四年级数学《多边形面积》知识要点。

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四年级数学《多边形面积》知识要点

第二单元多边形面积知识要点

1、长方形面积=长×宽字母公式：s=ab

长方形周长=(长＋宽)×2字母公式：c=(a＋b)×2

（长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长）

★长方形中面积、周长与长和宽之间的变化关系：

（1）长方形的长加宽等于长方形周长的一半。即a+b=c÷2

（2）当长方形的周长不变时，长与宽的差越大，这个长方形的面积就越小；反之，长与宽的差越小，这个长方形的面积就越大。

（3）当长方形的面积不变时，长与宽的差越大，这个长方形的周长就越长；长与宽的差越小，这个长方形的周长就越短。

（4）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。

2、正方形面积=边长×边长字母公式：s=a?或者s=a×a

正方形周长=边长×4字母公式：c=4a或者c=a×4

3、平行四边形面积=底×高字母公式：s=ah

★平行四边形面积公式的推导过程：剪拼、平移

沿着平行四边形的任意一条高剪开，将其一部分平移与另一部分正好拼成一个长方形，这个长方形的长就是平行四边形的底，这个长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。

★等底等高的平行四边形面积相等。

4、三角形面积=底×高÷2字母公式：s=ah÷2

（底=面积×2÷高；高=面积×2÷底）

★三角形面积公式的推导过程：旋转、平移

将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底就是三角形的底，拼成的平行四边形的高就是三角形的高，拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。一个三角形的面积是这个平行四边形的面积一半。因为平行四边形的面积等于底×高，所以三角形的面积等于底×高÷2。用字母表示S=a×h÷2。

★等底等高的三角形面积相等。

★等底等高的三角形和平行四边形面积关系：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。

5、梯形面积=(上底＋下底)×高÷2字母公式：s=(a＋b)×h÷2

（上底=面积×2÷高－下底；下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底））

梯形面积公式的推导过程：旋转、平移

将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，拼成的平行四边形的面积是每个梯形面积的2倍，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2用字母表示S=（a＋b）×h÷2.

6、计算圆木、钢管等的根数：(顶层根数+底层根数)×层数÷2

7、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。

8、有关规律：

★在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。

★用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积变小了，因为底不变，高变小了；如果将平行四边形框架拉成一个长方形，则他们的周长不变，面积变大了。

★1三角形和平行四边形面积相等时，若高相等，则三角形的底是平行四边形的2倍，平行四边形的底是三角形的一半。

★2三角形和平行四边形的面积相等时，若底相等，则三角形的高是平行四边形的2倍，平行四边形的高是三角形的一半。

★3三角形和平行四边形等底等高时，则三角形的面积是平行四边形的一半，平行四边形的面积是三角形的2倍。

★在直角三角形中，斜边最长。

精选阅读

多边形

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7．3多边形及其内角和
7．3．1多边形
[教学目标]
1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．
2．区别凸多边形与凹多边形．
[教学重点、难点]
1．重点：
（1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念．
（2）区别凸多边形和凹多边形．
2．难点：
多边形定义的准确理解．
[教学过程]
一、新课讲授
投影：图形见课本P84图7．3一l．
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？
上面三图中让同学边看、边议．
在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？
（1）它们在同一平面内．
（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？
提问：三角形的定义．
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？
1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）
2．多边形的边、顶点、内角和外角．
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
让学生画出五边形的所有对角线．
4．凸多边形与凹多边形
看投影：图形见课本P85．7．3—6．
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．
5．正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
二、课堂练习
课本P86练习1．2．
三、课堂小结
引导学生总结本节课的相关概念．
四、课后作业
课本P90第1题．
备用题：
一、判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（）
2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（）
3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（）
4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（）
二、填空题．
1．连接多边形的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的任何所在的直线，整个多边形都在这条直线的，这样的多边形叫凸多边形．
3．各个角，各条边的多边形，叫正多边形．
三、解答题．
1．画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．
2．如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
3．如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
4．如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？

九年级数学《相似多边形》教案分析

九年级数学《相似多边形》教案分析

学习目标的表述：

1．学生通过图形的收集、观察、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用自己的语言叙述出来。

2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。
设置的依据：
1.《课程标准》的要求
通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
2.教材分析
本节课内容是在学生学习了“全等图形”、“成比例线段”等知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，是今后学习相似三角形内容的基础。
3.学情分析
本课时的教学内容是相似多边形，而在这之前学生已学习了全等图形，对全等图形的慨念及性质已有所了解，同时在本章前几课中，又学习了成比例线段等的有关知识，初步对相似图形有了较为清晰地认识，具备了学习相似多边形的基本技能和方法。
评价任务的设计：
1.直接运用相似多边形概念完成自主检测一。（目标1）
2.灵活运用相似多边形概念完成自主检测二。（目标2）
设计意图：
本节课的重点是理解相似多边形的概念，掌握定义中的两个条件，难点是利用定义判断两个多边形是否相似.也是贯穿于本节的一条主线，评价也要突出这一主线。在活动中注重学生类比能力，想象能力，观察能力，计算能力的合理评价，对能主动参与合作交流、积极操作、勇于发言、善于创新的行为给予及时的评价和鼓励。
教学设计
学习
目标
学习活动
评价标准
教师活动
目标达成情况
反思与
评价

目标1.学生通过收集图片观察、思考，类比全等图形的概念，通过比较，用自己的语言叙述出相似多边形及相似比的概念。
在数学问题中运用相似多边形的概念。
活动展示引入新课
活动内容：展示课前收集的图片
通过观察小组代表展示所收集的图片，找出每组图片的相同点和不同点。
由以上活动引入课题《相似多边形》
会准确描述出形状相同图形的相同点和不同点
小组代表展示所收集的图片的同时，教师从审美角度对学生收集的图片给予评价，对积极参与的学生适时提出表扬。同时也用动作提醒大家思考问题。

自主学习
1.仔细阅读课本86页内容，通过观察、测量得出形状相同图形的对应角的关系、对应边的关系。
2.类比全等图形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。
教师展示课件（播放动画）
《相似多边形》基于标准的教学设计《相似多边形》基于标准的教学设计
通过前面的展示和播放两个五边形的对应内角相等及图形的放大缩小动画，提出问题：
(1)在上图两个多边形中,你认为有相等的内角吗?如果有，请你把他一一表示出来？
(2)在上图两个多边形中,你认为相等内角的两边是否成比例?如果有，请你把他一一表示出来？
（3）在上述两问题中，你如何描述这些你所列的角和边的关系？

1.通过自主学习能总结出相似多边形及相似比的概念
2.会用自己的语言叙述相似多边形及相似比的概念

3.学生能用数学语言表述两个多边形相似，并能用符号语言规范书写。
学生自主学习时，对自学有问题的学生要及时点拨。
学生回答时，教师要仔细聆听并点拨及总结（从边角的角度分析得出对应角、对应边的关系---为新课的学习做铺垫）类比思想，探索解决问题的方法
自学结束后检验学生们的自学成果。
1.学生回答图中是否有相等的内角时，注意引导学生说明验证猜想的方法（可用测量、叠合等方法，只要有道理，教师都要给予肯定和鼓励）。
2.学生回答相等内角的两边之间的关系时，注意引导学生说明验证方法（可用测量计算等方法，只要有道理，教师都要给予肯定和鼓励）。
3.学生在回答以上问题的基础上，给出对应角对应边的定义，从而得出相似多边形的定义，随机给出相似的表示方法及相似比的概念。（强调：1.对应顶点的字母要写在对应位置。2.相似比是对应边之比）
结论：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形相似。相似多边形对应边之比叫做相似比
自主检测一
判断下列说法是否正确
1、任意两个等边三角形相似
2、任意两个等腰三角形相似
3、任意两个正方形相似
4、任意两个矩形相似
5、任意两个菱形相似
6、任意两个正n边形相似
7、任意两个n边形相似
8、全等的两个多边形一定相似，相似比是1.
9、相似的两个多边形一定全等。

学生正确完成自主检测一
教师组织学生积极抢答并要求说出理由

目标2：能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。
合作交流（课本87页做一做）
小组合作探究87页做一做加深学生对相似概念的理解
1.一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
2.五边形ABCDE五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI=5cm，FJ=4cm，
∠A=120°，∠H=90°
求：（1）相似比等于多少?
（2）FG，IJ，BC，AE，∠F，∠C
《相似多边形》基于标准的教学设计
1.通过交流学生能正确回答出这个问题
2.能运用概念和计算方法判断出两个矩形是否相似.
3.能用相似多边形的性质解决边角问题
让学生先判断，再分组讨论，通过计算验证自己的判断
学生合作交流时教师在教室里四处巡视，参与个别组的讨论并及时指导。
学生展示这个问题时要依据相似多边形的概念解决问题是关键点。
这是一个容易出错的问题，因为人们往往会凭直观去判断这两个矩形形状相同，通过实例使学生初步认识到：直观有时是不可靠的。
教师提示：
相似多边形的定义既可以作为性质也可以作为判定，因此在判定两个多边形相似时必须同时符合定义的对应角相等对应边成比例的条件。

目标检测二
1.五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1:3，（1）若∠D＝135°，则∠D′=______。
（2）若A′B′=15cm，则AB=
2.一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______。
3.如图所示的两个矩形相似吗？为什么？
如果相似，相似比是多少？
学生正确完成自主检测二
学生做完，同桌互批。根据学生反馈信息对存在的共性问题教师点拨，使学生对本节知识点更清晰。

小结
通过本节课的学习你有什么收获？
从知识、技能、思想方法等几方面进行总结。
学生回答时，教师对孩子的收获给予肯定。
作业
作业布置：
1.随堂练习1.2小题。
2.知识技能1.2.3小题。
这部分作业要求所有学生认真的完成。
作业/拓展
1.数学理解4.
2.直击中考（课后思考）
（2013山东枣庄）
如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将三角形ABE向上折叠，使B点落在AD上F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=

相似多边形

§4.4相似多边形
教学目标：
1.使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
2.经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．
3.通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性．
教学重点：探索相似多边形的定义的过程
教学难点：找出相似三角形的对应边和对应角。
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课
“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分．那“相似多边形”应怎么理解呢？
“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同．
本节课我们将进行探索“两个相似多边形”需满足什么条件呢？
二、新课讲解
1．探究相似多边形的定义
①探索
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？
(1)在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？

(2)在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否
成比例？

例题：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？
(1)正三角形ABC与正三角形DEF；
(2)正方形ABCD与正方形EFGH．请大家互相交流．
②定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
③表示方法：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，AB∶A1B1等于相似比．
在记两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．
2．想一想
若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．
3．议一议
1．观察下面两组图形，(1)中的两个图形相似吗？为什么？(2)中的两个图形呢？
2．如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？各边可能对应成比例吗？
4．做一做
一块长3m，宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答．
5．想一想(2)
所有的边数相同的正多边形都相似吗？
三、课堂练习
判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由．
(1)两个大小不等的矩形；
(2)两个大小不等的正五边形；
(3)一个正方形与一个平行四边形；
(4)两个大小不等的菱形．
四．课时小结
本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形．
五、课后作业