用拼图理解乘法公式。
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用拼图理解乘法公式
初中生对符号的抽象性把握不够，乘法公式只能凭法则加以推算，学生对法则的将信将疑无以验证，拼图的出现无疑是一场及时雨，不仅可以使学生头脑中的疑雾顿散，而充分体现、渗透了数形结合的数学思想。请看下面几例：
一、用拼图理解公式的几何意义
理解1将边长为a的正方形纸片的剪出一个边是为b（b＜a＝的正方形，再将阴影部分剪一刀，拼成一个矩形或梯形。（1）你能完成拼图吗？（2）根据前后两个图形阴影面积关系，你能发现什么结论？
∴或
理解2将边长分别a、b的两个正方形和长宽为a、b的两个全等矩形拼成一个正方形。（1）怎样拼？（2）用不同形式表示拼成正方形面积，你觉得以此可验证什么公式？
分而算之：总而算之：
∴
理解3将大小相同的4块长、宽分别为a、b（a＞b）长方形纸片拼成如图形状，从中你能发现（a＋b）2与（a－b）2关系吗？
事实上，大正方形边长为a＋b，小正方形边长为a－b，
∴大正方形面积=（a＋b）2，小正方形面积=（a－b）2
∴（a＋b）2=（a－b）2＋4ab，或者（a＋b）2－4ab=（a－b）2或者（a＋b）2－（a－b）2=4ab
二、典例剖析
例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开,如
图1（1），然后拼成一个梯形，如图1（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）.
A.（a+b）（a-b）＝a2-b2B.（a+b）2=a2+2ab+b2
C.（a-b）2=a2-2ab+b2D.a2-b2=（a-b）2
分析：从这个题目的条件中可以看出，把图1（1）图形经过剪切成为第图1（2）图形，得到一个等腰梯形，它的面积为（上底+下底）×高÷2，上底为2b，下底为2a，高为a-b，所以面积为：（2b+2a）（a-b）÷2＝a2-b2，所以答案为：Ａ.
解：Ａ.
点评：利用割补图形和乘法公式来验证图形的面积，要求同学们有较强思维意识和对一些特殊图形面积公式的充分掌握.本题的关键是计算梯形面积.
例2如图2（1），阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即＿＿＿＿＿.
若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验证了平方差公式：＿＿＿＿＿.
如图2（2），大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，也可以表示为S＝SⅠ+SⅡ+SⅢ+SⅣ，同时S＝＿＿＿＿，.从而验证了完全平方公式：＿＿＿＿＿.
分析：本题考查利用图形解释平方差和完全平方公式，体现数形几何思想。
如图2（1），阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；
若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验证了平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2.
如图2（2），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为S＝SⅠ+SⅡ+SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2.
点评：本题通过简单的几何拼图验证了平方差公式，渗透了数形结合的数学思想，考查了学生的观察能力、分析研究能力及运算能力．
延伸阅读
乘法公式
课题第9章从面积到乘法公式课时分配本课（章节）需2课时
本节课为第1课时
为本学期总第课时
9.4乘法公式（1）
教学目标1.能说出完全平方公式、平方差公式及其结构特征
2.能正确的运用乘法公式进行计算
重点能够熟练掌握乘法公式
难点正确运用乘法公式进行计算
教学方法讲练结合、探索交流课型新授课教具投影仪
教师活动学生活动
情景设置：
怎样计算上图的面积？它有哪些表示方法？
新课讲解：
1.完全平方公式
如果把上图看成一个大正方形，它的面积为
如果把它看成2个相同的长方形与2个小正方形，它的面积为
则易得=
也可通过多项式乘法法则得到对于任意的a、b，上式都成立
=——完全平方公式
同样通过计算上图阴影的面积，易得
也可利用多项式乘法法则证明对于任意a、b上式都成立
=
——完全平方公式
例题1：计算
⑴⑵⑶
2.平方差公式
你能仿照上面的过程，得到下面的公式吗？
——平方差公式
例2计算
（1）
（2）(3m+2n)(3m-2n)
（3）(b+2a)(2a-b)
完全平方公式、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用。
练习：第80页第1、2、3、4
小结：
今天我们学习了乘法公式
=
试说出这3个公式的特点。
教学素材：
A组题：
1.计算：10221992
2计算：（1）
（2）(－4a－1)(4a－1)
B组题：
1.思考：与相等吗？与相等吗
学生回答
由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
学生分组进行讨论
推出公式
板演
分组讨论
板演
学生板演
共同小结
作业第82页1、2、4
板书设计
复习例1板演
………………
………………
……例2……
………………
………………
教学后记
乘法公式学案
作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家应该在准备教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，这对我们接下来发展有着重要的意义！有没有出色的范文是关于教案课件的？下面是小编为大家整理的“乘法公式学案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
9.4乘法公式(2)
主备：审核：初一数学备课组
班级姓名
【学习目标】
1.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；
2通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释；
3.经历探索平方差公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。
【课前准备】：
边长为a的小正方形纸片放置在边长为b的大正方形纸片上，
如右图，你能用多种方法求出未被盖住的部分的面积吗？
【探索新知】
数学实验室
方法（1）学生马上就得出未被盖住的部分的面积为
方法（2）学生画图拼成等腰梯形，则未被盖住的部分的面积为
方法（3）学生画图后通过动手剪拼长方形，则未被盖住的部分的面积为，
通过计算面积得公式：
平方差公式：
【知识运用】
例1：应用平方差公式计算：
（1）（2）
注意：①公式中的a与b可以是数也可以是单项式、多项式或其他代数式。
②正确判断哪个数为a，哪个数为b（与位置、自身的性质符号无关，两因式中的两对数是否有一个数完全相同，而另一个数是相反数）。
例2：运用平方差公式计算：（1）（2）
例3：运用平方差公式计算：（1）102×98（2）
【当堂反馈】1、直接写出计算结果：（1）
（2）=．
2、
3、如果，那么，．
4、运用平方差公式计算：
5、用平方差公式计算：
【拓展延伸】
1．判断正误，并订正错误的题目：
①（）
②（）
③（）
④（）
⑤（）
⑥（）
2．填空：①②
③（）=④（）=
⑤（）（）=⑥（）
⑦
3．利用平方差计算：
4．只要你动动脑筋，相信你一定可以找到更简便的方法：
（1）（2）
15．3乘法公式
15．3乘法公式
课时安排
3课时
从容说课
学习乘法公式，是在学习整式乘法的基础上进行的，是由一般到特殊的体现，所以教学时，可以安排学生计算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在学生计算的基础上引导学生导出公式，并进一步揭示公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础．为了揭示公式特征，教学中要紧紧地采取对比的方式．紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式的特征．尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可以发现特征不变，仍符合公式特征，从而根据公式解决问题．
运用乘法公式计算，有时需要添括号，在已学过去括号法则的基础上，本节还安排了添括号法则．它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础．学习它可以和去括号法则对比进行．
在对比中学，在对比中用，在对比中再进行比较，从基本类型的题目到变化多端的题目，从单一题型到复杂题型，从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式、法则的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能做到运用自如的效果．
§15．3．1平方差公式
第九课时
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
（二）能力训练要求
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
2．培养学生观察、归纳、概括的能力．
（三）情感与价值观要求在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．
教学重点
平方差公式的推导和应用．
教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学方法
探究与讲练相结合．
通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999（2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
Ⅱ．导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）
=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
=x2+5y#8226;x-x#8226;5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）#8226;（-a）+（-a）#8226;（-b）+b#8226;（-a）+b#8226;（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（出示投影片）
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
Ⅲ．随堂练习
出示投影片：
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．
（3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．
（4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2
=（a+2b）（a+2b）-4c2
=a2+a#8226;2b+2b#8226;a+（2b）2-4c2
=a2+4ab+4b2-4c2
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
=（a2-b2）（a2+b2）
=（a2）2-（b2）2=a4-b4．
优胜组总结发言：
这些运算都可以通过变形后利用平方差公式．其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式．关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想．
Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
Ⅴ．课后作业
1．课本P179练习1、2．
2．课本P182～P183习题15．3─1题．
Ⅵ．活动与探究
1．计算：1234567892-123456788×123456790
2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．
过程：
1．看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算．
2．方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简．
结果：
1．1234567892-123456788×123456790
=1234567892-（123456789-1）（123456789+1）
=1234567892-（1234567892-1）
=1234567892-1234567892+1
=1．
2．原方程可化为：
5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2
∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2
即5x+54x2-24-54x2+6=2
移项合并同类项得5x=20
∴x=4．
板书设计
备课资料
[例1]利用平方差公式计算：
（1）（a+3）（a-3）（a2+9）；
（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．
分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1）
解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）
=（a2）2-92=a4-81；
（2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）
=[（2x）2-12]（4x2+1）
=（4x2-1）（4x2+1）
=（4x2）2-1=16x4-1．
方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算．这是这类试题的计算原则．
[例2]计算：
（1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式．于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算．事实上，这是可行的．
解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
=100+99+98+97+…+2+1
=（100+1）+（99+2）+…+（51+50）
=50×101=5050；
（2）（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）．
=（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）（1+）（1-）
=××××××…××××
＝×=．
方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用．
