八年级数学上11.1.2三角形的高中线与角平分线学案新版新人教版。

每个老师不可缺少的课件是教案课件，大家在认真写教案课件了。只有写好教案课件计划，可以更好完成工作任务！有哪些好的范文适合教案课件的？以下是小编为大家精心整理的“八年级数学上11.1.2三角形的高中线与角平分线学案新版新人教版”，希望能为您提供更多的参考。

课题：11.1.2三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1、了解三角形的高、中线与角平分线的概念；
2、准确区分三角形的高、中线与角平分线；
3、能够独立完成与三角形的高、中线与角平分线有关的计算。
【学习重点】
1、了解三角形的高、中线与角平分线的概念；
2、能利用三角形的高、中线与角平分线的性质进行简单的计算。
【学习难点】
1、能用自己的语言说出三角形的高、中线和角平分的概念；
2、熟练运用三角形的高、中线与角平分线的性质进行有关计算。
【学习过程】
※知识链接
1、利用长为3，5，6，9的四条线段可以组成几个三角形？为什么？

2、利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能求出这条边上的高吗？

3、阅读教材第4至第5页，用红笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑
※合作与探究：
探究1：三角形的高
1、请你画出下列三角形的所有的高。

根据所做，得出以下结论：
1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，连接____和_____之间的_____，称为三角形的高。
2、根据上面的操作，可以发现每个三角形都能画出____条高；锐角三角形的三条高交于三角形____一点，直角三角形的三条高交于____的顶点，钝角三角形的三条高____交于一点，钝角三角形的三条高所在的直线交于________；所有三角形三条高所在的直线_______一点。三角形高线的交点叫做三角形的____心。
探究1的应用：
如右图所示，如果AD是△ABC边BC上的高，则有：
_____⊥BC于点D，∠ADB=∠ADC=______
探究2：三角形的中线
1、中线的定义:
连接顶点和它对边中点的线段，称为三角形的中线
如图，如果D是线段BC的中点，则线段AD是
△ABC的线
2、请你画出下列三角形的所有的中线。
根据所做，得出以下结论：
1、在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段，称为三角形这边上的中线。
2、根据上面的操作，可以发现每个三角形都有____条中线；并且三角形的中线都会交于______点；三角形中线的交点都在三角形的_____部，三角形中线的交点叫做三角形的____心。
探究2的应用1：
如右图所示，如果D是线段BC的中点，则有：
AD是△ABC边BC上的________，BD=CD=____BC
探究2的应用2：
如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高，试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？并说明理由。
根据探究2的应用2，得出以下结论：三角形的_______将三角形的面积平均分成两份。
探究3：三角形的角平分线
1、如右图，若OC是∠AOB的平分线，
则有：∠AOC=∠BOC=_____∠AOB
3、请你画出下列三角形的所有的角平分线。

3、根据所做，得出以下结论：
1、三角形一个内角的平分线与它的______相交，这个角的顶点与交点之间的线段，称为三角形的角平分线。
2、可以发现每个三角形都有____条角平分线；并且三角形的角平分线在三角形内部交于______点，三角形角平分线的交点叫做三角形的____心。
3、三角形的角平分线与角的平分线不一样，三角形的角平分线是一条_____，有长度，角的平分线是一条______，没有长度。
※随堂检测
1、如图1，在△ABC中画出这个三角形的高BD，中线CE和角平分线BF。
2、如图2，已知AD、BE、CF都是△ABC的三条中线，则有：
AE=________=________AC；BC=2_____=2_______；AF=_______。
3、如图3，已知AD、BE、CF都是△ABC的三条角平分线，则有：
∠1=____∠BAC；∠2=_____∠ACB；∠ABC=2_____。
※拓展提高
1、如图，在直角三角形中，AC⊥BC，AC=8，BC=6，AB=10，求顶点C到AB边的高。

2、如图，△ABC中，AC=12cm，BC=18cm，△ABC的高AD与BE的比是多少？

3、如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE//AC,DF//AB，试判断∠3与∠4的关系。

教（学）后反思：_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________（实际使用课时______节）

扩展阅读

八年级上册《三角形的高、中线与角平分线》学案

八年级上册《三角形的高、中线与角平分线》学案

一、内容和内容解析
1．内容
三角形高线、中线及角平分线的概念、几何语言表达及它们的画法．
2．内容解析
本节内容概念较多，有三角形的高、中线、角平分线和重心等有关概念；需要学生动手的频率也较高，要掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，培养学生动手操作及解决问题的能力；鼓励学生主动参与，体验几何知识在现实生活中的真实性，激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情．
理解三角形高、角平分线及中线概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深入．学习了这一课，对于学生增长几何知识，运用几何知识解决生活中的有关问题，起着十分重要的作用．它也是学习三角形的角、边的延续以及三角形全等、相似等后继知识一个准备．
本节的重点是了解三角形的高、中线及角平分线概念的同时还要掌握它们的画法，难点是钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）理解三角形的高、中线与角平分线等概念．
（2）会用工具画三角形的高、中线与角平分线．
2．教学目标解析
（1）经历画图实践过程，理解三角形的高、中线与角平分线等概念．
（2）能够熟练用几何语言表达三角形的高、中线与角平分线的性质．
（3）掌握三角形的高、中线与角平分线的画法．
（4）了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别相交于一点．
三、教学问题诊断分析
三角形的高线的理解：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．
三角形的中线的理解：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．
三角形的角平分线的理解：三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．而角的平分线是一条射线，即就是说三角形的角平分线与通常的角平线有一定的联系又有本质的区别．
四、教学过程设计
1．抛砖引玉，提出问题
先演示画三角形的一条高，再给出问题：
（1）任画一个三角形，你能画出它的三条高吗？
（2）同一个三角形的三条高线有什么位置关系？
（3）不同类型的三角形的三条高线的交点位置有什么差别？
师生活动：先让学生画图实践，教师下位随机点拔，再让会画和不会画的学生相互交流提点，然后带着问题讨论，最后各小组派代表发言，师生共同归纳概念和画法．
【设计意图】这一环节是一个重要的实践活动，需要学生动手实践，动口交流，动脑思考，加深理解高线的概念和掌握画高线的作图能力．
2．从实践上升到理论，形成概念
师生活动：
定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，这个顶点和垂足之间的连线段叫做三角形的高线,简称三角形的高．
三角形的高有三条,特别强调：钝角三角形的高有两条在三角形外部，一条在三角形内部．直角三角形的两直角边就是高线．任何三角形的三条高所在直线交于一点，这点叫三角形的垂心．
归纳：锐角三角形有条高，它们相交于一点，交点在三角形；
直角三角形有条高，它们相交于一点，交点在三角形；
钝角三角形有条高，它们所在直线相交于一点，交点在三角形．
注意：三角形的高是线段．
（几何语言）∵AD是ΔABC上的高，
∴AD⊥BC(∠ADB＝∠ADC＝90)．
逆向：∵AD⊥BC垂足是D，
∴AD是ΔABC的边BC上的高．
几何语言表达可在学完三个定义之后统一学习．便于学生比较记忆形成知识结构．
【设计意图】让学生体会由实践到理论的过程，培养学生的归纳总结能力．
补充说明：要养成习惯，画好高线后，随手标明垂直的记号和垂足的字母．
师生活动：结合具体图形，教师引导学生养成良好的作图习惯．
【设计意图】进一步加深学生对几何符号和几何语言的熟悉．
3．类比学习，掌握几何探究的基本方法
用相同的探究方法引导学生学习三角形的中线和角平分线．
师生活动：与高线的探究类似．
4．归纳总结，形成知识结构
师生活动：师生共同完成这个表格．
三角形的重要线段定义图形表示法
三角形
的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1．AD是△ABC的BC上的高线．
2．AD⊥BC于D．
3．∠ADB=∠ADC=90°．
三角形
的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段
1．AE是△ABC的边BC上的中线．
2．BE=EC=BC．

三角形的
角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
1．AM是△ABC的∠BAC的平分线．
2．∠1=∠2=∠BAC．

【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生归纳概括的能力，了解几何语言简洁性．
5．应用巩固
课本上P5第1、2题
补充练习：
（1）如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为()．
A．2B．3C．4D．6
解析：因为AE是△ABC的中线，
所以BE＝EC＝6．又因为DE＝2，
所以BD＝BE－DE＝6－2＝4．
答案：C
（2）下列说法正确的是()．
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；
③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；
④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④B．③C．②③D．①④
解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B．
答案：B
（3）三角形的三条高在()．
A．三角形的内部B．三角形的外部
C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上
解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．
答案：D
学生通过解决这样的应用问题，特别是（3）中又要用到分类讨论的思想，学生通过解决问题的过程加深理解不同类型的三角形其高线都是交于一点，但交点位置却不同．
【设计意图】除了考查学生的灵活运用的能力外，逐步培养学生一些基本的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形高线位置的理解，一举多得．
6．总结反思
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．
（1）三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法．
（2）三角形的高、中线、角平分线的几何表达及性质的简单应用．
师生活动：教师引导，学生小结．
【设计意图】学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点．
7．布置作业
教科书第8页第3，4题．

《三角形的高、中线与角平分线》教学设计

教案课件是老师不可缺少的课件，大家在认真写教案课件了。只有写好教案课件计划，这对我们接下来发展有着重要的意义！有多少经典范文是适合教案课件呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“《三角形的高、中线与角平分线》教学设计”，供您参考，希望能够帮助到大家。

《三角形的高、中线与角平分线》教学设计
一、教学目标：
（一）掌握的知识与技能：
1、经历折纸、画图等操作过程认识三角形的高、中线、角平分线，结合图形，会用几何语言表述。
2、会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线。
（二）经历的教学思考：
经历折纸、画图、观察、思考、交流等活动，发展空间观念和表达能力
（三）培养的情感态度和价值观：
通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特殊线段，结合图形认识三角形的高、中线、角平分线所揭示的数量关系，学会发现问题，解决问题。
二、教学重难点：
1、重点：（1）了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形高、中线、角平分线。
（2）了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。
2、难点：（1）三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。
（2）钝角三角形高的画法。
（3）不同的三角形三条高的位置关系。
三、教学方法：自主探究，合作交流
四、教学工具：三角形纸片，三角板，直尺
五、教学过程：
1、各组组长检查预习作业完成情况。
2、师生问好。
3、情境导入：【大屏幕显示】白雪公主有一块三角形的煎饼，她打算把煎饼分成面积相等的七块给小矮人，想了很久也不知道怎么分，你能帮助她吗？
4、展示本课学习目标【大屏幕显示】
5、学生自学课本P65-66内容后，完成导学案。（小组共同完成，组长组织）教师巡视全班。（导学案附后）
6、通过题目检查学生自学情况。【大屏幕显示】（学生抢答）
7、将学生在自学过程中的疑难问题适当加以点拨。
8、学生完成课堂练习，完成后交给组长评分。（课堂练习附后）
9、共同完成拓展练习。
10、共同完成课前设疑的问题。现在你能帮助白雪公主了吗？
11、课堂小结：由学生总结，互相补充。
12、布置课下作业。
【导学案和课堂练习题附后】
三角形的高、中线和角平分线导学案
课前准备：请你完成下列作图：
1、经过点A画直线l的垂线

2、画∠AOB的角平分线
3、作出线段AB的中点O
动手实践，探究新知：
(一)三角形的高线
1、三角形高线定义：
2、请你画出下面三角形的高
思考：（1）三角形的高线有条；
（2）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?；
（3）直角三角形的三条高线相交；
（4）钝角三角形的三条高线也相交于一点吗？
请你拿出课前准备好的三角形，通过自己折纸画出三角形的角平分线和中线，回答下面问题
1、三角形角平分线定义：
2、三角形有几条角平分线？
3、你发现三角形的三条角平分线是否交于一点？
(三)三角形的中线
1、三角形的中线定义：
2、三角形有几条中线？
3、你发现三角形的三条中线是否交于一点？
三角形高、中线、角平分线课堂练习
应用新知，体验成功
1、填空：∵AD是△ABC的高
∴==°
2、《三角形的高、中线与角平分线》教学设计填空：∵CF是△ABC的中线
∴==
3、《三角形的高、中线与角平分线》教学设计填空：∵AE是△ABC的角平分线
∴==
4、如图：CD，BE是ABC的角平分线，它们相交于点I，则
①∠ACD=∠=∠ACB，∠ABC=∠ABE
②BI是的角平分线，CI是的角平分线。
③你能画出ABC的第三条角平分线吗？
5、如图，在ABC中，∠BAC是钝角，请在ABC中分别画出:
(1)∠BAC的平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高；
(4)AB边上的高。
6、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
则图中互补的角有对，分别为
7、请你找出图中以AD为高的三角形
它们分别是
8、三角形某条边上的高（）
A在三角形的内部B在三角形的外部C在三角形的一边上D以上三种情况都有可能
9、如图，如果D是BC的中点，BC=6,AE⊥BC于E,AE=4
则BD＝DC＝，S△ABD=，
S△ACD=,S△ABDS△ACD.
10、三角形的一条()，能把三角形分成两个面积相等的三角形。
A．角平分线B．中线C．高D．以上都不对

三角形的角平分线

三角形的角平分线定理

李逵

教学目标：1、理解三角形的内外角平分线定理；

2、会证明三角形的内外角平分线定理；

3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；

4、培养逻辑思维能力。

教学重点：1、几何证明中的证法分析；

2、添加辅助线的方法。

教学难点：如何添加有用的辅助线。

教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。

教学方法：“四段式”教学法，即读、议、讲、练。

一、阅读课本，注意问题

1、复习旧知识，回答下列问题

①在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。

②辅助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？

③怎样判断两个三角形是相似的？相似三角形最基本的性质是什么？

④几何证明中怎样构造有用的相似三角形？

2、阅读课本，弄清楚教材的内容，并注意教材上是怎样讲的。

提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的需要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最后用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要注意课本上有关问题的叙述、分析以及作辅助线的方法。通过适当的联想和猜测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。

A

B

C

D

3、注意下列问题：

⑴如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，，即，。通过比较得到。

A

B

C

D

⑵如果上面问题中的换成任意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段、、、的长度，计算？，？，然后再比较（小的误差忽略不计）。

⑶三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？

⑷课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的知识？证明的根据是什么？

⑸课本上证明的过程中是怎样作辅助线的？这样作辅助线的目的是什么？

⑹过、、三点能不能作出有用的辅助线？如果能，辅助线应该怎样作？各能作出几条？

⑺就作出的辅助线，怎样寻找证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些知识？

⑻你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？

⑼回答练习中的第一题。

⑽总结证明方法和作辅助线的方法。

⑾注意内分点和外分点两个概念及其应用。

4、阅读指导丛书《平面几何》第二册。

⑴注意辅助线中平行线的作法，通过对图、、的观察分析，找出解决问题的证明方法。

⑵丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的知识联系起来、拓展了解题思路，又为我们提供了一种比较简单的解决问题的方法，值得我们借鉴。要注意三角形面积的几种不同的计算方法。

二、互相讨论，解答疑点

1、上面提出的问题，希望大家独立思考、独立完成。根据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。

2、思考中实在是有困难的同学，可以和周围的同学互相讨论，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指点。

3、把同学之间讨论的结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的根据。最后，适当地总结一些解题的经验和方法。

三、讲评纠正，整理内容

1、把学生讨论的结果归纳出来，加以补充说明，纠正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要点。

①证明比例式的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的辅助线都是平行线。

A

B

C

D

②从上述几种证明方法可以看出，证明的关键在于通过作辅助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便根据平行截割定理的推论得出所要的结论。

③辅助平行线的作法，只能是过、、三点分别作不过、、三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。

2、整理教学内容

⑴线段的内分点和外分点

（ⅰ）定义：

①在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。

②在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。

（ⅱ）举例

点在线段上，把线段分成了和两条线段，所以，点是线段的内分点，线段和叫

A

B

C

D

做点内分线段所得的两条线段。

点在线段的延长线上，和、两个端点构成了、两条线段，所以，点是线段的外分点，线段和叫做点外分线段所得的两条线段。

（ⅲ）条件

①内分点的条件：a）在已知线段上；

b）把已知线段分成另外两条线段。

②外分点a）在已知线段的延长线上；

b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。

（ⅳ）特殊情况

a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？

b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？

c）一条已知线段有几个中点？有几个黄金分割点？有几个内分点？几个外分点？

⑵三角形的内角平分线定理

（ⅰ）定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

（ⅱ）已知：中，平分，交于。

求证：。

（ⅲ）简单分析

A

B

C

D

从结论来考虑，横着看，两个比的前项、在中，两个比的后项、在中。按照相似三角形的性质，只要∽，那么，结论就是成立的。但是，与不是一对相似三角形，所以，不可能用相似三角形来证明。竖着看，有和，事实上，不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，显然，图中也没有平行线。因此，要想得到结论，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相似三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了辅助线的作法以平行线为主。

A

B

C

D

E

例如，把线段绕着它的端点旋转适当的角度到图中的位置（即的延长线）。由于旋转不改变线段的长度，所以，从旋转情况可得。由于平分，所以，连接后可以证明。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点作交的延长线于”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段绕着它的端点旋转适当的角度到端点落在线段的延长线上，同样也可以证明。

（ⅳ）证法提要

A

B

C

D

E

①证法一：如上图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到结论。同样，过点作的平行线和边的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。

②证法二：如右图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

A

B

C

D

E

③证法三：如右图，过点作交于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）；c)。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

④证法四：如下页图，过点作交于，根据三角形的面积公式可得：；

又根据正弦定理的面积公式有：

A

B

C

D

E

；

通过比较就可以得到：所要的结论。

⑶三角形的外角平分线定理

（ⅰ）定理：三角形的外角平分线外分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

A

B

C

D

E

（ⅱ）已知：中，是的一个外角，平分，交的延长线于。

求证：。

（ⅲ）简单分析：（类同内角平分线定理的分析方法）

（ⅳ）证法提要；（类同内角平分线定理的分析方法）

四、小结全节，练习巩固

1、小结

⑴两个定理

（ⅰ）三角形的内角平分线定理

（ⅱ）三角形的外角平分线定理

⑵证明方法

分为四大类共七种方法。

2、练习

⑴教材，2、3两题。

⑵补充题：

①画任意一个三角形的某个角的内外角平分线，说明内外角平分线之间的关系，证明你的结论。

②画等腰三角形的外角平分线，说明外角平分线和底边之间的关系，证明你的结论。

3、作业

教材，17、18两题。