人教版数学八年级下册《正方形》教案。

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人教版数学八年级下册《正方形》教案

一、教材(教材分析）

《正方形》这节课是九年义务教育人教版数学教材八年级下册第十八章章第二节的内容。纵观整个初中平面几何教材，《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。

教材从学生年龄特征、文化知识实际水平出发，先让学生动手做，动脑思考，然后与同伴交流、探索、总结归纳，升华得出正方形的概念，再由概念去探索正方形的性质。这样的安排使学生在整个学习过程中真正享受到探索的乐趣。

本节课的重点是正方形的概念和性质，难点是理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系。根据新课程标准要求及本班学生的实际情况，本节课制定了知识、能力、情感三方面的目标。

（一）知识目标：

1、要求学生掌握正方形的概念及性质；

2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。

（二）能力目标：

1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力；

2、发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。

（三）情感目标：

1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风；

2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神；

3、通过正方形图形的完美性，培养学生品格的完美性。

二、学生：（学生分析）

这节课是在八年级上的一节课。我根据教学目标及八年级学生的特点，多给他们积极表现的机会，既设计一定的独立思考和独自探究的问题，又设计了让学生自己组织语言培养说理能力，让学生们能逐步提高。

三、教法(教法分析）

针对本节课的特点，采用实践--观察--总结归纳--运用为主线的教学方法。

通过学生动手及多媒体演示，采取几种不同的方法构造出正方形，然后引导学生探究正方形的概念。通过观察、讨论、归纳、总结出正方形性质定理，最后以课堂练习加以巩固定理，并通过一道拔高题对定义、性质理解、巩固加以升华。

整个教学过程中教师通过提问、观察、思考、讨论、充分调动学生非智力因素，让学生在老师的引导下自始至终处于一种积极思维，主动学习的学习状态。而教师在其中当好课堂教学的组织者。

四、学法：（学法分析）

本节课重点以培养学生探索精神和分析归纳总结能力为出发点，着重指导学生动手、观察、思考、分析、总结得出结论。在小组讨论中通过互相学习，让学生体验合作学习的乐趣。

五、教学程序：

(一）(第一环节）相关知识回顾

以提问的形式复习平行四边形、矩形、菱形的定义及性质之后，引导学生发现矩形、菱形的实质是由平行四边形角度、边长的变化得到的。（由课件演示以上两种变化）并启发学生考虑，若这两种变化同时发生在平行四边形上，则会得到什么样的图形？

（二）(第二环节）新课讲解

通过学生们的发现引出课题“正方形”

1、(第一个知识点）正方形的定义

利用课件形象演示出由平行四边形的边、角的变化演变出正方形的过程。请同学们举手发言，归纳总结出正方形定义：四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（投影仪显示）再由此定义启发学生们发现正方形的三个必要条件，并且由这三个条件通过重新组合即把一个角是直角与平行四边形组合成矩形，再加上一组邻边相等这个条件，可得正方形的第二个理解方法：一组邻边相等的矩形是正方形；或者一组邻边相等与平行四边形组成菱形再加上一个角是直角可得到正方形的第三个理解：一个角是直角的菱形是正方形。

此内容借助课件演示其变化过程，进一步启发学生发现，正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形，从而总结出正方形的性质。

2、正方形的性质(由课件演示及学生操作、观察得到）

性质1:正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

性质2:正方形的两条对角线相等，并且互相垂直、平分，每条对角线平分一组对角。

3、例题讲解及课堂练习（由课件显示）

设计了两种不同类型的练习题

设计了三道有关正方形与平行四边形、矩形和菱形关系的判断题和正方形性质的选择题，目的是对正方形性质的进一步理解，并考察学生掌握的情况。

求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

特别强调证明格式的书写，提高学生的逻辑推理能力，

4、课堂小结

这节课你有什么收获?学到了什么?有什么疑问提出来?

学生总结，教师补充，使学生感觉到自己对正方形的了解有进了一层，从而达到自己心中的完美。

5、欣赏实际生活中正方形的应用（课件显示）

第5个环节是我设计了一些正方形在实际生活中应用的图片，在优美的音乐中欣赏实际生活中正方形的应用，再一次让学生们感受正方形的美。

6、作业设计

（我设计的是教材习题及设计题，通过此作业让同学们既巩固了有关正方形的知识，又提高了对几何问题的探究能力和兴趣。

六、教学评价：

本课的教学注意挖掘教材中培养创新意识的素材，利用计算机辅助教学，为学生营造一种创新的学习氛围。把学生引上探索问题之路，为学生构造一道亮丽的思维风景线，必将调动学生学习的主动性、积极性，体现学生的主体地位。同时，本课以问题为载体，探究为主线，有意识地留给学生适度的思维空间，从不同视角上展示不同层次学生的学力水平，使传授知识与培养能力融为一体，体现素质教育的精神。

七、教学反思

扩展阅读

八年级数学竞赛例题专题-正方形

专题20正方形
阅读与思考
矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．
正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．
例题与求解
【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.
其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）
解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．
【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上
，取线段的中点.连，．
（1）探究线段，的关系，并加以证明．
（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．
探究线段，的关系，并加以证明．
（大连市中考题改编）
解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．

【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.
（重庆市竞赛试题）
解题思路：构造的线段是解本例的关键．
【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．
（北京市竞赛试题）
解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．
【例5】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，
分别与对角线交于点．
求证：（1）；
（2）．（四川省竞赛试题）
解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．

【例6】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
（黑龙江省中考试题）
解题思路：对于（2），构造是解题的关键．

能力训练
A级
1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________.
（北京市竞赛试题）
2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）
3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.
（青岛市中考试题）
第1题图第3题图第4题图

4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.（河南省中考试题）
5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()
A.B．C.D.
（晋江市中考试题）

第5题图第6题图

6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为()
A.12B．8C.D.
（浙江省竞赛试题）
7．如图，正方形中，，那么是()
A.B．C.D.
8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()
A．15B．12C．11D．10
9．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．
10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且．
求证：平分．
11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．
求证：．
（扬州市中考试题）

12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．
（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（大连市中考试题）

图1图2

B级
1.如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.
2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则
__________.
（北京市竞赛试题）
3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.
（“希望杯”邀请赛试题）
4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；
③；④为定值，其中一定成立的是()
A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④
5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是()
A.3B．4C.5D.不是整数
6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()
A.B．C.8D.E.
（美国高中考试题）
7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使
，则的长度等于()
A.1B．2C.3D.
（“希望杯”邀请赛试题）
8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）
（1）求证：；
（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（临汾市中考试题）
`
9.已知求证：

10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．
（北京市竞赛试题）
12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．
（武汉市竞赛试题）

正方形

19.2.3正方形
一、教学目的
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

五、例习题分析
例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴∠EAO=∠FDO．
∴△AEO≌△DFO．
∴OE=OF．

例3（补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，
∴PN∥QM，∠PNM=90°．
∵PQ∥NM，
∴四边形PQMN是矩形．
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴∠1+∠2=90°．
又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN．
∴AM=DN．同理AN=DP．
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN．
∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

六、随堂练习
1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）
④四条边都相等的四边形是正方形；（）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（）

1．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．

七、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

八年级数学下册《丰富多彩的正方形》教学设计

八年级数学下册《丰富多彩的正方形》教学设计

一教学目标：

1.知识与技能：

（1）复习正方形的有关性质和判定方法．

（2）能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．

2.过程与方法：通过观察，讨论，归纳，得出结论，经历由一般到特殊的思维进程，获得数学思想，发展学生的数学推理能力。

3.情感态度与价值观：

(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；

(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识。

二。教学过程：

1.导课：

同学们，今天我们一起学习《丰富多彩的正方形》，这是一节实验与探究课。

2.展示平行四边形，矩形，菱形和正方形，比较这四种图形哪一种图形的性质最多呢？（通过比较得出结论：正方形的性质最多）

3.正方形的特殊性：正方形既是矩形又是菱形，它既具有举行的性质又具有菱形的性质。

4.回顾正方形的性质：

（1）正方形的对边平行，四边相等；

（2）正方形的四个角相等，且每个角为直角；

（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形,共有4条对称轴。

这些都是正方形的基本性质。事实上，正方形是丰富多彩的、有趣的。它还有许多特殊的有趣的性质。

接下来我们一起来实验、探究正方形有趣的性质。

5.探究：

如图：正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的?。想一想，这是为什么？

证明∵四边形ABCD是正方形

∴AO=BO∠OAE=∠OBF∠AOE=90°—∠BOE

又∵四边形A1B1C1O是正方形，

∴∠A1OC1=90°

∴∠BOF=∠A1OC1—∠BOE=90°—∠BOE

∴∠AOE=∠BOF

∴△AOE≌△BOF(ASA)

∴S△AOE=S△BOF

又∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOF

∴S四边形OEBF=S△BOE+S△AOE

=S△AOB

=?S正方形ABCD

6.正方形的应用：在生活中的应用。

7结束语

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