似。
三、小结提升：
谈谈自己的收获：
1、知识点方面：判定三角形相似的判定方法（定义、预备定理、定理1）；
基本图形：双垂直；A字型、八字型。
2、学习方法：类比旧知识学习新知识。回忆知识点；

结合教师给出的探究题目学生小组合作，大胆进行
尝试。

派学生代表展示讨论结果；

结合图形，学生口述该命题的已知与求证，并思考命题的证明过程。

学生在教师的引导下口述证明过程。

思考：运用角的条件判定全等与相似的区别。

学生独立思考并作答。

学生自编题目练习：三角形相似的判定定理1。
学生独立解决后，组内交流。

体会双垂直的基本图形，小结结论。

独立分析此题目，大胆尝试此证明过程。

学生回忆本节课教学内容，归纳提升。培养学生及时小结知识点的学习方法

激发学生探究的欲望；

为探究相似铺垫思路。

培养学生探究能力与归纳能力。

运用网格既可以准确作出图形，又可以为后面两个判定打好基础。

由于证明过程对学生有一定难度，所以在学生展示完自己的猜想后，教师引导学生进行证明。

渗透转化的意识。

加强对学生学法的训练；
要求：正确的题目需结合定理1简单叙述理由，错误的题目需举出反例

加强对判定定理1的巩固。

自编题目，激发学习兴趣。

结合图形巩固判定定理1

对于比例线段的结论由学生课下完成。
总结基本图形为学生解决较复杂题目打基础。

学生自己小结本节课的知识要点及数学方法以提高学生的学习能力。

板书设计：
课题：
（投影）判定方法：（文字语言、图形语言）例2、

作业：
1、课前引例中（在网格中作出与原三角形相似的三角形），除了可以借助两组角对应相等，你还有别的办法得到与原三角形相似的三角形吗？类比本节课知识进行探究；
2、总结双垂直基本图形的所有结论：边（对应成比例）、角（对应相等）。
课后反思：

九年级数学相似三角形

相似三角形专题复习

【课前热身】

1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．

2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．

3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（）

A．B．

C．D．

4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．

如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）A．1B．2C．3D．4

【考点链接】

一、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

二、相似三角形的判定方法

1.若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2.射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=______．

3.两个角对应相等的两个三角形__________．

4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

5.三边对应成比例的两个三角形___________．

三、相似三角形的性质

1.相似三角形的对应边_________，对应角________．

2.相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

3.相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．

【典例精析】

例1如图在△ABC中，AB=ACAD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP=PEPF

例2如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

例3如图,△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB＝0，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动。若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间△CPQ与△CBA相似？

例4如图，直线y=分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9

①求点P的坐标；

②设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。

【中考演练】

1.2010，宁德）图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

（2010，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为______米.

2.（2010，黔东南）如图，若为斜边上的高，的面积与的面积比的值是（）

A.B.C.D.

3.（2010，宁夏）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是_________________．（只填序号）

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

4．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．

5.（2010，肇庆）如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；

(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．