函数的解析式及定义域。

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助授课经验少的教师教学。您知道教案应该要怎么下笔吗？以下是小编收集整理的“函数的解析式及定义域”，仅供参考，欢迎大家阅读。

课题：函数的解析式及定义域
教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．
教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．
教学过程：
（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．
（二）主要方法：
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式时常用待定系数法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（3）应用题求函数解析式常要根据实际问题的意义来布列函数关系，确定函数的定义域．
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
①若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出；
②若复合函数的定义域为，则的定义域为在上的值域．
（三）例题分析：
例1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（）
例2．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求．

例3．设函数，
（1）求函数的定义域；
（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．
例4．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
①证明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式．

（四）高考回顾：
考题1（2005江苏卷）已知a,b为常数，若则.
考题2（2005湖北卷）函数的定义域是
考题3（2005全国卷Ⅰ）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。
（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围

考题4（2006湖北文）设f(x)＝，则的定义域为（）
A.B.(－4,－1)(1，4)
C.(－2,－1)(1，2)D.(－4,－2)(2，4)
（五）巩固练习：
1．已知的定义域为，则的定义域为．
2．函数的定义域为
3．已知，则函数的解析式为（）
（A）（B）
（C）（D）
４．设二次函数y=f(x)的最小值为4，且f（0）=f（2）=6，求f(x)的解析式。

5.（2006年广东卷）函数的定义域是
A.B.C.D.
(六)课后作业：
1、下列各函数解析式中，满足的是（）
（A）（B）（C）（D）
2、已知，且，则等于（）
（A）（B）（C）（D）
3、若，则等于（）
（A）（B）（C）（D）
4.（04年江苏卷.8）若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则()
(A)a=2,b=2(B)a=2,b=2(C)a=2,b=1(D)a=2,b=2
5．（04年湖北卷.理3）已知，则的解析式可取为（）
（A）（B）（C）（D）－
６.（04年湖南卷.理6）设函数若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程的解的个数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
７、若函数满足关系式，则的表达式为__________.
８、设函数的图象为，若函数的图象与关于轴对称，则的解析式为________________.
９、已知求的解析式。

扩展阅读

映射函数定义域值域

一种特殊的对应：映射

（1）（2）（3）（4）
1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）

3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f：AB集合A到集合B的映射。

6．讲解：象与原象定义。

再举例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法则：乘2加1是映射
2A=N+B={0,1}法则：B中的元素x除以2得的余数是映射
3A=ZB=N*法则：求绝对值不是映射（A中没有象）
4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法则：f：ab=(a1)2是映射

一一映射

观察上面的例图（2）得出两个特点：
1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）
2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）
即集合B中的每一个元素都有原象。

从映射的观点定义函数（近代定义）：
1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：AB这里A,B非空。
2A：定义域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中CB
f：对应法则xAyB
3函数符号：y=f(x)——y是x的函数，简记f(x)

函数的三要素：对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1．解：不是同一函数，定义域不同
2。解：不是同一函数，定义域不同
3。解：不是同一函数，值域不同
4．解：是同一函数
5．解：不是同一函数，定义域、值域都不同

关于复合函数
设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11
例：已知：f(x)=x2x+3求：f()f(x+1)
解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3

1.函数定义域的求法

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数

余切函数

反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)

函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，

函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，

函数y＝arctgx的定义域是R，值域是，

函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).

注意，

1.复合函数的定义域。
如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。

2.函数的定义域为,函数的定义域为,
则函数的定义域为，解不等式，最后结果才是

3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域；或者说，已知函数的定义域为(3,4),
则函数的定义域为______?

2.函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.

（1）、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例求函数的值域

（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数的值域。

（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数值域。
,分母不等于0,即

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数，，的值域。

10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数的值域

多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

定义域与值域

第二十七教时
教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法

二、研究性质：
1．定义域：y=sinx,y=cosx的定义域为R
2．值域：
1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1,|cosx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx,y=cosx的值域为[-1，1]
2对于y=sinx当且仅当x=2k+kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k-kZ时ymin=-1
对于y=cosx当且仅当x=2kkZ时ymax=1
当且仅当x=2k+kZ时ymin=-1
3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2kx(2k+1)(kZ)时y=sinx0
当(2k-1)x2k(kZ)时y=sinx0
当2k-x2k+(kZ)时y=cosx0
当2k+x2k+(kZ)时y=cosx0
三、例题：
例一（P53例二）略
例二直接写出下列函数的定义域、值域：
1y=2y=
解：1当x2k-kZ时函数有意义，值域:[+∞]
2x[2k+,2k+](kZ)时有意义,值域[0,]
例三求下列函数的最值：
1y=sin(3x+)-12y=sin2x-4sinx+53y=
解：1当3x+=2k+即x=(kZ)时ymax=0
当3x+=2k-即x=(kZ)时ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴当x=2k-kZ时ymax=10
当x=2k-kZ时ymin=2
3y=-1+当x=2k+kZ时ymax=2
当x=2kkZ时ymin=
例四、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。
解：当k0时
当k0时（矛盾舍去）
∴k=3b=-1
例五、求下列函数的定义域：
1y=2y=lg(2sinx+1)+3y=
解：1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴≤cosx≤1
∴定义域为：[2k-,2k+](kZ)
2
∴定义域为：
3∵cos(sinx)≥0∴2k-≤x≤2k+(kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR≤y≤1
四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域
五、作业：P56练习4P57-58习题4．82、9

高三数学教案：《函数的定义域复习》教学设计

本文题目：高三数学复习教案：函数的定义域复习教案

一、课前检测

1. (2008全国)函数 的定义域是____________. 答案：

2.函数 的定义域为 ，则 的定义域为____________. 答案：

3.函数 的定义域为(　 　)

二、知识梳理

1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

解读：

2.常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式(组)

如：① ，则 ; ② ，则 ;

③ ，则 ; ④ ，则 ;

⑤ ，则 ; ⑥ 是整式时，定义域是全体实数。

解读：

② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.

解读：

③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

解读：

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1) ; 答案：

(2) 答案：

变式训练：求下列函数的定义域：?

(1) 答案：

(2)f(x)= 答案：

小结与拓展：根据基本初等函数的定义域构建不等式(组)

例2 (1)若 的定义域为[-1，1]，求函数 的定义域

解： 的定义域为[-2，0]

(2)若 的定义域是[-1，1]，求函数 的定义域

解： ， 的定义域为[0，2]

变式训练1：已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为

答案：

变式训练2：若函数f(x)的定义域是[0，1]，则f(x+a)?f(x-a)(0

A. ? B.[a，1-a]? C.[-a，1+a]? D.[0，1]?

小结与拓展：求函数的定义域要注意是求 的取值范围，对同一对应法则定义域是相同的。

例3 如图，等腰梯形ABCD内接于一个半径为r的圆，且下底AD=2r，如图，记腰AB长为x，梯形周长为y，试用x表示y并求出函数的定义域

解：连结BD，过B向AD作垂线BE，垂足为E

∵AD为直径，∴∠ABD=90°，又AD=2r，AB=x

在△ABE中，

小结与拓展：

对于实际问题，在求出函数解析式后，必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

变式训练：等腰梯形ABCD的两底分别为 ，作直线 交 于 ，交折线ABCD于 ，记 ，试将梯形ABCD位于直线 左侧的面积 表示为 的函数，并写出函数的定义域。

答案：

四、归纳与总结(以学生为主，师生共同完成)

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

4.教学反思(不足并查漏)：

2012届高考数学知识梳理函数的定义域复习教案

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？下面是由小编为大家整理的“2012届高考数学知识梳理函数的定义域复习教案”，仅供参考，大家一起来看看吧。

教案15函数的定义域
一、课前检测
1.（2008全国）函数的定义域是____________.答案：

2.函数的定义域为，则的定义域为____________.答案：

3．函数的定义域为（）
二、知识梳理
1．函数的定义域就是使函数式的集合.答案：有意义的自变量的取值
解读：

2．常见的三种题型确定定义域：
①已知函数的解析式，就是.答案：解不等式（组）
如：①，则；②，则；
③，则；④，则；
⑤，则；⑥是整式时，定义域是全体实数。
解读：

②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.
解读：

③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.
解读：

三、典型例题分析
例1。求下列函数的定义域
(1)；答案：

(2)答案：
变式训练：求下列函数的定义域：?
（1）答案：

（2）f(x)＝答案：

小结与拓展：根据基本初等函数的定义域构建不等式（组）
例2（1）若的定义域为［－1，1］，求函数的定义域
解：的定义域为［－2，0］

（2）若的定义域是［－1，1］，求函数的定义域
解：，的定义域为［0，2］
变式训练1：已知函数的定义域为，则函数的定义域为
答案：

变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)f(x-a)（0＜a＜）的定义域是（B）
A.?B.［a，1-a］?C.［-a，1+a］?D.［0，1］?

小结与拓展：求函数的定义域要注意是求的取值范围，对同一对应法则定义域是相同的。

例3如图，等腰梯形ABCD内接于一个半径为r的圆，且下底AD＝2r，如图，记腰AB长为x，梯形周长为y，试用x表示y并求出函数的定义域
解：连结BD，过B向AD作垂线BE，垂足为E
∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，又AD＝2r，AB＝x
在△ABE中，

小结与拓展：
对于实际问题，在求出函数解析式后，必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
变式训练：等腰梯形ABCD的两底分别为，作直线交于，交折线ABCD于，记，试将梯形ABCD位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域。
答案：

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：