八年级下册《分式方程》教案设计。

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八年级下册《分式方程》教案设计

总体说明：本节共三个课时,它分为分式方程的认知,分式方程的解答,以及分式方程在实际问题中的应用。彼此之间由浅入深。是“实际问题——分式方程建模——求解——解释解的合理性”过程。本章在前面几节陆续介绍了分式，分式的乘除，分式的加减，为本节解分式方程打下了扎实的基础。同时应注意对学生进行过程性评价，要延迟评价学生运算的熟练程度，允许学生经过一定时间达到《标准》要求的目标，把评价重点放在对算理的理解上。
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在小学以及七年级学过解应用题，以及在本章第三节所讲述的分式加减时所引入的问题的提出及问题的解答。对实际问题进行建模有初步地了解，具备分析问题，处理问题的能力。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些问题建模活动，解决了一些简单的现实问题，感受到找出问题等量关系的作用。获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性。对于常用的数量关系，虽然学生以前大都接触过，但在本节的教学中仍要注意复习、总结，并抓住用两个已知量表示第三个量的表达式，引导学生举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力。为此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。
（2）通过观察，归纳分式方程的概念。
（3）体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
过程与方法：采用的是尝试——归纳相结合的方法，根据开始提出的多个实际问题。教师鼓励学生进行尝试，利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义。
情感与态度：在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。
三、教学过程分析
本节课设计了6教学环节：小麦实验田问题——高速公路问题——电脑网络培训问题——捐款问题——管理问题——课时小节。
第一环节小麦实验田问题
活动内容：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求出这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
如果设第一块实验田每公顷的产量为，那么第二块试验田每公顷的产量是___________kg.
根据题意，可得方程：
_______________________________________________
活动目的：为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
教学效果：在第一问中，同学们七嘴八舌，得到了许多等量关系。1、第一块实验田的
面积=第二块实验田的面积。2、每公顷的产量。3、第一块实验田每公顷的产量第二块试验田每公顷的产量。感觉到每人都能想一点，但都不全。第三问得到也有多种方案。例1、，2、这时教师就应适时引导，，每步的实际意义是什么？这样帮学生排除了第二种形式。
第二环节高速公路问题
活动内容：从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600的普通公路，另一条是全长480的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________________。根据题意，可得方程_______________________________________________
活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
教学效果：这次讨论的声音比第一次要少些，可能感觉比上一题容易。找出的等量关系有（1）600km=客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
（2）480km=客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
（3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上行驶的平均速度
（4）由高速公路从甲地到乙地的时间由普通公路从甲地到乙地的时间。
同样注意引导学生每一步的实际意义。
第三环节电脑网络培训问题
活动内容：王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是人，那么每人平均分摊______________元。
人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊_________________元。
根据题意，可得方程_______________________________________________-.
活动目的：由浅入深，出了一道比上题难度大一点的问题。还是为了训练学生找出问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
教学效果：这次学生讨论的声音又大了点，找出了如下的等量关系
（1）实际参加活动的人数=原定人数。
（2）原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元。
根据题意：
第四环节捐款问题这个题目不要求学生讨论。让学生独立完成。
活动内容：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？
活动目的：这次让学生独立思考，不再借助别人的力量。根据前面几题的练习，看同学们对找等量关系到底掌握了多少。特别关注那些后进生。以便及时调整教学进度。
教学效果：
这次不允许讨论，学生花的时间比上二题多些。当然有的学生还是反应很快，还有一部分学生则花了有5分钟的时间。在这个班，说明学生之间的差异还是很大的。
第五环节管理问题
活动内容：某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数满足怎样的方程？
活动目的：这个例题还是采取独立思考的原则，主要是针对刚才教师发现上一题做慢，做错的同学。努力引导他们找到问题中的等量关系。
教学效果：再次提醒刚才做错的和做的很慢的同学。让他们找到等量关系。由于我的提醒和同学们的注意力高度集中，从检查的效果来看，比上一次大有进步。
第六环节课时小节
活动内容：对于一个现实问题找到它的等量关系建立分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程同时注意每一步的实际意义。
活动目的：让学生感受到在实际问题中，一定要找到它的等量关系，最好是越多越好。根据等量关系来列方程，这个方程不是唯一的，今天的分式方程就是以前没有接触过的。同时培养学生有条理的思考及其语言表达能力。
教学效果：小节最好由同学们讨论，再派代表来叙述。而不是让老师说。教师只是顺势把学生的话进行一个归纳。关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程。大家基本都知道核心是找到等量关系，从而找到它的方程。
布置作业：P87——随堂练习第一题P88——习题3.6——1，2，3
四、教学反思
1、教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。这些问题的提出要根据本班学生的实际情况，学生能力强的，就要找一些难度大的。学生能力弱的，就要找一些难度小的。还可以因势利导的编一些与同学们生活息息相关的例子。当然，这些问题的提出都必须以现实生活为背景。不要出一些与实际生活不符的纯理论问题。
2、课堂上要把激发学生学习的积极性放在首位，多让学生说，帮助学生培养发展有条理的思考及其语言表达能力。同时要多注意困难学生的疑问。不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他同学的思考。使小组学习更有实效性。
3、列分式方程解决应用问题要比列一次方程（组）稍复杂一些。教学是要引导学生抓住寻找等量关系，恰当选设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量等关键环节，细心分析问题中的数量关系。一定要在这方面多花时间，要让你“会”转化为学生“会”。只要学生脑子里有分析这种问题的“意识”这节课才有收获。

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《分式方程》教案

《分式方程》教案

模块引领
学习
目标
1、知识目标：理解分式方程的概念；掌握解分式方程的基本步骤；理解解分式方程时可能无解的原因。
2、能力目标：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。
3、情感目标：在小组学习中，培养学生乐于探究、合作学习的习惯，体会数学的应用价值。
学习过程
【教材研习·循序渐进·目标达成】
自主研习
17分钟
要求：静安静、肃静、内心平静专专注、专心、不走神儿
思思考、思索、拓宽思维主自觉、主动、克服依赖
板块一：理解与感知
认真自研课本18-19页到例1上面那部分的内容，说说你是如何理解分式方程的定义及分式方程的解：
【小试牛刀】
判断下列各式哪个是分式方程
板块二：观察与思考
认真自研课本19页例1，思考：(1)为什么要检验方程的根？
(2).针对课本对例题的处理，谈谈例题的处理步骤：
【学以致用】
解下列方程：
（1）（2）
板块三：尝试与探究
自研课本19页“观察与思考”
思考：（1）什么是增根？
（2）解有关增根问题的方法？
自主研习
【大显身手】
1.若方程有增根,则增根为.
2、解分式方程会产生增根，求m的值.
【目标达成】（90%以上学生能通过自研理解本课时的内容）
合作交流
8
分钟
对子学习2分钟
A对子互查对子之间互相检查自研成果：导学案的自研笔记，用红笔互助纠错；
B对子释疑对子之间解决自学中存在的疑难问题，仍有疑惑，可留到小组学习解决。
小组学习6分钟
A小组讨论共同探讨对子学习中仍存在的疑难问题，难度较大的，可请教老师。
B分工预展完善板书；美化板面；明确任务；组长抽签确定任务，做好分工预展。
【目标达成】（95%以上同学疑难得到解决；尽量所有同学分到任务，并做好准备）
展示提升
10分钟
【展示一】我的成果我展示：举例说明你对分式方程的理解？
展示建议：（1）对于重点内容可尝试脱案展示；
（2）展示时注意要声音洪亮、落落大方。
【展示二】夯实基础提升能力：归纳解分式方程的方法和应该注意的问题
展示建议：可采用多种形式借助板书进行展示，关注参与率，注意双色笔的使用。
【目标达成】（85%以上同学能够顺利展示，更深一步理解所学知识）
达标检测
4
分钟
1解方程：⑴；⑵
2已知关于的方程有增根,求的值
感悟反思1分钟
亲爱的同学们，今天我们学到了很多的知识，相信同学们的收获一定不小，哪位同学能跟大家交流一下你都有什么收获？
我的收获：
自我评价：

分式方程

3.7分式方程（1）
一、教学目标
1．经历在实际问题中运用分式方程的过程，了解分式方程的意义，体会分式方程的模型思想.
2．会解可化为一元一次方程的分式方程.
3．了解分式方程增根产生的原因，会检验分式方程的根.
4．通过学习分式方程的解法，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，体会数学中的转化思想．
二、重、难点
重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
难点：增根产生的原因
三、学习过程
(一)复习并引入新课
1、什么叫方程？什么叫方程的解？
2、阅读课本P76页“交流与发现”，完成课本上的填空。并思考所列方程有怎样的特点？

(二)探究新知
1、总结分式方程的定义：中含有求知数的方程，叫做分式方程.
巩固练习：判断下列方程中，哪些是分式方程．为什么？
（1）2x＋x－15=10（2）x－1x=2
（3）12x＋1－3=0（4）2x3＋x－12=0
2、阅读课本P77—78例1、例2并思考：
（1）与解一元一次方程有什么异同点？解分式方程必需要.

（2）总结解分式方程的步骤：

巩固练习：解下列分式方程：
（1）（2）

3、自学课本P78—79页例3、例4，进一步熟练解分式方程的步骤.
巩固练习：（1）21－x＋1=x1＋x
（2）61－x2=31－x

四、当堂小结：
本节课你的收获是：

不足有：

五、当堂测试：
解下列方程

3.7分式方程应用
一、教学目标：
1、学生能正确分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；
2、通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。
二、教学重、难点
重点：
1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.
2.根据实际意义检验解的合理性.
难点:
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.
三、学习过程：
（一）拓通准备：
列一元一次方程解用题的步骤有哪些？
1、2、
3、4、
5、
（二）新课讲解
题型一：行程问题
例5、（1）、认真看课本例题，分析题目中的“分别从甲地去乙地”、“同时到达”、“速度的比是4：3”等关键词的含义，找出题目中的等量关系，尝试列方程解答，并与课本解答对照。
（2）、思考：从例5的条件出发，还可以探究哪些未知量？

巩固练习一：
课本p82练习题第1、2题

题型二：销售问题
例6、认真阅读例6，思考并完成p81页的问题（1）----（6），列方程解答。
思考：根据例6提供的信息，你能编制出另外一个用分式方程解决的问题吗？与同学交流。

巩固练习二：
某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5，求该市今年居民用水的价格

（三）思考并交流：
列分式方程解应用题的步骤是什么？与列一元一次方程解用题的步骤有何区别？

(四）课堂小结：
1.回顾本节课的知识点，总结你的收获，说说你的困惑；
2.整理笔记。

（五）当堂测试
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

2、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？

八年级数学竞赛例题分式方程专题讲解

专题08分式方程

阅读与思考
分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．
在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件．

例题与求解
【例1】若关于的方程＝－1的解为正数，则的取值范围是______．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．

【例2】已知，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：
（1）；（“五羊杯”竞赛试题）
（2）；（河南省竞赛试题）
（3）＋＝3．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．

【例4】（1）方程的解是___________．（江苏省竞赛试题）

（2）方程的解是________．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．

【例5】若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．
【例6】求方程的正整数解．（“希望杯”竞赛试题）
解题思路：易知都大于1，不妨设1＜≤≤，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．

能力训练
A级
1．若关于x的方程有增根，则的值为________．（重庆市中考试题）
2．用换元法解分式方程时，如果设＝，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是___________．（上海市中考试题）
3．方程的解为__________．（天津市中考试题）
4．两个关于的方程与有一个解相同，则＝_______．
（呼和浩特市中考试题）
5．已知方程的两根分别为，，则方程的根是（）．
A．，B．，C．，D．，
（辽宁省中考试题）
6．关于的方程的解是正数，则的取值范围是（）
A．＞－1B．＞－1且≠0
C．＜－1D．＜－l且≠－2
（孝感市中考试题）
7．关于的方程的两个解是1＝，2＝，则关于的方程的两个解是（）．
A．，B．－1，C．，D．，
8．解下列方程：
（1）；（苏州市中考试题）
（2）．（盐城市中考试题）

9．已知．求10＋5＋的值．

10．若关于的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求的值．
（黄冈市竞赛试题）

11．已知关于的方程2＋2＋，其中为实数.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.
（聊城市中考试题）

12．若关于的方程无解，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）

B级
1．方程的解是__________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2．方程的解为__________．
3．分式方程有增根，则的值为_________．
4．若关于的分式方程＝－1的解是正数，则的取值范围是______．
（黑龙江省竞赛试题）
5．（1）若关于x的方程无解，则＝__________．（沈阳市中考试题）
（2）解分式方程会产生增根，则＝______．（“希望杯”邀请赛试题）
6．方程的解的个数为（）．
A．4个B．6个C．2个D．3个
7．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（）．
A．＜lB．＜1且≠0C．≤1D．≤1且≠0
（山西省竞赛试题）
8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（）．
A．1B．2C．3D．4
（江苏省竞赛试题）
9．已知关于的方程（2－1）有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1，2，且，求的值.
（TI杯全国初中数学竞赛试颞）
10．求方程－＋＋2006＝0的正整数解.
（江苏省竞赛试题）

11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？（齐齐哈尔市中考试题）