正余弦定理应用举例导学案及练习题。

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“正余弦定理应用举例导学案及练习题”，仅供参考，欢迎大家阅读。

【学习目标】
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．
【学习重难点】
能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．
【复习巩固】（课前完成）
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝______＝csinC＝2R(在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径)．
2．应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：
①已知两角与一边，解三角形；
②已知两边与其中一边的对角，解三角形．
做一做：在△ABC中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sinB等于()
A．1B.12C.38D.34
2．余弦定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝______________，cosC＝a2＋b2－c22ab.
应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知三边，解三角形；
②已知两边及其夹角，解三角形．
做一做：在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则A＝__________.
【典例分析】
题型一测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题
例题1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．
题型二测量两个不可到达的点之间的距离问题
例题2：如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．
【课堂达标】
1已知A，B两地相距10km，B，C两地相距20km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距()
A．10kmB．C．D．
2设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离是100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A，B两点的距离为__________m.
3(2011北京朝阳二模)如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距nmile，则此船的航行速度是__________nmile/h.

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正、余弦定理的应用举例

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助授课经验少的高中教师教学。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？以下是小编为大家收集的“正、余弦定理的应用举例”欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

2.2.2正、余弦定理的应用举例（2）
知识梳理
2.解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。
3.解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。
典例剖析
题型一正、余弦定理在几何中的应用
例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视?
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，
起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，
则
，
∴起初，两人的距离是．
（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，
则，，
当时，；
当时，，
所以，．
（3），
∴当时，即在第分钟末，最短。
答：在第分钟末，两人的距离最短。
评析：（2）中，分0t和t两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。
备选题正、余弦定理的综合应用
例3如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；表示为的函数，
（2）求y＝的最大值与最小值。
解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，由正弦定理
得，
则S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2）
因为，
所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240，当＝时，y取得最小值ymin＝216。
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点。
点击双基
1．在△ABC中，，则△ABC的面积为（）
A.B.C.D.1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案：C

2.如图所示:在一幢20m高的楼顶A测得对面一塔顶C的仰角为60,塔基D的俯角为45,则这座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以这座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°
C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°
解：A,B可根据余弦定理求解，只有一解，选项C中，A为锐角，且ab,只有一解.
选项D中所以有两个解。
答案：D
4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每小时航行____。
解：10海里
5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（）
A.B.
C.D.不能确定大小
解：依题意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案：C
课后作业
1.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案：A
2.边长分别为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A.90B.120C.135D.150
解：用余弦定理算出中间的角为60.
答案：B
3.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）
A.sinA+cosA=B.＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）
A．B．C．D．
解：a
答案：B
5.某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）
A．450a元B．225a元C．150a元D.300a元
解：S==150购买这种草皮至少要150a元
答案：C
6.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）
A．分钟B．分钟C．21.5分钟D．2.15分钟
解：设航行时间为t小时，则两船相距
=
t=-小时=分钟
答案：A
7.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为60°，这时飞机与地面目标的水平距离为（）
A．5000米B．5000米C．4000米D．米

解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案：A
8如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A75°B60°C50°D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大
答案：C
二．填空题
9.某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向。这时灯塔C与D相距海里
答案：
10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围是
解：asinBba,即xsin602x
答案：
11．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
km
答案：
三．解答题
12.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得MC===35
从而有MB=MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
13．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在中，由余弦定理，

14.在中，角A、B、C的对边分别为、、，
，又的面积为.（1）求角C的大小；（2）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因为，所以，
又因为，所以
所以，===5
●思悟小结
1.三角形中的边角问题的求解，或三角形的形状的判定，及其与三角形有关的问题的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角恒等变形去解决。
2.判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及三角变换将已知的边角关系全转化为边的关系或全转化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后判定三角形的形状。注意变换过程中等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能。
3.正确理解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡脚、坡比等名词术语。

正余弦定理的应用举例

俗话说，磨刀不误砍柴工。教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是由小编为大家整理的“正余弦定理的应用举例”，仅供参考，大家一起来看看吧。

正、余弦定理的应用举例（1）
知识梳理
一、解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.
三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
典例剖析
题型一距离问题
例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结，由已知，
，

，又，是等边三角形，
，由已知，，，
在中，由余弦定理，．．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．
题型二高度问题
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，
=。sin4=2sin2cos2
cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h
在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得
BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m
在RtACE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②
②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。
备选题角度问题
例3．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
，
解得（负值舍去）.
由正弦定理，得
，
所以，方位角为.
答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。
点击双基
一.选择题：
1．在△ABC中，下列各式正确的是（）
A.ab＝sinBsinAB.asinC＝csinB
C.asin(A＋B)＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)
解：根据正弦定理得,又sinC=sin(A+B),asin(A＋B)＝csinA
答案：C
2．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是（）
A.52nmileB.103nmileC.1036nmileD.56nmile
解：根据题意知：AB=10，A=60°,B=75°则C=45°,
a===56
答案：D
3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）
?A.米?B.米C.200米D.200米
解：如图，设塔高AB为h，
Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°-60°＝30°
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°-30°＝30°
∴∠BAC＝120°
∴
∴（m）
答案：A
4．某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为，风速为.
答案：东南2a
5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是.
解：103
课后作业
1．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是（）
A.135°B.120°C.60°D.90°
解：根据三角形中大边对大角，可知a2＋ab＋b2所对的角为最大角，设为，则
cos==-,120°
答案：B
2．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据
A.、a、bB.、β、a
C.a、b、γD.α、β、γ
解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、γ，利用余弦定理
可求AB的长度。
答案：C

3.海上有A、B、C三个小岛，已知A、B之间相距8nmile，A、C之间相距5nmile，在A岛测得B岛和C岛的视角为60°，则B岛与C岛相距的nmile数为()
A.7B.6C.5D.4
解：根据题意知：AB=8，AC=5,∠A=60°,根据余弦定理有BC=8=49，BC=7
答案：A
4．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于()
A．15°B．10°
C．5°D．20°
解：如图，BC＝CA，CD＝DA，
设AE＝h，则
∴2cos2＝，∴cos2＝
∴2＝30°，∴＝15°．
答案：A
5.某人朝正东方向走xkm后，向左转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点正好是km，那么x的值为()
A.B.2C.2或D.3
解：如图，设出发点为A，则由已知可得
AB＝x千米，BC＝3千米
∠ABC＝180°-150°＝30°
AC＝，∴，
∴，
∴∠CAB＝60°或∠CAB＝120°
当∠CAB＝60°时，∠ACB＝180°-30°-60°＝90°
x＝2千米
当∠CAB＝120°，∠ACB＝180°-120°-30°＝30°
∴x＝AC＝千米
答案：C
6.已知一塔高80m，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60°和30°，则山高为()
A.240mB.180mC.140mD.120m
解：D
7.如图,建造一幢宽为,房顶横截面为等腰三角形的住房,则∠ABC=,则等于()时,可使雨水从房顶最快流下.
A.300B.450C.600D.任意角
解：根据题意知s=AB=，加速度a=gsin.
由s=得t=,=45时t最小
答案：B
8.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过,该船的实际航程为()
A.B.C.D.
解：船的实际速度是v==2,则经过,该船的实际航程为2=6
答案：B
二．填空题
9．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________．
解：如图，
∠ABC＝180°-105°＝75°
∠BCA＝180°-135°＝45°，
BC＝10cm
∴∠A＝180°-75°-45°＝60°
∴
10．坡度为45°的斜坡长为100m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________．
解：如图，DB＝100m
∠BDA＝45°，∠BCA＝30°
设CD＝x
∴(x＋DA)tan30°＝DAtan45°
又DA＝BDcos45°＝100×
∴x＝-DA

＝50(-1)
＝50()(m)
答案：50()m
11．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在
同一水平面内的两个测点与．测得∠BCD＝15°，
∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点测得塔顶的
仰角为60°,则BC=米,塔高AB=米。
解：在，，
∵
∴
在中，
∴
答案：，
三．解答题
12.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10。∵，∴sin∠ACB=，
∵∠ACB90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东41°方向沿直线前往B处救援。
13．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
解：设，船的速度为，则，.
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，，
船的速度.
14.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解：在中，＝30°，
＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA5分
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距离约为0.33km。

正余弦定理的应用

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助授课经验少的高中教师教学。那么如何写好我们的高中教案呢？下面的内容是小编为大家整理的正余弦定理的应用，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

课时5正弦定理，余弦定理的综合应用
一、课前演练：
1、ΔABC中,sin2A=sin2B则ΔABC的形状为
2、在中，各边分别为，且，
则外接圆的直径为
3、在中，，则=
4、在一幢20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为600，塔底的仰角为450，那么这座塔的高度是_________米.
5、在中，若则的面积为
6、三角形的两边分别是5和3，他们夹角的余弦是方程的
根，则三角形的面积
7、在中，满足条件,,,则，
的面积等于
8、在中，且，求和.

二、例题剖析：
例1：在中，分别是内角的对边，，求边。

例2：已知三角形的一个角为，面积为，周长为，求三角形的各边长。

例3：在中，角对边分别为，且,
（1）.求的值.（2）若，且，求的面积.

例4：如图所示，在地面上有一旗杆，为测得它的高度，在地面上取一线段，，在处测得点的仰角，在处测得点的仰角，又测得。求旗杆的高度（精确到）。

例5：某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间（）

例6:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值

三、课后反馈：
1.在中，若，则
2.在中，已知，则.
3.在中，①；②；③；
④.其中恒为常数的是
4.若，则是
5.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为
6.在中，的对应边分别为，且，则为
7、某人向正东方向走了km后向右转了，然后沿新方向走了km，结果离出发点恰好为km，那么的值为；
8、有一长为m的斜坡，它的倾斜角是，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改成，则坡底要延伸m；
9、甲船在B岛的正南A处，km，甲船以km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以km/h的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是h;
10、一艘船以km/h的速度沿着与水流方向成的方向航行，已知河水流速为km/h，则经过h，该船实际航程为;
11、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，那么B岛和C岛间的距离是海里；
12.已知中,，且，求.

13、如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间?

14.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成角的直线上，设火车的速度是100km/h,求宝塔离铁路线的垂直距离。

15、如图，测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平内的两个测点C和D.现测得，CD=s，并在点C测得塔尖A的仰角为，求塔高AB.

正余弦定理的综合应用

正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理：，其中为外接圆的半径。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：
(1)余弦定理：
；；.
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.
（2）余弦定理的推论：
；；.
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式：==
4.三角形的性质：
①.A+B+C=,,
,
②.在中,＞c,＜c;A＞B＞,
A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B
③.若为锐角，则＞,B+C＞,A+C＞;
＞，＞，＋＞
5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角
一解两解一解
若，则无解；
（2）当A≥90
若ab,则一解
若a≤b，则无解
典例剖析
题型一三角形多解情况的判断
例1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．
（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．
（5）由于为锐角，又，即，
∴无解．
评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为x2，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝x2，
在△ADB中，cosADB＝AD2＋BD2－AB22ADBD＝42＋（x2）2－522×4×x2
在△ADC中，cosADC＝AD2＋DC2－AC22ADDC＝42＋（x2）2－322×4×x2
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.
∴42＋（x2）2－522×4×x2＝－42＋（x2）2－322×4×x2
解得，x＝2
所以，BC边长为2.
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.
备选题正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中，已知，求△ABC的面积.
解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
.
故所求面积
解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得
故所求面积
评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
点击双基
一.选择题：
1.在中，，则A为（）
解：
答案：A
2.在（）
解：由题意及正弦定理可得
答案：B
3.以4、5、6为边长的三角形一定是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形
解：：长为6的边所对角最大，设它为
则
答案A
4.在中，化简___________
解：利用余弦定理，得原式
答案：a
5.在中，，则_______，________
解：
又
答案：
课外作业
一、选择
1.在中，，则A等于（）
解：由余弦定理及已知可得
答案：C
2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是（）
A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定
解：bsinC=20c,无解
答案：C
3.在中，，则三角形为（）
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案C
4.在中，，则是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.正三角形
解：原不等式可变形为
答案：C
5在△ABC中，若，则其面积等于（）
ABCD
解：
答案：D
6在△ABC中，角均为锐角，且
则△ABC的形状是（）
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
解：都是锐角，则
答案：C
7.在△ABC中，cos=,则△ABC的形状是（）
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解：原式可化为=，cosA+1=cosA=
由余弦定理，得，a△ABC为直角三角形
答案：B
8.在△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）
A.4B.4
C.6D.6
解：，==2=2,b+c==2(sinB+sin())==2()=6
a+b+c=6
答案：D
二.填空题：
9.在中，已知，则___________
解：由正弦定理得
设1份为k，则
再由余弦定理得
答案：
10.在中，A、B均为锐角，且，则是_________
解：由得
A、B均为锐角，
而在上是增函数
即
答案：钝角三角形
11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为
解：由题意得或2（舍去）
答案：2
三.解答题：
12..根据下列条件，判断是否有解？有解的做出解答．
①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80
③b=10,c=5,C=60④a=2,b=6,A=30
解：①a=7,b=8,ab,A=10590本题无解
②a=10,b=20,ab,A=8090
bsinA=20sin8020sin60=10absinA
本题无解
③b=10,c=5,bc,C=6090,本题有一解
sinB==
B=45,A=180-(B+C)=75
a====5()
④a=2,b=6,ab,A=3090
又bsinA=6sin30=3,absinA本题有两解
由正弦定理得sinB===
B=60或120
当B=60时，C=90,c===4
当B=120时，C=30,c===2
B=60，C=90,c=4或B=120，C=30,c=2
13：在中，，，，求的值和的面积.
解，又
14.已知的外接圆半径是，且满足条件。
（1）求角C。
（2）求面积的最大值。
解：（1）
即
由正弦定理知
即
由余弦定理得
（2）
当A＝B时，S有最大值