二次根式的运算。
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第七讲二次根式的运算
式子(≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．
(1)(≥0)；
(2)()；
(3)()；
(4)(0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．
例题求解
【例1】已知，则=．
(重庆市竞赛题)
思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注：二次根式有如下重要性质：
(1)，说明了与、一样都是非负数；
(2)(0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；
(3)，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
【例2】化简，所得的结果为（）
A．B．C．D．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
．
思路点拨若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．
【例4】(1)化简；(北京市竞赛题)
(2)计算(“希望杯”邀请赛试题)
(3)计算．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨（1）把4+2万与4—2分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2与4—2是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
【例5】已知，求的值．
(山东省竞赛题)
思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练
1．如果，那么=．
(四川省竞赛题)
2．已知，那么的值为．(成都市中考题)
3．计算=．(天津市选拔赛试题)
4．若ab≠0，则等式飞成立的条件是．(淄博市中考题)
5．如果式子化简的结果为，则x的取值范围是()
A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x0(徐州市中考题)
6．如果式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）
A．B．C．D．
7．已知，则的值为()
A．B．C．D．
8．已知，那么的值等于（）
A．B．C．D．3
9．计算：
(1)；
（2）；(北京市数学竞赛题)
（3）；
（4）
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
(2)设，，n为自然数，如果成立，求n．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据：，)(贵阳市中考题)
12．已知，，那么=．(T1杯全国初中数学联赛题)
13．若有理数x、y、z满足，则=．
(北京市竞赛题)
14．设，其中a为正整数，b在0，1之间，则=．
15．正数m、n满足，则=．
(北京市竞赛题)
16．化简等于()
A．5—4B．4一1C．5D．－1(全国初中数学联赛题)
17．若，则等于()
AB．C．1D．－1
(2004年武汉市选拔赛试题)
18．若都是有理数，那么和面()
A．都是有理数B．一个是有理数，另一个是无理数
C．都是无理数D．有理数还是无理数不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；
②若α，β是互不相等的无理数，则是无理数；
③若α，β是互不相等的无理数，则是无理数．
其中正确命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3(全国初中数学联赛试题)
20．计算：
（1）；（“希望杯”竞赛题）
（2）；（山东省竞赛题）
（3）；（四川省选拔赛题）
(4)；
(5)．(新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证；
(2)计算．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
22．(1)定义，求的值；
(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值．
(上海市竞赛题)
23．试将实数改写成三个正整数的算术根之和．
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
24．求比大的最小整数．(西安交通大学少年班入学试题)
精选阅读
二次根式
第十八章二次根式
一、填空题(每题2分，共28分)
1.4的平方根是_____________.
2.的平方根是_____________.
7．在实数范围内分解因式：a4-4=____________.
二、选择题(每题4分，共20分)
15．下列说法正确的是().
(A)x≥1(B)x＞1且x≠-2
(C)x≠-2(D)x≥1且x≠-2
(A)2x-4(B)-2(C)4-2x(D)2
三、计算题(各小题6分，共30分)
四、化简求值(各小题5分，共10分)
五、解答题(各小题8分，共24分)
29.有一块面积为(2a+b)2π的图形木板，挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a-b)2π，问所挖去的圆的半径多少？
30.已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱，请问这个圆柱底圆的半径是多少(保留3个有效数字)？
参考答案
1．±2
2.±2
3.–ab
4.–2
5.0或4
6.m≥1
12.-x-y
13.x≤4
14.
15.B16.A17.D18.A19.A20.D
23.24
30.0.900
二次根式的加减
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21.3二次根式的加减(1)
第一课时
教学内容
二次根式的加减
教学目标
理解和掌握二次根式加减的方法．
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
教学过程
一、复习引入
学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3
教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
二、探索新知
学生活动：计算下列各式．
（1）2+3（2）2-3+5
（3）+2+3（4）3-2+
老师点评：
（1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？
2+3=（2+3）=5
（2）把当成y；
2-3+5=（2-3+5）=4=8
（3）把当成z；
+2+
=2+2+3=（1+2+3）=6
（4）看为x，看为y．
3-2+
=（3-2）+
=+
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．
（板书）3+=3+2=5
3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算
（1）+（2）+
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．计算
（1）3-9+3
（2）（+）+（-）
解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15
（2）（+）+（-）=++-
=4+2+2-=6+
三、巩固练习
教材P19练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0
∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2=0
∴x=，y=3
原式=+y2-x2+5x
=2x+-x+5
=x+6
当x=，y=3时，
原式=×+6=+3
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
六、布置作业
1．教材P21习题21．31、2、3、5．
2．选作课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
第一课时作业设计
一、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．
A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
三、综合提高题
1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）
2．先化简，再求值．
（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．
答案:
一、1．C2．A
二、1．2．6-2
三、1．原式=4---=≈×2.236≈0.45
2．原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-，
当x=，y=27时，原式=-=-
21.3二次根式的加减(2)
第二课时
教学内容
利用二次根式化简的数学思想解应用题．
教学目标
通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
重难点关键
讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
教学过程
一、复习引入
上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．
解：设x后△PBQ的面积为35平方厘米．
则有PB=x，BQ=2x
依题意，得：x2x=35
x2=35
x=
所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
PQ==5
答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．
例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．
解：由勾股定理，得
AB==2
BC==
所需钢材长度为
AB+BC+AC+BD
=2++5+2
=3+7
≈3×2.24+7≈13.7（m）
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．
三、巩固练习
教材P19练习3
四、应用拓展
例3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
==|b|
由题意得
∴
∴a=1，b=1
五、归纳小结
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P21习题21．37．
2．选用课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
作业设计
一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（结果用最简二次根式）
A．5B．C．2D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）
A．13B．C．10D．5
二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题
1．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2
反之，3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2
∴=-1
求：（1）；
（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
答案:
一、1．A2．C
二、1．202．2+2
三、1．依题意，得，，
所以或或或
2．（1）==+1
（2）==+1
（3）==-1
（4）理由：两边平方得a±2=m+n±2
所以
21.3二次根式的加减(3)
第三课时
教学内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
重难点关键
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算:
（1）（+）×（2）（4-3）÷2
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）（+）×=×+×
=+=3+2
解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2
=2-
例2．计算
（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1）（+6）（3-）
=3-（）2+18-6
=13-3
（2）（+）（-）=（）2-（）2
=10-7=3
三、巩固练习
课本P20练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式=+
=+
=（x+1）+x-2+x+2
=4x+2
∵=2-
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、布置作业
1．教材P21习题21．31、8、9．
2．选用课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
作业设计
一、选择题
1．（-3+2）×的值是（）．
A．-3B．3-
C．2-D．-
2．计算（+）（-）的值是（）．
A．2B．3C．4D．1[
二、填空题
1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
三、综合提高题
1．化简
2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）
课外知识
1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．
A．与B．与
C．与D．与
2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．
练习：+的有理化因式是________；
x-的有理化因式是_________．
--的有理化因式是_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：把下列各式的分母有理化
（1）；（2）；（3）；（4）．
4．其它材料：如果n是任意正整数，那么=n
理由：==n
练习：填空=_______；=________；=_______．
答案:
一、1．A2．D
二、1．1-2．4-243．24．4
三、1．原式＝
==[
=-（-）=-
2．原式＝
===2（2x+1）
∵x==+1原式＝2（2+3）=4+6.
二次根式的乘除
老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，接下来的工作才会更顺利！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？下面是小编为大家整理的“二次根式的乘除”，希望能对您有所帮助，请收藏。
§3.2.2二次根式的乘除⑵（九年级下数学304）——研究课
主备：李维明班级________姓名____________
一.学习目标：
1．经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则；
2．能运用法则ab＝ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算；
3．理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简和计算．
二．学习重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究．
学习难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用．
三．教学过程
知识准备
1．二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质是什么?
2．计算：
⑴615⑵1224⑶a3ab(a≥0，b≥0)⑷a5＋2a3b2＋ab4
★规律探究
计算：
⑴425＝，425＝；⑵916＝，916＝；
⑶49100，49100＝；⑷2252＝，2252＝.
观察：上面的式子，你能得到什么样的的结论呢？用字母把规律表示出来：
概括：二次根式相除，.
尝试练习：
⑴123⑵567⑶27÷3⑷123÷13
⑸726⑹243⑺54÷6⑻213÷79
思考：你还有其它的方法来解决上面的问题吗？
由ab＝ab(a≥0，b＞0)反过来可得：.
利用这个等式可以化简一些二次根式.
尝试练习：
⑴1625⑵179⑶316⑷4b29a2(a＞0，b≥0)
⑸49⑹2－29⑺25y436x2(x＞0)⑻3a2－2a＋1(a＜1)
例题解析
1.若xx－2＝xx－2成立，则x的取值范围是.
2.计算：
⑴5×21105⑵3a36b32ab(a＞0，b＞0)⑶45÷(－5145)⑷ab÷ab1ab(a、b＞0)
★3.把x－1x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是.
①已知xy＞0，化简二次根式x－yx2的正确结果是
②把(a－1)11－a根号外的因式移入根号内，其结果是
归纳小结：
课内反馈：
1.计算：
⑴6015⑵728⑶18÷6⑷223÷113
2.化简：
⑴4925⑵359⑶34⑷9a2b216c2(a≥0，b≥0，c＞0)
课外延伸
1.下列计算中正确的是（）
A．59＝53B．4125＝215C．223÷13＝2D．18÷2＝3
2.下列各式中，成立的是（）
A．(－2)2×3＝－23B．x2＋y2＝x＋y
C．ab＝abD．当x≤2x且x≠－1时，2－xx＋1有意义
3.如果一个三角形的面积为12，一边长为3，那么这边上的高为.
4.如果1－xx－2＝1－xx－2成立，则x的取值范围是.
5.计算：2×63－1＝.
6.计算：313÷(25213)×(4125)
7.计算或化简（题中字母均表示正数）：
⑴6024⑵2412÷214⑶210÷35
⑷3a÷(－3a)⑸b3c5a4⑹1a2－1b2(b＞a＞0)
8.先化简x＋2x－2÷xx3－2x2，然后再选择一个你喜欢的x值，代入求值.
错题整理：
