有理数的除法1。

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1.7有理数的除法
学习目标
1、理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算
2、会求有理数的倒数
3、培养类比、拓展、观察、归纳、表达、转化等能力
重点：有理数除法运算法则的理解和运用
难点：除法和乘法的相通性及转化方法及两个法则的灵活运用教学过程
一、回顾引入
回顾倒数的概念：
4×（）＝1；×（）＝1；0.5×（）＝1；
－4×（）＝1；×（）＝1．
思考1：两个数乘积是1，这两个数有什么关系？
由此可得倒数概念是：
思考2：0有倒数吗？为什么？
思考3：负数有倒数吗？有的话，那么－4、的倒数分别是多少？
思考4：根据以上题目，你会求整数、分数、小数的倒数吗？
【做一做】求下列各数的倒数：
（1）；（2）3；（3）0.2；（4）5；（5）－5；（6）1．
2、回顾正数范围内乘除法逆运算关系：
如12÷3=□可化为□×3=12从而求□
类比得出，（-12）÷（-3）=□可化为□×（-3）=（-12）求□
你能算出□来吗？
二、自主探究
有理数除法法则
1、总结有理数除法和小学除法的联系：在确定符号后，实际上已经转化为小学除法。
2、小学除法技巧：除法可以转化为乘法，除以一个数等于乘以这个数的倒数。
3、有理数的除法
计算：8÷（－4）=？计算：8×（）＝？
很容易就能算出：8÷（－4）=-28×（）＝-2
∴8÷（－4）＝8×（）．
再尝试：－16÷（－2）＝？－16×（）＝？
根据以上题目，你能说出怎样计算有理数的除法吗？能用含字母的式子表示吗？
归纳：有理数除法是可以转化为有理数乘法的，有理数除法法则是：
除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
用字母表示为：
三、随堂练习
1、计算（1）（－36）÷9（2）（）÷（）
2、说一说相反数、绝对值、倒数的区别。试求的相反数、绝对值、倒数。
四、小结
1、与前面所学的有理数加法、减法、乘法一样，进行有理数除法运算，也应该
特别注意符号。
2、有理数除法运算步骤：
（1）把除法化成乘法，乘以除数的倒数；
（2）除法运算化成乘法运算之后，先确定符号。
五、当堂训练
1、－6的倒数是________，－6的倒数的倒数是________；
－6的相反数是________，－6的相反数的相反数是________；
－6的绝对值是
2、计算：
（1）（－18）÷6；（2）（－63）÷（－7）；
（3）（－36）÷6；（4）1÷（－9）；
（5）0÷（－8）；（6）16÷（－3）．
3、计算：
（1）（）÷（）；（2）（－6.5）÷0.13；
（3）（）÷（）；（4）÷（－1）．
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）

相关知识

有理数除法

内容：有理数除法（第2课时）

学习目标:

1、学会进行有理数的除法运算.

2、掌握有理数的混合运算顺序.

3、通过探究、练习，养成良好的学习习惯

学习重点：有理数的混合运算

学习难点：运算顺序的确定与性质符号的处理

教学方法：观察、类比、对比、归纳教学过程

一、学前准备

1、计算

1）（—0.0318）÷（—1.4）2）2+（—8）÷2

二、探究新知

1、由上面的问题1，计算方便吗？想过别的方法吗？

2、由上面的问题2，你的计算方法是先算法，再算法。

3、结合问题1，阅读课本P35—P37页内容

4、结合问题2，你先猜想，有理数的混合运算顺序应该是

.

例6化简下列分数：（1）；（2）．

强调：（1）符号法则；（2）一般来说，在能整除的情况下，往往采用法则的后一种形式，在确定符号后，直接除．在不能整除的情况下，则往往将除数换成倒数，转化为乘法．例7计算：（1）（－125）÷（－5）；（2）－2．5÷；

三、新知应用

1、计算

1）、18—6÷（—2）×2）11+（—22）—3×（—11）

3）（—0.1）÷×（—100）

2．某公司去年1～3月平均每月亏损1．5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1．7万元，11～12月平均每月亏损2．3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？

3．巩固练习（计算）：（1）（－0．4）÷（+0．02）×（－5）；（2）2÷（－）×÷（－5）；

（3）（－5）÷（－15）÷（－3）；（4）（－）÷（－1）－（+）÷（－）．

（5）－1÷（－5）×；（6）－209÷19．

4．某冷冻厂的一个冷库现在的室温是－4℃，现有一批食品需要在－30℃冷藏．如果每小时降温4℃，问几小时能降到所需要的温度？5．某人用1000元人民币购进一批货物，第二天出售，获利10%；过几天后又以上次售出价的90%购进一批同样的货，由于卖不出去，两天后他将其按第二次购进价的九折全部卖出．他在这两次交易中盈亏如何？

四、回顾与反思

请你回顾本节课所学习的主要内容

五、自我检测

1、选择题

1）若两个有理数的和与它们的积都是正数,则这两个数()

A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数

2）下列说法正确的是()

A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小

C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-1

3）关于0,下列说法不正确的是()

A.0有相反数B.0有绝对值

C.0有倒数D.0是绝对值和相反数都相等的数

4）下列运算结果不一定为负数的是()

A.异号两数相乘B.异号两数相除

C.异号两数相加D.奇数个负因数的乘积

5）下列运算有错误的是()

A.÷(-3)=3×(-3)B.

C.8-(-2)=8+2D.2-7=(+2)+(-7)

6）下列运算正确的是()

A.;B.0-2=-2;C.;D.(-2)÷(-4)=2

2、计算

1）6—（—12）÷（—3）2）3×（—4）+（—28）÷7

3）（—48）÷8—（—25）×（—6）4）

（5）（-12）÷1.4-（-8）÷（-1.4）+（+10）÷1.4

（6）{2-[（1.5×2）÷-1]}÷=-22

有理数的除法

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学科：数学

学段：初中

教材版本：人民教育出版社

年级：七年级

课题：1.4.2有理数的除法（1）

教学设计：

1.4.2有理数的除法

（第一课时）

一、教学目标

1、知识与技能：掌握有理数除法则，会进行有理数的除法运算及分数的化简。

2、过程与方法：通过学习有理数除法法则，体会转化思想，会将乘除混合运算统一为乘法算。

3、情感与价值观：培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯。

二、教学设想

前面已学过有理数加法、减法、乘法，这些运算为学习有理数除法作了辅垫，而除法在小学时已经接触到过，学生也知道除法是乘法的逆运算，本课的重点是有理数的除法法则，通过小组讨论、小组合作，不仅能突破重点，也能培养学生观察问题，分析问题和解决问题的能力，由于有理数除法是一种运算，在上课时，既要减少一些繁难的例题，又要通过一定的练习让学生能熟练地运用法则，进行准确计算。

三、教材分析

有理数的除法意义与以前小学学过的一样，所以教材中没有单独强调有理数除法意义。教材先给出“除以一个数等于乘这个数的倒数”这一形式的除法法则，说明乘法与除法的关系，并用a÷b=a.(b≠0)把这个关系简明地表示出来。考虑到具体运算的不同情况，教材又从除法可以化成乘法，给出与乘法类似的法则，以便于学生根据具体情况灵活选用。并以填空的形式出现，让学生讨论，合作探究，充分发挥他们的主观能动性。

四、重点、难点

1、重点：有理数的除法法则

2、难点：灵活运用有理数除法的两种法则

五、教学方法：讲解与练习相结合

六、教学过程：

教师活动

学生活动

设计意图

（一）复习旧知，导入新知

1、求下列各数的倒数

（1）－；（2）－0.125；（3）－1

2、小学里除法的意义是什么？小学算术中除法怎么计算？引入负数后，又如何计算有理数的除法呢？

上黑板演示回忆、思考、回答

学好有理数的除法必须以学好求一个有理数的倒数为条件，所以在这里我抛砖引玉，为学生学好有理数的除法法则奠定基础。（二）探索新知

1、探索有理数除法法则一

【问题一】例如8÷（－4）怎样求？

根据除法意义填空：

∵-2×（－4）＝8

∴8÷（－4）＝-2①

8×（-1／4）＝－2②

由①、②可得到什么等式

8÷（－4）＝8×（-1／4）③

让学生观察上面的③式中等号的两边有哪些相同与不同的地方？

相同点：被除数不变

不同点：①除号变成乘号

②除数变成它的倒数

探索：换其它数的除法进行类似讨论：－10÷（－4）

结果：倒数

－10÷（－4）＝－10×（－）

除转化为乘

【问题]2】通过上面的探索，你能说出有理数的除法法则吗？

（板书）有理数的除法法则一：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数

可表示为：a÷b=a.(b≠0)

好奇

思考讨论发言合做交流发言分小组讨论、探索，合做交流思考归纳总结得出结论引导学生思考，激发学生的求知欲给学生思考的方向，降低探索的难度培养学生观察分析及归纳能力

通过探索，使学生对法则更深刻的理解。注重学生动脑、动口、动手相结合，引导学生自己发现法则，从中获得成功的体验。

2、探索有理数除法法则二

【问题3】（1）两数相除，商的符号怎样确定，商的绝对值呢？（2）0不能做除数，0做被除数时商是多少？

（板书）有理数的除法法则二：

两数相除同号为正，异号为负，并把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数，都得0。

思考，小组讨论探索，合做交流并回答问题通过小组讨论、小组合作，不仅能突破重难点，也能培养学生观察问题，分析问题和解决问题的能力，

（三）应用新知

例5、计算：

（1）（－36）÷9；

（2）（－）÷（－）

通过上面的例题让学生思考什么情况用有理数除法法则二计算方便（当被除数能被除数整除时用法则二计算方便）。

例6：化简下列分数：

（1）；（2）

分析：分数可以理解为除法，所以要按除法的法则进行，可以直接除也可以转化为乘法，利用乘法的运算性质简化分数。

例7计算

（1）（－125）÷（－5）；

（2）－2.5÷×（－）

分析引导：第（1）题是分数除法，应转化为乘法，由于－125化为假分数，计算量大，可以把125写成125+后用分配律。第（2）题是乘除混合运算，应统一为乘法，以便约分。

独立思考分析，把过程完整的写出来独立思考完成思考、分组讨论各组代表发言让学生及时巩固新知识，并检查学生对有理数除法法则的灵活运用能力

让学生理解渗透了除法、分数之间的互相转化，并且通过这种转化，常常可能简化计算．

提高学生对法则的灵活运用能力及解决问题能力。（四）巩固练习

1、计算：

（1）（－18）÷6；

（2）（－63）÷（－7）

（3）1÷（－9）

（4）0÷（－8）

2、化简：

（1）；（2）；（3）。

3、计算：

（1）÷9

（2）（-12）÷（-4）÷（）

（3）（）÷（）÷（-0.25）

独立思考，并把过程完整的写出来。

巩固和理解有理数除法法则让学生应用新知识解决问题，既巩固了新知识又培养学生的应用能力和提高他们的思维能力（五）课堂小结

由学生归纳本节课所学的内容，谈一谈本节课得到了什么启示。（六）作业：教材38-39页习题1.4第4题第6题和第7题。思考，积极发言让学生对有理数的除法有一个系统的认识，培养学生归纳、概括能力通过作业及时反馈学生掌握有理数除法法则和应用法则的情况（七）板书设计

1.4.2有理数的除法1

一、有理数的法则1

二、有理数的法则2

三、例6例7例8

板书设计也是教学信息传递的一种途径，简单明了的板书会让学生更好的把握整节课的知识结构。评价分析：

本节课通过有理数除法法则的探索，使学生从不同的思维角度掌握理解法则，学生从中深刻地领会到探索过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性，通过命题讲解及课堂练习，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索不断创新的思维品质。

有理数的乘除法

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1.4有理数的乘除法教案
一、教学目标
知识与技能：
①使学生在了解乘法的基础上，掌握有理数乘法法则并初步掌握有理数乘法法则的合理性。
②会进行有理数乘法运算。
③了解有理数的倒数定义，会求一个数的倒数。
过程与方法：
①经历探索有理数乘法法则，发展，观察，归纳，猜想，验证的能力以及培养学生的语言表达能力。
②提高学生的运算能力
情感与态度：通过合作学习调动学生学习的积极性，激发学生学习数学的兴趣，提高学生认识世界的水平。
二、教学重点和难点
重点：依据有理数的乘法法则，熟练进行有理数的乘法运算；
难点：有理数乘法中的符号法则．
三、教学过程
（一）创设问题情景，激发学生的求知欲望，复习旧知，导入新课
前面我们学习了有理数的加减法，接下来就应该学习有理数的乘除法．同学们先看下面的问题：甲水库的水位每天升高3㎝，乙水库的水位每天下降3㎝。4天后，甲、乙水库各自水位的总变化量是多少？
如果用正号表示水位的上升、用负号表示水位的下降。那么，4天后，甲水库水位的总变化量是：3+3+3=3×4=12㎝
乙水库水位的总变化量是：（－3）+（－3）+（－3）+（－3）=（－3）×4=－12㎝引出课题：有理数的乘法
（二）学生探索新知，归纳法则
学生分为四个小组活动，进行乘法法则的探索
设蜗牛现在的位置为点O，若它一直都是沿直线爬行，而且每分钟爬行2cm，问：
（1）向右爬行，3分钟后的位置？
（2）向左爬行，3分钟后的位置？
（3）向右爬行，3分钟前的位置？
（4）向左爬行，3分钟前的位置？
(学生思考后回答)要确定蜗牛的位置需要知道：距离和方向。
为了区分方向：我们规定向右为正，向左为负；为区分时间：我们规定现在的时间前为负，现在的时间后为正。
（1）情形一：蜗牛在现在位置的右边6㎝处。式子表示为：
（+2）×（+3）=+6
数轴表示如右：

（2）情形二：蜗牛在现在位置的左边6㎝处。式子表示为：（－2）×3=－6
数轴表示如右：

（3）情形三：蜗牛在现在位置的左边6㎝处。式子表示为：（+2）×（－3）=－6
数轴表示如右

（4）情形四：蜗牛在现在位置的右边6㎝处。式子表示为：（－2）×（－3）=+6
数轴表示如右：

仔细观察上面得到的四个式子：
（1）（+2）×（+3）=+6
（2）（－2）×3=－6
（3）（+2）×（－3）=－6
（4）（－2）×（－3）=+6
根据你对乘法的思考，你得到什么规律？
（三）学生归纳法则
a.符号：在上述4个式子中，我们只看符号，有什么规律？
（+）×（+）=（）同号得
（-）×（+）=（）异号得
（+）×（-）=（）异号得
（-）×（-）=（）同号得
b.任何数与零相乘，积仍为。
（四）师生共同用文字叙述有理数乘法法则。
归纳：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积仍为0。
(五)运用法则计算，巩固法则。
例1计算:(1)(-5)×(-3);(2)(-7)×4;(3)(-3)×9;(4)(-3)×(－)
引导学生观察、分析例1中（4）小题两因数的关系，得出:有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.
例2.见课本P30页
（六）分层练习，巩固提高。
（1）计算（口答）：
①②③④
⑤⑥⑦⑧
四．课题小结
（1）有理数乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数同0相乘,都得0。
（2）如何进行两个有理数的乘法运算：先确定积的符号，再把绝对值相乘，当有一个因数为零时，积为零。
五．作业布置
课本P30页练习1，2，3.
1.4.2有理数的乘法
——（第2课时）
一、教学目标:
1、经历探索多个有理数相乘的符号确定法则.
2、会进行有理数的乘法运算.
3、通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力.
二、教学重点和难点
学习重点：多个有理数乘法运算符号的确定
学习难点：正确进行多个有理数的乘法运算
三、教学过程
（一）、学前准备
请同学们先合作做个游戏：用9张扑克牌（可以替代的纸片也行）全部反面向上放在桌上，每次翻动其中任意2张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，看看能否使所有的牌都正面向上？
结果怎么样，你能明白其中的数学道理吗？
（二）、探究新知
1、观察：下列各式的积是正的还是负的？
2×3×4×（－5），
2×3×（-4）×（－5），
2×（×3）×(×4)×（－5），
（－2)×(－3)×(－4)×（－5).
思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
分组讨论交流，再用自己的语言表达所发现的规律：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.
2、利用所得到的规律，看看翻牌游戏中的数学道理。
（三）、新知应用
1、例题3，（30页）例3，
请你思考，多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？你能看出下列式子的结果吗？如果能，理由几个数相乘，如果其中又因数为0，积等于0
例：7.8×(－8.1)×O×(－19.6)
师生小结：几个数相乘，如果其中又因数为0，积等于0
2、练习
计算
1）、—5×8×（—7）×（—0.25）2）、

四、课堂小结
1、通过这节课的学习，我的感受是：几个数相乘，如果其中又因数为0，积等于0

五．作业布置
一、选择
1.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积()
A.一定为正B.一定为负C.为零D.可能为正,也可能为负
2.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号()
A.由因数的个数决定B.由正因数的个数决定
C.由负因数的个数决定D.由负因数和正因数个数的差为决定
3.下列运算结果为负值的是()
A.(-7)×(-6)B.(-6)+(-4);C.0×(-2)(-3)D.(-7)-(-15)
4.下列运算错误的是()
A.(-2)×(-3)=6B.
C.(-5)×(-2)×(-4)=-40D.(-3)×(-2)×(-4)=-24
二、计算1、(-7.6)×0.5;2、.
1.4.3有理数的乘法
——（第3课时）
一、教学目标:
1、熟练有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算．
2、让学生通过观察、思考、探究、讨论，主动地进行学习．
3、培养学生语言表达能力以及与他人沟通、交往能力，使其逐渐热爱数学这门课程．
二、教学重点和难点
教学重点：正确运用运算律，使运算简化
教学难点：运用运算律，使运算简化
三、教学过程
一、学前准备
1、下面两组练习，请同学们选择一组计算．并比较它们的结果：
1）（－7）×88×（－7）

[（－2）×（－6）]×5（－2）×[（－6）×5]

2）（－）×（－）（－）×（－）

[×（－）]×（－4）×[（－）×（－4）]

3)

请以小组为单位，相互检查，看计算对了吗？
二、探究新知
1、下面我们以小组为单位，仔细观察上面的式子与结果，把你的发现相互交流交流.
2、怎么样，在有理数运算律中，乘法的交换律，结合律以及分配律还成立吗？
3、归纳、总结
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.
即：ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等
即：（ab）c=a(bc)
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
即：a(b+c)=ab+bc
三、新知应用
1、例题
用两种方法计算（＋－）×12
2、看谁算得快，算得准
1）（－7）×（－）×2）9×15.

四、课堂小结
怎么样，这节课有什么收获，还有那些问题没有解决？
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.
即：ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等
即：（ab）c=a(bc)
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
即：a(b+c)=ab+bc

五．作业布置
1、（－85）×（－25）×（－4）；2、（－）×15×（－1）；

3、（）×30；4、×（—7）.

5、－9×（－11）+12×（－9）6、

1.4.4有理数的除法
——（第4课时）
一、教学目标:
1、理解除法是乘法的逆运算；
2、掌握除法法则，会进行有理数的除法运算；
3、经历利用已有知识解决新问题的探索过程．
二、教学重点和难点
教学重点：有理数的除法法则
教学难点：理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系
三．教学过程
（一）、学前准备
1、师生活动
1）、小明从家里到学校，每分钟走50米，共走了20分钟.
问小明家离学校有1000米，列出的算式为5020=1000.
2）放学时，小明仍然以每分钟50米的速度回家，应该走20分钟.
列出的算式为1000=20
从上面这个例子你可以发现，有理数除法与乘法之间的关系互为逆运算
（二）、合作交流、探究新知
1、小组合作完成
比较大小：8÷（－4）8×（一）；
（－15）÷3（－15）×；
（一1）÷（一2）（－1）×（一）
再相互交流、并与小学里学习的乘除方法进行类比与对比，归纳有理数的除法法则：1）、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
2）、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相加减，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
2，运用法则计算：
（1）（－15）÷（－3）；(2)（－12）÷（一）；（3）（－8）÷（一）
3，师生共同完成P34例5.
（三）1、练习：P35
2、P35例6、例7、
3、练习：P36第1、2题
四．课堂小结
通过这节课的学习，你的收获是：
1）、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
2）、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相加减，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
五．作业布置
1、计算
(1)(+48)÷(+6);(2);

(3)4÷(-2);(4)0÷(-1000).

2、计算.
(1)(-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)];(2)375÷;
1、P39第1、2、3、4题

1.4.5有理数的除法
——（第5课时）
一、教学目标:
1、学会用计算器进行有理数的除法运算.
2、掌握有理数的混合运算顺序.
3、通过探究、练习，养成良好的学习习惯
二、教学重点和难点
1、学习重点：有理数的混合运算
2、学习难点：运算顺序的确定与性质符号的处理
三、教学过程
（一）、学前准备
1、计算
1）（—0.0318）÷（—1.4）2）2+（—8）÷2
（二）、探究新知
1、由上面的问题1，计算方便吗？想过别的方法吗？
2、由上面的问题2，你的计算方法是先算乘除法，再算加减法。
3、结合问题1，阅读课本P36—P37页内容（带计算器的同学跟着操作、练习）
4、结合问题2，你先猜想，有理数的混合运算顺序应该是先算乘除法，再算加减法。
5、阅读P36，并动手做做
三、新知应用
1、计算
1）、18—6÷（—2）×2）11+（—22）—3×（—11）

3）（—0.1）÷×（—100）

四．课堂小结：请你回顾本节课所学习的主要内容：
1、有理数的混合运算顺序应该是先算乘除法，再算加减法。
2、计算器的使用。
五、作业1、P39第7题（4、5、7、8）、第8题