北师大版七年级下册数学《第6章概率初步》全章教案。
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家应该开始写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“北师大版七年级下册数学《第6章概率初步》全章教案”，仅供您在工作和学习中参考。
第六章概率初步教材简析
本章的主要内容有事件的分类及判断随机事件可能性的大小；随机事件发生频率的稳定性；等可能事件的概率及计算简单事件发生的概率．
在认识可能性的基础上，进一步理解事件的分类和随机事件可能性的大小，然后通过试验感受在实验次数很大时，随机事件发生频率的稳定性，进而认识等可能事件的概率，体会概率是描述随机现象的数学模型．本章内容是中考重要考点之一，主要以考查随机事件、必然事件与不可能事件等概念的区分以及简单的概率计算为主，题型以选择题、填空题为主，难度较小．
教学指导
【本章重点】
求等可能事件的概率．
【本章难点】
借助频率的稳定性理解概率，根据事件发生的概率解决实际问题．
【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的学习方法，如通过类比，学习和区分随机事件、必然事件与不可能事件．
2．体会数形结合思想，如从图表中获取有用信息，从而利用图表解决实际问题；根据几何图形的面积的大小，确定随机事件发生的概率，并解决有关实际问题．
3．体会转化思想，如本章所涉及的有关几何概率的计算题都转化为用公式P(A)＝来解．
课时计划
1感受可能性1课时
2频率的稳定性2课时
3等可能事件的概率4课时
1感受可能性
教学目标
一、基本目标
1．理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，并能区分必然事件、不可能事件、随机事件．
2．在实际问题中，感受随机事件发生的可能性是有大有小的．
二、重难点目标
【教学重点】
识别必然事件、不可能事件、随机事件．
【教学难点】
判断事件发生可能性的大小．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P136～P138的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．必然事件：一定会发生的事件．
2．不可能事件：一定不会发生的事件．
3．必然事件和不可能事件统称为确定事件.
4．随机事件：无法事先确定会不会发生的事件．
5．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是(A)
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于2
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于2
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
6．一只不透明的袋子中有1个红球、1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其他都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性大于摸出红球可能性．(填等于小于或大于)
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边落山；
(2)a2＋b2＝－1(其中a、b都是实数)；
(3)水往低处流；
(4)三个人性别各不相同；
(5)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【互动探索】(引发学生思考)如何判断事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？
【解答】(1)(3)是必然事件；(2)(4)是不可能事件；(5)是随机事件．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断必然事件、不可能事件和随机事件最简单的方法：判断这个句子的正确性．如果这句话是正确的，那么它就是必然事件；如果这句话是错误的，那么它就是不可能事件；其他情况均为随机事件．
【例2】一个不透明的口袋中有7个红球、5个黄球、4个绿球，这些球除颜色外没有其他区别．现从中任意摸出一球，如果要使摸到绿球的可能性最大，需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？请简要说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)此题中可能性的大小与什么有关？
【解答】至少再放入4个绿球．理由：袋中有绿球4个，再至少放入4个绿球后，袋中有不少于8个绿球，数量最多，这样摸到绿球的可能性最大．
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于此类判断事件发生可能性大小的问题，由生活经验可知，在同类事物中，一种物品的数量越多，则摸到或选中的可能性就越大，即可能性的大小主要看这个事件中出现这个结果的机会的大小．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下列语句描述的事件中，是随机事件的为(D)
A．水能载舟，亦能覆舟B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成D．心想事成，万事如意
2．在利用如图所示的程序进行计算时，下列事件中，属于必然事件的是(A)
A．当x＝2时，y＝0B．当x＝0时，y＝4
C．当x＞0时，y＞0D．当x＞0时，y＜0
3．如图，转动如图所示的一些可以自由转动的转盘，当转盘停止时，猜想指针落在黑色区域内的可能性大小，将转盘的序号按可能性从小到大的顺序排列为④①②③.
4．在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件、还是必然事件．
(1)从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
(2)从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
(3)从口袋中一次任取5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
(4)从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
解：(1)随机事件；(2)不可能事件；(3)随机事件；(4)随机事件．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
2频率的稳定性
第1课时频率及其稳定性
教学目标
一、基本目标
1．通过试验理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率．
2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，体验数学的应用价值，发展学生的应用数学的能力．
3．在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力．
二、重难点目标
【教学重点】
估计某一事件发生的频率．
【教学难点】
大量重复试验得到频率的稳定值的分析．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P140～P142的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率．
2．一般地，在试验次数很大时，某事件发生的频率会在一个常数附近摆动，即该事件发生的频率具有稳定性．
3．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p＝，则下列说法正确的是(D)
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近
4．在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小菁四位同学用投掷一枚图钉的方法估计顶尖朝上的可能性，他们的试验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中，小菁的试验相对科学．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七(4)班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n5010030050080010002000
摸到红球的次数m143395155241298602
摸到红球的频率0.280.3170.31
(1)请将表中的数据补充完整；
(2)请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近________.(精确到0.1)
【互动探索】(引发学生思考)(1)用摸到红球的次数除以摸球的次数，得到摸到红球的频率；(2)从上面的试验可以发现，虽然每次摸出的结果是随机的、无法预测的，但随着试验次数的增加，摸到红球的频率将会接近0.3.
【解答】(1)0.330.3010.2980.301
(2)0.3
【互动总结】(学生总结，老师点评)熟记频率的定义和稳定性是解此题的关键．
【例2】一个不透明的盒子里装有除颜色外其他都相同的红球6个和白球若干个，每次随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则盒子中白球可能有()
A．12个B．14个
C．18个D．20个
【互动探索】(引发学生思考)设袋中白球的个数为a.根据题意，得0.3＝，解得a＝14.
故盒子中白球可能有14个．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题也可以直接用红球的个数除以得到红球的频率求得球的总个数，再减去红球的个数．
活动2巩固练习(学生独学)
1．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是(D)
A．买一张这种彩票一定不会中奖
B．买一张这种彩票一定会中奖
C．买100张这种彩票一定会中奖
D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
2．在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共80个，除颜色外其他都相同，小明将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回塑料袋中，通过大量重复试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在30%附近，则塑料袋中白色球的个数为(A)
A．24B．30
C．50D．56
3．一粒木质的中国象棋子车，它的正面雕刻一个车字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是车字面朝上，也可能是车字面朝下．七年级某试验小组做了掷棋子的试验，试验数据如下表：
试验次数2080100160200240300360400
车字朝上的频数14485084112144172204228
相应的频率0.700.600.530.560.600.57
(1)请将数据表补充完整；
(2)根据上表，画出车字面朝上的频率的折线统计图；
(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在多少？
解：(1)0.500.570.57
(2)根据题意画图如下：
(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在0.57左右．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．频率的定义
在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率．
2．频率的稳定性
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时用频率估计概率
教学目标
一、基本目标
1．知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值．
2．在具体情境中理解并掌握概率的意义，能根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率．
3．让学生经历猜想试验收集数据分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型，初步理解频率与概率的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率．
【教学难点】
理解频率与概率的关系．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P143～P145的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．概率：用常数来表示事件A发生的可能性的大小，我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A).
2．一般地，大量重复试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率．
3．必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
4．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是(D)
A．种植10棵幼树，结果一定有9棵幼树成活
B．种植100棵幼树，结果一定是90棵幼树成活和10棵幼树不成活
C．种植10n棵幼树，恰好有n棵幼树不成活
D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
5．在一次统计中，调查英文文献中字母E的使用率，在几段文献中，统计字母E的使用数据得到下列表中部分数据：
文献字母个数字母E的个数字母E的使用率
9821210.123
112379030.080
534406523810.098
3356979234110790.102
1082749531071922010.99
21956800752206658470.101
(1)请将上表补充完整；
(2)通过计算表中数据可以发现，字母E的使用频率在0.1左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计字母E在文献中使用概率是0.1.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例题】随机掷一枚图钉，落地后只能出现两种情况：钉尖朝上和钉尖朝下．这两种情况的可能性一样大吗？
(1)求真小组的同学们进行了试验，并将试验数据汇总填入下表.
试验总次数n204080120160200240280320360400
钉尖朝上的次数m4123260100140156196200216248
钉尖朝上m的频率n0.20.30.40.50.6250.70.650.7①②③
请补全表格：①______，②______，③______；
(2)为了加大试验的次数，老师用计算机进行了模拟试验，将试验数据制成如图所示的折线图．
据此，同学们得出三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录钉尖朝上的次数是308，所以钉尖朝上的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，据此估计钉尖朝上的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，当投掷次数为1000时，则钉尖朝上的次数一定是620次．
其中合理的是________；
(3)向善小组的同学们也做了1000次掷图钉的试验，其中640次钉尖朝上．据此，他们认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大．你赞成他们的说法吗？请说出你的理由．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据频率的定义求解可得；(2)根据频率估计概率判断即可；(3)根据概率的意义，结合题意可得答案．
【解答】(1)0.6250.60.62
(2)②
(3)赞成．理由：随机投掷一枚图钉1000次，其中针尖朝上的次数为640，针尖朝上的频率为0.64，试验次数足够大，足以说明钉尖朝上的可能性大，故赞成他们的说法．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用一个事件发生的频率估计这一事件发生的概率时，两者之间总存在一定的差异．当试验次数很多时，随机事件出现的频率稳定在相应的概率附近．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这么球员投篮一次，投中的概率约是(C)
投篮次数1050100150200250300500
投中次数4356078104123152251
投中频率0.400.700.600.520.520.490.510.50
A．0.7B．0.6
C．0.5D．0.4
2．口袋中有9个球，其中4个红球、3个蓝球、2个白球．在下列事件中，发生的可能性为1的是(C)
A．从口袋中拿一个球恰为红球
B．从口袋中拿出2个球都是白球
C．拿出6个球中至少有一个球是红球
D．从口袋中拿出的球恰为3红2白
3．甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(D)
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
3等可能事件的概率
第1课时概率的计算方法
教学目标
一、基本目标
理解和掌握概率的计算方法，体会概率是描述随机现象的数学模型．
二、重难点目标
【教学重点】
概率的计算方法．
【教学难点】
灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P147～P148的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中一种结果出现．如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的．
2．一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
3．完成教材P147议一议第1题：
解：(1)会摸到1号球、2号球、3号球、4号球、5号球这5种可能的结果．
(2)相同．它们的概率均为.
4．完成教材P147议一议第2题：
解：所有可能的结果有有限个，每种结果出现的可能性相等．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例题】一只不透明的箱子里共有8个球，其中2个白球、1个红球、5个黄球，它们除颜色外均相同．
(1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
(2)再往箱子中放入多少个黄球，可以使摸到白球的概率变为0.2?
【互动探索】(引发学生思考)(1)从袋中任意摸出一个球，可能出现的结果有多少种？满足条件的结果有多少种？(2)已知摸到白球的概率，可以根据概率公式列方程求解．
【解答】(1)因为一只不透明的箱子里共有8个球，其中2个白球，
所以从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是＝.
(2)设再往箱子中放入x个黄球．
根据题意，得＝0.2，
解得x＝2.
故再往箱子中放入2个黄球，可以使摸到白球的概率变为0.2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求概率主要是求随机事件发生的概率，关键是分别求出事件所有可能出现的结果数和所求的随机事件可能出现的结果数，后者与前者的比值即为该事件发生的概率．(2)第(2)问也可以根据概率公式直接用除法求出盒子中球的总数，从而求出还需要往箱子中放入的黄球个数．
活动2巩固练习(学生独学)
1．完成教材P148习题6.4第1～3题．
略
2．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球、4个黑球．
(1)求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
(2)若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．
解：(1)因为一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球、4个黑球，
所以从中随机抽取出一个黑球的概率是.
(2)因为口袋中有3个白球、4个黑球，再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，
所以＝，则y＝3x＋5.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时游戏的公平性及按要求设计游戏
教学目标
一、基本目标
理解游戏的公平性，并能根据不同问题的要求设计出符合条件的摸球游戏．
二、重难点目标
【教学重点】
判断游戏的公平性，根据题目题目要求设计游戏方案．
【教学难点】
按题目要求设计游戏方案．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P149～P150的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．用概率判断游戏的公平性：若获胜的概率相同，则游戏公平；若获胜的概率不相同，则游戏不公平.
2．按要求设计游戏：若设计公平的游戏，则要使随机事件发生的概率相等；若设计不公平的游戏，则要使随机事件发生的概率不相等.
3．完成教材P149议一议：
解：(1)第二位同学说的有道理．
(2)不公平．游戏是否公平，应看双方获胜的概率是否相等．
4．完成教材P149做一做：
解：(1)在一个不透明的口袋里装入除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，摇匀后，从中任摸一球，则摸到红球的概率为，摸到白球的概率也为.
(2)在一个不透明的口袋里装入除颜色外完全相同的2个红球、1个白球和1个黄球，摇匀后，从中任摸一球，则摸到红球的概率为，摸到白球和黄球的概率都为.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】小明和小红一起做游戏，在一个不透明的袋中有8个白球和6个红球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一球，若摸到白球小明胜；若摸到红球小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若你认为不公平，请你改动一下规则，使游戏对双方都是公平的．
【互动探索】(引发学生思考)根据概率公式可计算出P(小明胜)和P(小红胜)，再比较两个概率的大小即可判定游戏不公平，然后改动规则，满足袋中白球和红球的个数相等即可．
【解答】不公平．理由如下：
因为P(小明胜)＝＝，P(小红胜)＝＝，
而，即P(小明胜)＞P(小红胜)，
所以这个游戏不公平．
可改为：从袋中取出2个白球或放入2个红球，使袋中白球和红球的个数相等，这样游戏对双方都是公平的．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断游戏对双方是否公平，关键是看双方在游戏中所关注的事件发生的概率是否相等．
【例2】用12个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
(1)使得摸到红球、白球和蓝球的概率都是；
(2)使得摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，摸到蓝球的概率为.
【互动探索】(引发学生思考)根据摸到各种颜色球的概率，求出它们的个数，便可进行游戏的设计．
【解答】(1)根据概率的计算公式可知，P(摸到红球)＝，所以摸到红球可能出现的结果数＝所有可能出现的结果数P(摸到红球)＝12＝4；同理可得摸到白球和蓝球可能出现的结果数均为4，所以只要使得红球、白球和蓝球的数目均为4个，就能满足题目要求．
(2)同理，由(1)可知，只要使得红球的数目为4个，白球的数目为6个，蓝球的数目为2个，就能满足题目要求．
【互动总结】(学生总结，老师点评)灵活运用概率的计算公式求出各色球的个数是解题的关键．
活动2巩固练习(学生独学)
1．有8个大小相同的球，设计一个摸球游戏，使摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，摸到绿球的概率为0，则白球有4个，红球有2个，绿球有0个．
2．有一盒子中装有3个白色乒乓球、2个黄色乒乓球、1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．
(1)你认为李明同学摸出的球，最有可能是白色颜色；
(2)请你计算摸到每种颜色乒乓球的概率；
(3)李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
解：(2)P(摸到白色乒乓球)＝＝，P(摸到黄色乒乓球)＝＝，P(摸到红色乒乓球)＝.
(3)公平．理由如下：因为P(摸到白色乒乓球)＝，P(摸到其他球)＝＝，所以这个游戏对双方公平．
3．现在有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏．(要求写出设计方案)
(1)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；
(2)使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；
(3)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率．
解：(1)12个球中，有6个红球、6个白球可使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等．
(2)12个球中，有4个红球、4个白球、4个黑球可使摸到红球、白球、黑球的概率都相等．
(3)12个球中，有3个红球、3个白球、6个黑球可使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．游戏的公平性
2．按要求设计游戏
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时几何图形中的概率
教学目标
一、基本目标
1．理解和掌握与面积有关的一类事件发生的概率的计算方法，并能进行简单的计算．
2．能设计符合要求的简单概率模型，进一步体会概率的意义．
二、重难点目标
【教学重点】
能计算与面积有关的一类事件发生的概率．
【教学难点】
能设计符合要求的简单概率模型．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P151～P152的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型．
2．与面积有关的几何概率也就是概率的大小与面积大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积除以所有可能结果所组成的图形的总面积．
3．完成教材P152想一想：
解：(1)图中共有20块方砖组成，这些方砖除颜色外其他完全相同，小球停留在任何一块方砖上的概率都相等，所以P(小球停留在白砖上)＝＝.
(2)同意．因为袋中共有20个球，这些球除颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，这20个球被摸到的概率都相等，所以P(任意摸出一球是白球)＝＝.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P2，则()
A．P1＞P2B．P1＜P2
C．P1＝P2D．以上都有可能
【互动探索】(引发学生思考)由图甲可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，所以黑色方砖在整个地板中所占的比值为＝，所以在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P1＝；由图乙可知，黑色方砖3块，共有9块方砖，所以黑色方砖在整个地板中所占的比值＝＝，所以在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P2＝.因为＞，所以P1＞P2.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用公式求几何概率通常分为三步：(1)分析事件所占面积与总面积的关系；(2)计算出各部分的面积；(3)代入公式求出几何概率．
【例2】如图，一个可以自由转动的转盘被均匀的分成了20个扇形区域，其中一部分被阴影覆盖．
(1)转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分的概率是多少？
(2)试再选一部分扇形涂上阴影，使得转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分的概率变为.
【互动探索】(引发学生思考)(1)先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中所占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率；(2)根据概率等于相应的面积与总面积之比得出阴影部分面积即可．
【解答】(1)因为转盘被均匀的分成了20个扇形区域，阴影部分占其中的6份，
所以转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分的概率＝＝.
(2)如图所示，当转盘停止时，指针落在阴影部分的概率变为.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在几何概型中若是等分图形，则只需求出总的图形个数与某事件发生的图形个数；若不是等分图形，则需求出各图形面积的大小．
活动2巩固练习(学生独学)
1．有一把钥匙藏在如图所示的16块正方形瓷砖的某一块下面，则钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是(C)
A．B．
C．D．
2．图中有四个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成若干等分，转动转盘，当转盘停止后，指针指向白色区域的概率相同的是(D)
A．转盘2与转盘3B．转盘2与转盘4
C．转盘3与转盘4D．转盘1与转盘4
3．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作黄道，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称二十四节气．这一时间认知体系被誉为中国的第五大发明．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是.
4．向如图所示的正三角形区域内扔沙包(区域中每个小正三角形除颜色外完全相同)，沙包随机落在某个正三角形内．
(1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是；
(2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．
解：如图所示，要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑2个小正三角形(涂法不唯一)．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
几何图形中的概率计算公式：
P(A)＝
练习设计
请完成本课时对应练习！
第4课时转盘问题
教学目标
一、基本目标
计算转盘问题中的概率，进一步理解几何概型，能设计出符合要求的简单概率模型．
二、重难点目标
【教学重点】
计算转盘问题中的概率．
【教学难点】
设计符合要求的简单概率模型．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P154～P155的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．转盘问题中的概率计算：指针停留在某扇形内的概率等于该扇形的面积除以圆的面积，即P(指针停留在某扇形内)＝＝.
2．完成教材P154想一想：
解：P(落在红色区域)＝＝，P(落在白色区域)＝＝＝.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例题】某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：
本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．(转盘的各个区域均被等分)
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)小亮的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
(2)请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小；(2)指针落在某一区域的事件发生概率为，则该区域应该有6份，据此解答即可．
【解答】(1)因为转盘被等分为16份，黄色占1份，白色占11份，所以获得50元、5元购物券的概率分别是，.
(2)根据概率的意义可知，若指针落在某一区域的事件发生概率为，那么该区域应有16＝6(份)．根据等级越高，中奖概率越小的原则，此处应涂绿色，事件为获得10元购物券．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)转盘中哪种区域的面积越大，则指针指向哪种区域的概率越大；(2)根据几何概率的大小设计概率模型就是选定一个图形，再分割图形，使其中一部分图形的面积与总面积的比值等于几何概率．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在阴影区域的概率是.
2．完成教材P155随堂练习第1～2题．
略
3．有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1到12这12个整数(每个面只有一个整数且互不相同)，投掷这个正12面体一次，记事件A为向上一面的数字是3的整数倍，记事件B为向上一面的数字是4的整数倍请你判断事件A与事件B，哪个发生的概率大，并说明理由．
解：因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，，所以事件A发生的概率大于事件B发生的概率．
4．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6.
(1)若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少？
(2)请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为.
解：(1)指针指向奇数区的概率是＝.
(2)答案不唯一，如：自由转动的转盘停止时，指针指向大于2的区域．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
转盘问题的概率计算公式：
P(指针停留在某扇形内)＝＝
练习设计
请完成本课时对应练习！
相关知识
北师大七年级下册数学《第3章变量之间的关系》全章教案
第三章变量之间的关系
教材简析
本章的主要内容有：(1)两个变量之间关系的表示方法及变量、自变量、因变量的意义；(2)根据表格、图象、关系式获取信息并解决一些实际问题．
本章从常量的世界进入变量的世界，开始接触新的思维方式．经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识；从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时在本单元的学习中注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来．本章内容是中考的必考内容，主要考查变量间关系的三种表示方式(表格法、关系式法和图象法)以及从图象中获取信息，多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现在解答题中，难度适中．
教学指导
【本章重点】
自变量、因变量的理解，图象的认识．
【本章难点】
根据具体问题，选取用表格、关系式或图象来表示某些变量间的关系，并结合对某些变量之间关系的分析，尝试对某些变化趋势进行预测．
【本章思想方法】
1．体会和掌握由特殊到一般的思想方法，如通过一些具体、特殊的实例，找出一般的规律，再用这个规律指导实践，得出所需要的具体的数据．
2．体会数形结合的思想方法，如利用图象确定变量之间关系以及预测变化趋势等，其关键是明确横轴、纵轴所表示的实际意义．
3．体会分类讨论的思想方法，如根据题目给出的不同条件进行判断，然后分类讨论，找出合适的等量关系，列出方程并求解．
课时计划
1用表格表示的变量间关系1课时
2用关系式表示的变量间关系1课时
3用图象表示的变量间关系2课时
1用表格表示的变量间关系
教学目标
一、基本目标
1．理解变量、自变量和因变量的意义，明确可以列表格表示两个变量之间的关系．
2．能从表格中读取信息，并解决相关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
能从表格的数据中分清什么是变量、自变量、因变量，以及因变量随自变量的变化情况．
【教学难点】
对表格所表达的两个变量关系的理解．
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．完成教材P62引入问题：
解：(1)1.59s.
(2)随着h逐渐变大，t逐渐变小．
(3)不相同．
(4)根据(3)中的发现进行估计，可以是1.35s到1.29s中的任意一值．
(5)小车下滑时间t及下滑速度v等量发生变化，小车质量始终不发生变化．
归纳总结：(1)在教材P62的表1中，支撑物高度h和小车下滑时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量；
(2)在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；取值始终保持不变的量，叫做常量．
2．完成教材P62议一议：
解：(1)随着x的增大，y逐渐增大．
(2)答案不唯一，如：从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口分别增加1.3亿、1.35亿、1.68亿、1.32亿、1.52亿、0.76亿．
3．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x(单位：千瓦时)时，收取电费为y(单位：元)．在这个问题中，下列说法正确的是(D)
A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量
B．y是自变量，x是因变量
C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量
D．x是自变量，y是因变量
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】写出下列各题关系式中的常量与变量．
(1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式为n＝6t；
(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式为s＝40t.
【互动探索】(引发学生思考)什么是常量？什么是变量？各有什么特点？
【解答】(1)常量：6；变量：n、t.
(2)常量：40；变量：s、t.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先确定在某过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，再根据数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量解决问题．
【例2】某电动车厂2018年各月生产电动车的数量情况如下表：
时间x/月123456
月产量y/万辆88.59101112
时间x/月789101112
月产量y/万辆109.59101010.5
(1)为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
(2)哪个月电动车的产量最高？哪个月电动车的产量最低？
(3)哪两个月之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？
【互动探索】(引发学生思考)(1)从表中可以看出电动车的月产量y随时间x的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是电动车的月产量y；(2)(3)根据表中信息答题即可．
【解答】(1)电动车的月产量y为随着时间x的变化而变化，一个时间x就有唯一一个y与之对应，因而月产量y是时间x的因变量．
(2)6月电动车的产量最高，1月电动车的产量最低．
(3)6月和1月产量相差最大．厂长应在1月份安排工人加紧生产，实现产量的增值．
【互动总结】(学生总结，老师点评)观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小．
活动2巩固练习(学生独学)
1．要画一个面积为20cm2的长方形，其长为xcm，宽为ycm.在这一变化过程中，常量与变量分别为(A)
A．常量为20，变量为x、yB．常量为20、y，变量为x
C．常量为20、x，变量为yD．常量为x、y，变量为20
2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)间有下面的关系：
x(kg)012345
y(cm)1010.51111.51212.5
下列说法不正确的是(C)
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
3．A、B两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到B地，若他距B地的距离为y千米，到达时用时x小时．请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量．
解：在这个变化过程中，自变量是时间x，因变量是他距B地的距离y.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
变量
表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测．
练习设计
请完成本课时对应练习！
2用关系式表示的变量间关系
教学目标
一、基本目标
1．能根据具体情境用关系式表示某些变量之间的关系．
2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．
二、重难点目标
【教学重点】
找出题中的自变量和因变量．
【教学难点】
根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．(教材P66引入问题)如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是底边BC长，因变量是△ABC的面积；
(2)如果三角形的底边长为x(cm)，那么三角形的面积y(cm2)可以表示为y＝3x；
(3)当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从36cm2变化到9cm2.
2．(教材P67议一议)低碳生活是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．如下表：
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量(kg)＝耗电量(kWh)0.785
开私家车的二氧化碳排放量(kg)＝耗油量(L)2.7
家用天然气二氧化碳排放量(kg)＝天然气使用量(m3)0.19
家用自来水二氧化碳排放量(kg)＝自来水使用量(t)0.91
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y＝0.785x，其中的字母表示y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量；
(2)在上述关系式中，耗电量每增加1kWh，二氧化碳排放量增加0.875kg.当耗电量从1kWh增加到100kWh时，二氧化碳排放量从0.875kg增加到87.5kg；
(3)小明家本月用电大约110kWh、天然气20m3、自来水5t、耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
解：1100.785＋752.7＋200.19＋50.91＝297.2(kg)．
即小明家这几项的二氧化碳排放量是297.2kg.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s)1234
距离s(m)281832
写出用t表示s的关系式为________.
【互动探索】(引发学生思考)观察表中给出的t与s的对应值分析数据归纳得出关系式．
【分析】t＝1时，s＝212；
t＝2时，s＝222；
t＝3时，s＝232；
t＝4时，s＝242，
所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t0.
【答案】s＝2t2(t0)
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)关系式一般是用含有自变量的代数式表示因变量的等式；(2)关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边；(3)利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值，但已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，不要代错了．
【例2】一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
行驶时间t(h)01234
油箱中剩余油量Q(L)5446.53931.524
根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；
(2)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？
【互动探索】(引发学生思考)(1)分析表中数据可知，每行驶1h耗油量为7.5L，由此可写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的关系式；(2)由(1)知，汽车每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，用后者除以前者即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．
【解答】(1)Q＝54－7.5t.
把t＝6代入，得Q＝54－7.56＝9.
即这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中剩余油量为9L.
(2)547.5＝7.2(h)．
即这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶7.2h.
【互动总结】(学生总结，老师点评)观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．
活动2巩固练习(学生独学)
1．变量x与y之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝2时，因变量y的值是(C)
A．－2B．－1
C．1D．2
2．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是(B)
A．y＝4n－4B．y＝4n
C．y＝4n＋4D．y＝n2
3．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为2.
―――
4．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式；
(2)6小时后池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
解：(1)Q＝800－50t(0t16)．
(2)当t＝6时，Q＝800－506＝500.
即6小时后池中还剩500立方米水．
(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.
即12小时后，池中还有200立方米的水．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
求变量之间关系式的三途径：
(1)根据表格中所列的数据，归纳、总结两个变量的关系式；
(2)利用公式写出两个变量之间的关系式；
(3)结合实际问题写出两个变量之间的关系式．
练习设计
请完成本课时对应练习！
3用图象表示的变量间关系
第1课时曲线型图象
教学目标
一、基本目标
1．结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
2．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
理解图象上的点所表示的意义．
【教学难点】
能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P69～P71的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．完成教材P69引入问题：
解：(1)上午9时的温度是27℃，12时的温度是31℃.
(2)这一天的最高温度是37℃，是在15时达到的；最低温度是23℃，是在3时达到的．
(3)这一天的温差是37－23＝14(℃)．从最低温度到最高温度经过了15－3＝12(小时)．
(4)3时到15时温度在上升，0时到到3时、15时到24时温度在下降．
(5)A点表示21时的温度为31℃，B点表示0时的温度为26℃.
(6)次日凌晨1时温度约是24℃.理由略．
规律总结：(1)图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观；
(2)在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
2．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气(D)
A．惊蛰B．小满
C．立秋D．大寒
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与A、B、C、D匹配的图象()
A．(3)(2)(4)(1)B．(2)(3)(1)(4)
C．(2)(3)(4)(1)D．(3)(2)(1)(4)
【互动探索】(引发学生思考)A容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图(3)；B容器直径大，上升速度慢，故B应是图(2)；C容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图(4)；D先最快，再速度放慢，然后速度又变快，最后速度不变，故D应是图(1)．故选A．
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于题目中有不规则容器，图象多为不规则变化，要确定这种变化关系，可以从容器横截面的变化情况进行判断．
【例2】如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是()
A．这天15时温度最高
B．这天3时温度最低
C．这天最高温度与最低温度的差是13℃
D．这天0～3时，15～24时温度在下降
【互动探索】(引发学生思考)横轴表示时间，纵轴表示温度．温度最高应找到图象的最高点所对应的x值，即15时，A正确；温度最低应找到图象的最低点所正确应的x值，即3时，B正确；这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38－22＝16(℃)，C错误；从图象看出，这天0～3时，15～24时温度在下降，D正确．故选C．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)认真观察图象，明确时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值．
活动2巩固练习(学生独学)
1．某市一周平均气温(℃)如图所示，下列说法不正确的是(C)
A．星期二的平均气温最高
B．星期四到星期日天气逐渐转暖
C．这一周最高气温与最低气温相差4℃
D．星期四的平均气温最低
2．如图所示是某市2018年6月份某一天的气温随时间变化的情况．
观察此图回答下列问题：
(1)这天的最高气温是38_℃；
(2)这天在3时至15时范围内温度在上升；
(3)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是25℃.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观．
2．曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合横、纵坐标轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的意义．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时折线型图形
教学目标
一、基本目标
1．学会从折线型图形中提取信息，作出判断．
2．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
二、重难点目标
【教学重点】
通过速度随时间变化的实际情境，分析出变量之间关系．
【教学难点】
根据现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P73～P74的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．变量之间的关系的表示方法有：表格法、关系式法、图象法.
2．(教材P73引入问题)每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度．你知道现在汽车的速度是多少吗？
解：现在汽车的速度是50km/h.
3．完成教材P74引入问题：
解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是90km/h.
(2)汽车在2至6分和18至22分的时段里保持匀速行驶，时速分别为30km/h和90km/h.
(3)答案不唯一，如：发生故障、停止不动．
(4)略
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明搭轻轨回到家．下面能反映在此过程中小明与家的距离y与时间x的关系的大致图象是()
【互动探索】(引发学生思考)根据从学校回家，可得与家的距离是越来越近；根据步行的速度慢，可得离家的距离变化小；根据搭轻轨的速度快，可得离家的距离变化大．
【分析】A．随着时间的变化，离家的距离越来越远，故A、B错误；
C．随着时间的变化，步行离家的距离变化快，搭轻轨的距离变化慢，不符合题意，故C错误；
D．随着时间的变化，步行离家的距离变化慢，搭轻轨的距离变化快，符合题意，故选D．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，解决此类问题时，要对图象中各个线段的意义正确理解．
【例2】端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的图象如图所示．
根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？
(2)求乙与甲相遇时乙的速度．
【互动探索】(引发学生思考)明确横轴、纵轴分别表示什么，再分段提取相关信息解题．
【解答】(1)由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米；由横坐标看出，乙队先到达终点．
(2)由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后行的路程是1000－400＝600(米)，加速后用的时间是3.8－2.2＝1.6(分钟)，所以乙与甲相遇时乙的速度是6001.6＝375(米/分钟)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决双图象问题时，正确识别图象，弄清楚两图象所代表的意义，从中挖掘有用信息，明确实际意义．
活动2巩固练习(学生独学)
1．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OAB为折线)，这个容器的形状是(C)
2．如果OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快(C)
A．2.5mB．2m
C．1.5mD．1m
3．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：
(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？
(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？
解：(1)玲玲到达离家最远的地方是12时，此时离家30千米．
(2)她10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9时～10时，速度为10(10－9)＝10(千米/时)；10时～10时30分，速度约为(17.5－10)(10.5－10)＝15(千米/时)；10时30分～11时，速度约为0；11时～12时，速度为(30－17.5)(12－11)＝12.5(千米/时)；12时～13时，速度为0；13时～15时，在返回的途中，速度为30(15－13)＝15(千米/时)．由此可知，骑行最快有两段时间：10时～10时30分；13时～15时，两段时间的速度都是15千米/时．
(4)玲玲全程骑车的平均速度为(30＋30)(15－9)＝10(千米/时)．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．在表示两变量间关系时，图象法是关系式法和表格法的几何表现形式．
2．图象法能直观反映变量间的整体变化情况及变化规律，是表格法、关系式法所无法代替的．
练习设计
请完成本课时对应练习！
北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写一段优秀的教案课件吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案”，相信能对大家有所帮助。
第五章生活中的轴对称教材简析
本章的主要内容有轴对称和轴对称图形的概念以及它们的区别、联系；简单的轴对称图形的性质；利用轴对称进行图案设计．
在对轴对称图象的初步认识的基础上，通过观察、认识、分析生活中的轴对称现象，研究轴对称及其基本性质，进而动手操作利用轴对称进行图案设计．
本章是中考的必考内容，主要考查轴对称、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定方法与性质，考查形式灵活多样，主要有选择题、填空题和解答题，难度不大．
教学指导
【本章重点】
1．轴对称图形的性质．
2．角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质．
【本章难点】
1．利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决简单的计算和书写推理的过程．
2．轴对称与轴对称图形的区别与联系．
3．利用轴对称的性质进行图案设计．
【本章思想方法】
1．体会分类讨论思想，如根据等腰三角形的特殊性，需分类讨论已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边等．
2．体会转化思想，如在利用垂直平分线的性质定理求三角形的周长时，把三角形周长转化为已知线段的和．
课时计划
1轴对称现象1课时
2探索轴对称的性质1课时
3简单的轴对称图形3课时
4利用轴对称进行设计1课时
1轴对称现象
教学目标
一、基本目标
1．经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动经验和发展学生的空间观念．
2．理解轴对称图形和成轴对称的图形的定义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴．
3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
二、重难点目标
【教学重点】
通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形，会找出简单的轴对称图形的对称轴．
【教学难点】
理解轴对称图形和轴对称的联系与区别．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P115～P117的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
2．如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
3．下列图形中是轴对称图形的有(B)
A．①②B．①④
C．②③D．③④
4．两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点．
解：如图所示：
它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？
【解答】(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形；(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，沿这条直线折叠，使它两旁的部分能够互相重合．
【例2】图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
【互动探索】(引发学生思考)可用两个图形成轴对称的概念来解决．
【解答】图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称．
整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别：
两个图形成轴对称轴对称图形
联系操作方式相同：沿一条直线折叠
沿直线折叠后，直线两旁的图形能完全重合
可以相互转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，就可以得到一个轴对称图形；把轴对称图形两旁的部分分别看作两个图形，它们就是成轴对称的两个图形
区别成轴对称是对于两个图形而言轴对称图形是对于一个图形而言
两个图形分居一条直线两旁一个图形被直线分成两部分
折叠后，一个图形与另一个图形完全重合折叠后，图形的一部分与另一部分互相重合(即重合到自身上)
(2)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状与位置的关系．
活动2巩固练习(学生独学)
1．誉为全国第三大露天碑林的浯溪碑林，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(C)
2．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为书.
3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
正多边形的边数34567
对称轴的条数34567
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
解：如图：
4．观察图中的各种图形，说明哪些图形放在一起可形成轴对称．
解：根据轴对称图形的性质得出：(1)和(6)，(2)和(4)，(9)和(10)能形成轴对称图形．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】轴对称在数学计算中有巧妙的应用．如图1，现要计算长方形中六个数字的和，我们发现，把长方形沿对称轴l1对折，重合的数字均为4，故六个数字的和为34＝12；若沿对称轴l2对折，则六个数字的和可表示为42＋22＝12.受上面方法的启发，请快速计算正方形(图2)中各数字之和．
图1图2
【互动探索】利用轴对称图形对称位置上的两数相加和相等来进行简便计算．
【解答】如图所示，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线所在直线当作对称轴，把正方形对折一下，对称位置上的两数之和均为10，这样正方形中各数字之和为1010＋55＝125.
【互动总结】(学生总结，老师点评)数形结合是初中数学的一种重要思想方法，在求一组有特殊规律的数字的和时，经常会用到对称的思想及其相关的知识．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
轴对称现象
练习设计
请完成本课时对应练习！
2探索轴对称的性质
教学目标
一、基本目标
1．经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念．
2．理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
二、重难点目标
【教学重点】
探索并掌握轴对称的性质．
【教学难点】
运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P118～P119的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角.
2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
3．画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.
4．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；相等的角：B＝E，C＝D，BAF＝EAF，AFD＝AFC．
5．把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
解：如图所示：
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2cm，C＝95，则AE＝________，D＝________.
【互动探索】(引发学生思考)因为△ABC和△AED关于直线l对称，AB＝2cm，C＝95，所以AE＝AB＝2cm，D＝C＝95.
【答案】2cm95
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题应先根据条件确定对应点，从而确定对应线段、对应角．
【例2】画出△ABC关于直线l的对称图形．
【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？
【解答】如图所示：
【互动总结】(学生总结，老师点评)画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，△ABC和△ABC关于直线l对称，若A＝50，C＝30，则B的度数为(D)
A．30B．50
C．90D．100
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，与对角线交于点Q，点P是直线MN上面一点，下列判断错误的是(D)
A．AQ＝BQB．AP＝BP
C．MAP＝MBPD．ANM＝NMB
3．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中BAD＝150，B＝40，则BCD的度数是(A)
A．130B．150
C．40D．65
4．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．
解：如图所示：
5．如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时1＝2，3＝4，并且2＋3＝90，4＋5＝90.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角5＝30，那么1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋？请说明理由．
解：1＝30才能保证黑球准确入袋．
理由如下：如图，因为5＝30，
所以7＝5＝30.
因为3＝4，
所以6＝7＝30，
所以2＝6＝30，
所以1＝2＝30.
即1＝30才能保证黑球准确入袋．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若EFB＝60，则CFD＝()
A．20B．30
C．40D．50
【互动探索】根据图形翻折变换，得△ADE与△FDE关于直线DE成轴对称，所以△ADE≌△FDE，所以EFD＝EAD＝90.因为EFB＝60，所以CFD＝90－EFB＝30.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
3简单的轴对称图形
第1课时等腰三角形
教学目标
一、基本目标
1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质．
2．能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题．
二、重难点目标
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的性质．
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称三线合一)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；
(3)等腰三角形的两个底角相等.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC．
(1)因为ADBC，
所以BAD＝CAD，BD＝CD；
(2)因为AD是中线，
所以ADBC，BAD＝CAD；
(3)因为AD是角平分线，
所以ADBC，BD＝CD；
(4)因为AB＝AC，
所以B＝C.
3．完成教材P121想一想：
解：(1)等边三角形有三条对称轴，内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴．
(2)等边三角形的特征：①三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60；②是轴对称图形；③具有等腰三角形的一切特征．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数．
【互动探索】(引发学生思考)设A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，
所以ABC＝C＝BDC，A＝ABD．
设A＝x，则ABC＝C＝BDC＝ABD＋A＝2x.
在△ABC中，因为A＋ABC＋C＝180，
所以x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.
所以在△ABC中，A＝36，ABC＝C＝72.
【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BDAC于点D．求证：BAD＝2DBC．
【互动探索】(引发学生思考)由BAD＝2DBC，考虑作BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等证明结论．
【证明】过点A作AEBC于点E.
因为AB＝AC，AEBC，
所以BAD＝22.
因为BDAC于点D，
所以BDC＝90，
所以2＋C＝C＋DBC＝90，
所以DBC＝2，
所以BAD＝2DBC．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形三线合一作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．已知等腰三角形的一个角为80，则其顶角为(D)
A．20B．50或80
C．10D．20或80
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分BAC，则BD＝3cm.
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，A＝60，则BC＝5.
4．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.
证明：因为AB＝AC，CN＝AC，
所以AB＝CN，N＝CAN.
又因为AB∥CN，
所以BAM＝N，
所以BAM＝CAM，
所以AM为BAC的平分线．
又因为AB＝AC，
所以AM为△ABC的边BC上的中线，
所以BM＝CM.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且A＋B＝130，求A的度数．
【互动探索】要求A，需讨论A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．
【解答】分情况讨论：
当A为顶角时，则B＝C．
因为A＋B＋C＝180，A＋B＝130，
所以B＝C＝50，所以A＝80.
当C为顶角时，则A＝B．
因为A＋B＝130，所以A＝65.
当B为顶角时，则A＝C．
因为A＋B＋C＝180，A＋B＝130，
所以A＝C＝50.
综上所述，A的度数可以为80，65或50.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．本题易忽略讨论B是顶角还是底角．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等腰三角形
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时线段的垂直平分线
教学目标
一、基本目标
1．探索并了解线段垂直平分线的有关性质，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
2．会用尺规作图作一条线段的垂直平分线．
3．经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
二、重难点目标
【教学重点】
垂直平分线的有关性质．
【教学难点】
用尺规作图作线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P123～P124的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2．线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
3．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为(B)
A．6B．5
C．4D．3
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P124例1.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)DE垂直平分ABAD＝BD△DBC的周长为35cmBC＋AD＋CD＝35cm求出BC．
【解答】因为DE垂直平分AB，所以AD＝BD．
因为△DBC的周长为35cm，即BC＋BD＋CD＝35cm，
所以BC＋AD＋CD＝35cm.
又因为AC＝AD＋DC＝20cm，
所以BC＝35－20＝15(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为(C)
A．13B．15
C．17D．19
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，B＝60，C＝25，则BAD为(B)
A．50B．70
C．75D．80
3．如图，在△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，则BC长为15cm.
4．如图，在Rt△ABC中，B＝90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知BAE＝10，求C的度数．
解：因为B＝90，BAE＝10，
所以BEA＝80.
因为ED是AC的垂直平分线，
所以AE＝EC，所以C＝EAC．
因为BAC＋B＋C＝180，BAC＝BAE＋EAC，
所以10＋EAC＋90＋C＝180.
所以C＝EAC＝40.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD．
【互动探索】(1)根据AD∥BC可知ADE＝ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而根据全等三角形的性质得到结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【证明】(1)因为AD∥BC，
所以ADE＝ECF.
因为E是CD的中点，
所以DE＝EC．
又因为AED＝CEF，
所以△ADE≌△FCE，
所以FC＝AD．
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE＝EF，AD＝CF.
因为BEAE，
所以BE是线段AF的垂直平分线，
所以AB＝BF＝BC＋CF.
因为AD＝CF，
所以AB＝BC＋AD．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
【例4】如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．
【互动探索】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图．
【解答】如图，连结AB、AC，分别作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点P就是供水站的位置．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了应用作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
线段的垂直平分线
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时角平分线的性质
教学目标
一、基本目标
1．经历探索角的轴对称性的过程，理解并掌握角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题．
2．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线．
【教学难点】
角平分线的性质的应用．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P125～P126的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3．如图，已知BG是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F，DE＝6，则DF的长为(D)
A．2B．3
C．4D．6
4．如图，AD是△ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于14.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P126例2.
【例2】如图，在△ABC中，ACB＝90，BE平分ABC，DEAB于点D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CE，从而可知AE、AC、DE之间的数量关系．
【解答】AE＋DE＝AC＝3cm.理由如下：
因为ACB＝90，BE平分ABC，DEAB，
所以DE＝CE，
所以AC＝AE＋CE＝3cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
活动2巩固练习(学生独学)
1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(C)
A．OE是AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．AOE＝BOE
2．如图，在Rt△ACB中，C＝90，AD平分BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(D)
A．9B．8
C．7D．6
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为点A，交CD于点D．若AD＝8，则点P到BC的距离是4.
4．如图，已知BD是ABC的平分线，DEBC于点E，S△ABC＝36cm2，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为2.4cm.
教师点拨：过点D作DFAB于点F.根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△BCD列方程求解即可．
5．如图，BD是ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别为点M、N.试说明：PM＝PN.
证明：因为BD是ABC的平分线，
所以ABD＝CBD．
又因为AB＝BC，BD＝BD，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，
所以ADB＝CDB，
即DB是ADC的平分线．
因为PMAD，PNCD，
所以PM＝PN.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？
【互动探索】根据角平分线的性质，得货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
【解答】因为中转站要到三条公路的距离都相等，
所以货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点，
所以货物中转站可以供选择的地址有4个．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
角的轴对称性
练习设计
请完成本课时对应练习！
4利用轴对称进行设计
教学目标
一、基本目标
1．经历观察、分析、作图、折叠等过程，进一步理解轴对称及其性质，发展空间观念．
2．能够利用轴对称进行一些图案设计．
3．欣赏中国民间剪纸艺术中的一些图案，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握有关轴对称图形画图的操作技能，并能利用图形之间的轴对称关系来设计轴对称图形．
【教学难点】
掌握有关画图的技能及设计轴对称图形．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P128～P129的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．轴对称的性质：在轴对称图形中，
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
(2)对应线段相等，对应角相等.
2．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的(A)
A．轴对称性B．蝴蝶效应
C．颜色鲜艳D．数形结合
3．下列有关安全提示的图案中，可以看作轴对称图形的是(C)
4．如图的四个图案都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，如图1可以代表针织品、联通；图2可以代表法律、公正；图3可以代表航海、坚固；图4可以代表邮政、友谊等．请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义．
解：答案不唯一，如图：
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】在33的正方形网格图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF.(每个33正方形网格图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种)
【互动探索】(引发学生思考)根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可．
【解答】如图，△DEF即为所求．(答案不唯一)
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是(C)
2．如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有3种．
3．用四块如图1所示的是小正方形瓷砖拼成一个轴对称的大正方形图案(如图2)．请在图3、图4中分别给出两种不同的拼法，且使拼出的图案为轴对称图形．
解：如图所示：
活动3拓展延伸(学生对学)
【例2】观察设计：
(1)观察如图1～图4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
(2)在图5的网格中，设计一个新的图案，使该图案同时具有你在(1)中所写出的两个共同特征．(注意：新图案与如图1～图4的图案不能重合)
【互动探索】(1)利用已知图形的特征分别得出其共同的特征；(2)利用(1)所写的特征画出符合题意的图形即可．
【解答】(1)答案不唯一，如：所给的四个图案具有的共同特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案；④图案中不含钝角等．
(2)答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征均正确．例如：同时具备特征①、②的部分图案如图：
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握图形的特征是解题关键．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
北师大七年级下册数学《第4章三角形》全章教案
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好新的教案课件工作，新的工作才会更顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编精心为您整理的“北师大七年级下册数学《第4章三角形》全章教案”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
第四章三角形教材简析
本章的主要内容有三角形的有关概念、三角形的三边关系、三角形的内角和、三角形的稳定性、全等三角形的性质与判定、利用尺规作一个三角形与已知三角形全等、利用三角形全等测量距离，三角形全等在实际生活中的应用．
在对三角形的初步认识的基础上，通过观察屋顶框架图引入三角形的有关概念，通过类比和分类讨论学习三角形的角平分线、中线和高，进一步探究三角形全等的条件，进而学会利用三角形全等求距离等．本章是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和及全等三角形的性质、三角形全等的条件，题型涉及选择题、填空题和解答题，有时会与其他知识综合出现在压轴题中．
教学指导
【本章重点】
三角形的三边关系、全等三角形的性质及三角形全等的条件．
【本章难点】
三角形的三边关系、三角形全等的条件的应用及用尺规作三角形．
【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的学习方法，如通过三角形中线的类比，学习三角形的角平分线和高．
2．体会分类讨论思想，如已知等腰三角形的一边长，探究其周长时分类讨论．
3．体会数形结合思想，如三角形全等的条件通过数形转化，利用三角形测距离通过数形转化．
4．体会转化思想，如在全等三角形的判定中，常将复杂图形转化到某些三角形中，运用全等的知识解决问题．
课时计划
1认识三角形4课时
2图形的全等1课时
3探索三角形全等的条件3课时
4用尺规作三角形1课时
5利用三角形全等测距离1课时
1认识三角形
第1课时三角形的内角和
教学目标
一、基本目标
1．通过具体实例，认识三角形的概念及其基本要素，会将三角形按角分类．
2．掌握三角形三个内角的和等于180，能应用三角形内角和解决一些简单的求三角形内角的度数问题，能发现直角三角形的两个锐角互余并会利用．
3．通过观察、操作、想象、推理三角形三个内角的和等于180的活动过程，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
三角形三个内角的和等于180；直角三角形的两个锐角互余．
【教学难点】
探究、发现和验证三角形三个内角的和等于180．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P81～P84的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
(一)三角形
1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2．三角形可以用符号△表示，如图中顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC.△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示，如图中，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c来表示．
(二)三角形的内角和
1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形三个内角的和．
图1图2
图1：30＋60＋90＝180；图2：45＋45＋90＝180.
2．探索任意三角形三个内角的和都等于180.
(1)如图，剪一张三角形的纸片，它的三个内角分别为1、2和3；
(2)将1、2撕下，按图所示将这两个角拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD的度数，可得到A＋B＋ACB＝180；
(3)将2、3撕下，按下图拼在一起，用量角器量一量MAN的度数，可得到BAC＋B＋C＝180；
(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.
(三)三角形的分类
1．三角形按内角大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
2．(1)通常，我们用符号Rt△ABC表示直角三角形ABC．把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边，如图；
(2)直角三角形的两个锐角互余，即上图中A＋B＝90.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，DFAB，A＝40，D＝43，则ACD的度数是________.
【互动探索】(引发学生思考)DFAB，A＝40AEF＝50(直角三角形两锐角互余)CED＝50(对顶角相等)，由D＝43ACD＝87(三角形内角和定理)．
【答案】87
【互动总结】(学生总结，老师点评)直角三角形的两个锐角互余常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．
【例2】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向．从B岛看A、C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？
【互动探索】(引发学生思考)(方法一)A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的ACB是△ABC的一个内角，如果能求出CAB、ABC，就能求出ACB；(方法二)过点C作AD的垂线，求ACB的度数可转化为利用平角为180来求解．
【解答】(方法一)根据题意，得CAB＝BAD－CAD＝80－50＝30.
因为AD∥BE，
所以BAD＋ABE＝180，
所以ABE＝180－BAD＝180－80＝100，
所以ABC＝ABE－EBC＝100－40＝60，
所以ACB＝180－ABC－CAB＝180－60－30＝90.
即从B岛看A、C两岛的视角ABC是60，从C岛看A、B两岛的视角ACB是90.
(方法二)ABC的求法同方法一中的求法．
如图，过点C作CFAD于点F，延长FC交BE于点H，则CHBE.
因为ACF＝180－FAC－AFC＝180－50－90＝40，
BCH＝180－CBH－CHB＝180－40－90＝50，
所以ACB＝180－ACF－BCH＝180－40－50＝90.
即从B岛看A、C两岛的视角ABC是60，从C岛看A、B两岛的视角ACB是90.
【互动总结】(学生总结，老师点评)由平行线的性质把已知角与三角形的内角相联系，进而利用三角形内角和定理可求出有关角的度数．
活动2巩固练习(学生独学)
1．已知一个三角形中一个角是锐角，那么这个三角形是(D)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上都有可能
2．在△ABC中，BC边的对应角是(A)
A．AB．B
C．CD．D
3．在△ABC中，已知A＝80，B＝C，则C＝50.
4．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20，60，100.
5．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90，1＝B，2＝3，则图中共有5个直角三角形．
6．如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DFAB交AB于点F，交AC于点E.若A＝46，D＝50，求ACB的度数．
解：因为DFAB，所以DFB＝90.
又在△DFB中，D＝50，
所以B＝180－DFB－D＝40.
又在△ABC中，A＝46，
所以ACB＝180－A－B＝94.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】探究与发现：如图1，有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出BDC与A＋ABD＋ACD之间的数量关系，并说明理由．
应用：某零件如图2所示，图纸要求A＝90，B＝32，C＝21，当检验员量得BDC＝145，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
图1图2
【互动探索】根据三角形内角和定理探究BDC与A＋ABD＋ACD之间的数量关系，然后利用得到的关系求解应用的问题．
【解答】探究与发现：BDC＝A＋ABD＋ACD．理由如下：
因为BDC＋DBC＋DCB＝180，A＋ABC＋ACB＝A＋ABD＋ACD＋DBC＋DCB＝180，
所以BDC＝A＋ABD＋ACD．
应用：能，连结BC．
因为A＝90，ABD＝32，ACD＝21，
所以由上述结论，得BDC＝A＋ABD＋ACD＝143.
因为检验员量得BDC＝145143，
所以这个零件不合格．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180.
3．三角形按角分类
三角形
4．直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时三角形的三边关系
教学目标
一、基本目标
1．结合具体实例，认识等腰三角形和等边三角形的概念及基本要素．
2．在度量三角形边长的实践活动中理解三角形三边的不等关系．
3．掌握三角形的三边的不等关系，并能解决相关问题．
4．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理的表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
三角形的三边关系．
【教学难点】
探究三角形的三边关系及灵活应用三边关系解决生活中的实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P85～P86的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形．
2．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．
3．下列长度的三条线段能否组成三角形？
(1)3,4,8；(不能)
(2)2,5,6；(能)
(3)5,6,10；(能)
(4)5,6,11.(不能)
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是()
A．2,3,5B．4,7,10
C．1,1,3D．3,4,9
【互动探索】(引发学生思考)根据三角形任意两边之和大于第三边逐项判断即可．
A中，2＋3＝5，不能组成三角形；
B中，4＋7＞10，能组成三角形；
C中，1＋1＜3，不能组成三角形；
D中，3＋4＜9，不能组成三角形．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？
【互动探索】(引发学生思考)(1)理解题意，得出等腰三角形的周长是18厘米列方程求解；
(2)等腰三角形的周长为18厘米已知边是腰还是底边分类讨论得三角形另外两边长利用三角形三边关系进行判断得出结论．
【解答】(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．
根据题意，得x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.
所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米．
(2)分情况讨论：
①当4厘米长为底边时，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18，解得x＝7.
所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米．
②当4厘米长为腰长时，设底边长为x厘米，则42＋x＝18，解得x＝10.
此时三边长为4厘米、4厘米、10厘米．
而4＋410，
所以此时不能构成三角形．
故能围成底边长为4厘米，腰长为7厘米的等腰三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰还是底边，再解决问题．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②三角形任意两边的和大于第三边；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有(C)
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．已知a、b、c为三角形的三边，则|a＋b－c|－|b－c－a|的化简结果是(D)
A．2aB．－2b
C．2a＋2bD．2b－2c
3．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是(C)
A．1B．2
C．8D．11
4．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，且它的周长大于14cm，则第三边长为6cm.
5．已知三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．
解：设三角形三边的长分别为x－1，x，x＋1.
根据三角形的三边关系，得x－1＋x＞x＋1，解得x＞2.
因为三角形的周长小于20，
所以x－1＋x＋x＋1＜20，解得x＜.
所以2＜x＜且x为整数，
所以x为3,4,5,6.
当x＝3时，三角形三边长分别为2,3,4；
当x＝4时，三角形三边长分别为3,4,5；
当x＝5时，三角形三边长分别为4,5,6；
当x＝6时，三角形三边长分别为5,6,7.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．等腰三角形：有两边相等的三角形．
2．等边三角形：三边都相等的三角形．
3．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时三角形的中线、角平分线
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握三角形的中线、角平分线的定义，认识三角形的重心．
2．能准确画出三角形的中线、角平分线．
3．理解并掌握三角形中线、角平分线的性质．
二、重难点目标
【教学重点】
三角形的中线、角平分线的定义及其性质．
【教学难点】
三角形的中线、角平分线的画法及应用．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P87～P88的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
(一)三角形的中线
1．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.
2．如图，点D、E、F分别是边BC、AC、AB上的中点．
(1)AB边上的中线是CF，BC边上的中线是AD，AC边上的中线是BE；
(2)因为BE是△ABC中AC边上的中线，
所以AE＝CE＝AC.
因为CF是△ABC中AB边上的中线，
所以AB＝2AF＝2BF.
(二)三角形的角平分线
1．在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线交于一点.
2．(1)因为BE是△ABC的角平分线，
所以ABE＝CBE＝ABC；
(2)因为CF是△ABC的角平分线，
所以ACB＝2ACF＝2BCF.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
(一)画三角形的中线
如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．
讨论1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．
作图：
结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线都相交于三角形的内部．
(二)画三角形的角平分线
如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，图中BAD＝CAD．
讨论2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．
作图：
结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线都相交于三角形的内部．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中有四条线段DE、BE、EG、FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(B)
A．线段DEB．线段BE
C．线段EGD．线段FG
2．如图，DE∥BC，CD是ACB的平分线，ACB＝60，那么EDC＝30度．
3．如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
解：因为CD为△ABC的AB边上的中线，
所以AD＝BD．
因为△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
所以(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3cm，
所以BC－AC＝3cm.
因为BC＝8cm，
所以AC＝5cm.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三角形的中线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形重心的定义．
三角形的角平分线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条角平分线交于一点．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第4课时三角形的高
教学目标
一、基本目标
1．认识三角形的高线，会画任意三角形的高线，了解三角形的三条高所在的直线交于一点．
2．通过折纸、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更灵活．
二、重难点目标
【教学重点】
三角形高线的定义，会画任意三角形的高．
【教学难点】
画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P89～P90的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
2．三角形的三条高所在的直线交于一点．
3．分别指出下图中△ABC的三条高．
图1图2
(1)图1中，直角边BC上的高是AB，直角边AB上的高是BC，斜边AC上的高是BD；
(2)图2中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AD，AC边上的高是BF.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
用工具准确画出三角形的高
如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．
注意：标明垂直的记号和垂足的字母．
教师点拨：回忆并演示过一点画已知直线的垂线的画法．
讨论：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．
作图：
结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线所在的直线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点；(4)钝角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的外部．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BDAC于点D，交EF于点G，则下列说法错误的是(C)
A．BD是△ABC的高B．CD是△BCD的高
C．EG是△ABD的高D．BG是△BEF的高
2．如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是(C)
A．AB＝2BFB．ACE＝ACB
C．AE＝BED．CDBE
3．如图，在△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AD；在△BCF中，CF边上的高是BC.
4．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形.
5．如图，AE是△ABC的角平分线，ADBC于点D，若BAC＝130，C＝30，则DAE的度数是5.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
2．三角形的三条高所在的直线交于一点．
三角形的三条高的特性：
锐角三角形直角三角形钝角三角形
三角形内部高的数量311
三条高是否相交是是否
三条高所在直线的交点位置三角形内部直角顶点三角形外部
练习设计
请完成本课时对应练习！
2图形的全等
教学目标
一、基本目标
1．通过实例理解全等图形的定义和特征，并能识别图形的全等及用符号语言正确表示两个三角形全等．
2．掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
全等图形和全等三角形的性质．
【教学难点】
利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P92～P94的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
2．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF.
3．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
4．如图，△ABC≌△DEF，则A的对应角是D，B的对应角是E，则C的对应角是F；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，若△BOD≌△COE，指出这两个三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
【互动探索】(引发学生思考)全等三角形的对应元素该如何找？
【解答】△BOD与△COE的对应边：BO与CO，OD与OE，BD与CE.
△ADO与△AEO的对应角：DAO与EAO，ADO与AEO，AOD与AOE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．
【例2】如图，△ABC≌△DEF，A＝70，B＝50，BF＝4，EF＝7，求DEF的度数和CF的长．
【互动探索】(引发学生思考)求角和线段长，从全等三角形的性质出发去思考．
【解答】因为△ABC≌△DEF，A＝70，B＝50，BF＝4，EF＝7，
所以DEF＝B＝50，BC＝EF＝7，
所以CF＝BC－BF＝7－4＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等，对应角相等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．已知图中的两个三角形全等，则的度数是(D)
A．72B．60
C．58D．50
2．如图，已知△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是(A)
A．5B．4
C．3D．2
3．如图，已知△ABC≌△FED，A＝30，B＝80，则EDF＝70.
4．如图，已知△EFG≌△NMH，F与M是对应角．
(1)写出图中相等的线段与角；
(2)若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．
解：(1)因为△EFG≌△NMH，F与M是对应角，
所以EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，F＝M，E＝N，EGF＝NHM，
所以FH＝GM，EGM＝NHF.
(2)因为EF＝NM，EF＝2.1cm，
所以MN＝2.1cm.
因为FG＝MH，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，
所以HG＝FG－FH＝HM－FH＝3.3－1.1＝2.2(cm)．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知△ABC≌△ADE，CAD＝10，D＝25，EAB＝120，求ACB的度数．
【互动探索】要求ACB，在△ACB中，只要求出B、CAB即可利用三角形的内角和定理求解，而求B、CAB可以从全等三角形的性质出发．
【解答】因为△ABC≌△ADE，D＝25，
所以B＝D＝25，CAB＝EAD．
因为EAB＝120，CAD＝10，
所以EAB＝EAD＋CAD＋CAB＝2CAB＋10＝120，
所以CAB＝55.
因为B＝D＝25，
所以ACB＝180－CAB－B＝100.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合考查三角形的内角和定理与全等三角形的性质．解题时，要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
3探索三角形全等的条件
第1课时边边边(SSS)和三角形的稳定性
教学目标
一、基本目标
1．掌握三角形全等的边边边条件，了解三角形的稳定性．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略．
二、重难点目标
【教学重点】
利用三角形全等的边边边条件证明两个三角形全等；三角形的稳定性．
【教学难点】
利用SSS说明三角形全等的思考和推理过程．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P97～P99的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．(教材P97做一做)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？
略
2．(教材P97做一做)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做．
(1)三角形的一个内角为30，一条边为3cm；
(2)三角形的两个内角分别为30和50；
(3)三角形的两条边分别为4cm,6cm.
略
3．(教材P97议一议)如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
解：三条边；三个角；两条边和一个角；两个角和一条边．
4．(教材P98做一做)(1)已知一个三角形的三个内角分别为40，60和80，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
(2)已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
解：(1)三个内角对应相等的两个三角形不一定全等．
(2)三边分别相等的两个三角形全等，简称为边边边或SSS．通常写成下面的格式：
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)．
5．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以一箭双星的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中国地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用SSS证明△ABC≌△DEF.
【证明】因为BE＝CF，
所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后再根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【例2】如图，已知AB＝AD，DC＝BC，B与D相等吗？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形进行证明．
【解答】B＝D．理由如下：连结AC．
在△ADC和△ABC中，因为
所以△ADC≌△ABC(SSS)，
所以B＝D．
【互动总结】(学生总结，老师点评)要证B与D相等，可证这两个角所在的三角形全等，而现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．
【例3】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各图至少需要钉上多少根木棍？
【互动探索】(引发学生思考)三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？
【解答】如图1，四边形木架至少需要钉上1根木棍；
如图2，五边形木架至少需要钉上2根木棍；
如图3，六边形木架至少需要钉上3根木棍．
图1图2图3
【互动总结】(学生总结，老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)
A．人能直立在地面上
B．校门口的自动伸缩栅栏门
C．古建筑中的三角形屋架
D．三轮车能在地面上运动而不会倒
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.
3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.
求证：(1)D＝B；
(2)AE∥CF.
证明：(1)在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF(SSS)，
所以D＝B．
(2)因为△ADE≌△CBF，
所以AED＝CFB．
因为AED＋AEO＝180，CFB＋CFO＝180，
所以AEO＝CFO，
所以AE∥CF.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等．
2．三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时角边角(ASA)和角角边(AAS)
教学目标
一、基本目标
1．掌握三角形全等的ASAAAS条件，并会进行简单的应用．
2．经历探索三角形全等两角一边的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的趣味．
二、重难点目标
【教学重点】
应用三角形全等的ASAAAS条件．
【教学难点】
探索三角形全等条件两角一边．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA．通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
所以△ABC≌△DEF.
2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成角角边或AAS．通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
所以△ABC≌△DEF.
3．能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)
A．AB＝DE，BC＝EF，A＝E
B．AB＝DE，BC＝EF，C＝E
C．A＝E，AB＝EF，B＝D
D．A＝D，AB＝DE，B＝E
4．如图，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：B＝C，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)
教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或AEB＝AFC．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【互动探索】(引发学生思考)回忆我们学过的判定三角形全等的条件，结合已知中的平行线段，可考虑利用ASA证明△ADF≌△CBE.
【证明】因为AD∥BC，BE∥DF，
所以A＝C，DFA＝BEC．
因为AE＝CF，
所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，
所以△ADF≌△CBE(ASA)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在ASA中，包含边和角两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．在ASA中，边必须是两角的夹边．
【例2】如图，在△ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F.若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需DAC＝DBF即可．由在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用等角的余角相等即可得DAC＝DBF.
【证明】因为ADBC，BEAC，
所以ADC＝BDF＝BEA＝BEC＝90.
又因为AFE＝BFD，
所以DAC＝DBF.
在△ADC和△BDF中，
所以△ADC≌△BDF(AAS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决三角形全等的问题时，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．完成教材P102习题4.7第1～3题．
略
2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，A＝E.求证：BC＝DB．
证明：因为BC∥DE，
所以ABC＝EDB．
在△ABC和△EDB中，
所以△ABC≌△EDB(ASA)，
所以BC＝BD．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．角边角(ASA)：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
2．角角边(AAS)：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时边角边(SAS)
教学目标
一、基本目标
1．经历画图比较，得出判定三角形全等的SAS条件．
2．能够利用SAS判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由．
3．在探索三角形全等及其应用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单推理．
二、重难点目标
【教学重点】
通过画图比较，得出SAS结论的过程及应用．
【教学难点】
探索边边角能否用于判定全等．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．(1)两边及夹角，三角形两边分别为2.5cm,3.5cm，它们所夹的角为40，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同桌画的一定全等吗？
(2)以2.5cm,3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
解：(1)与同桌画的是全等的(如图1)．
(2)与同桌画的不一定全等(如图2)．
图1
图2
总结：(1)两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等；
(2)三角形全等的判定方法4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成边角边或SAS．通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
所以△ABC≌△DEF.
2．如图，已知BD＝CD，要根据SAS判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是ADB＝ADC.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．
【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果A＝B就可证△AEF≌△BCD．由AE∥BC可得A＝B．
【证明】因为AE∥BC，所以A＝B．
因为AD＝BF，所以AD＋DF＝DF＋FB，即AF＝BD．
在△AEF和△BCD中，
所以△AEF≌△BCD(SAS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，1＝2，若1＝60，求C的度数．
【互动探索】(引发学生思考)已知两组边对应相等，可考虑证明△ABC≌△FBE，从而得出C＝BEF.又由BC∥EF可得BEF＝1，进而解决问题．
【解答】因为1＝2，所以1＋ABE＝2＋ABE，即ABC＝FBE.
在△ABC和△FBE中，
所以△ABC≌△FBE(SAS)，
所以C＝BEF.
又因为BC∥EF，
所以C＝BEF＝1＝60.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如公共边公共角等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件(A)
A．1＝2B．B＝C
C．D＝ED．BAE＝CAD
2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(C)
A．AB＝DE，B＝E，BC＝EF
B．AB＝DE，A＝D，AC＝DF
C．BC＝EF，B＝E，AC＝DF
D．BC＝EF，C＝F，AC＝DF
3．如图，已知AB＝AD，若AC平分BAD，问AC是否平分BCD？为什么？
解：AC平分BCD．理由如下：
因为AC平分BAD，
所以BAC＝DAC．
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌ADC(SAS)，
所以ACB＝ACD，
所以AC平分BCD．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：
(1)AE＝CG；
(2)AECG.
【互动探索】(1)观察图形，证明△ADE≌△CDG，即可得出AE＝CG；(2)结合全等三角形的性质和正方形的性质即可得AECG.
【证明】(1)因为四边形ABCD、DEFG都是正方形，
所以AD＝CD，GD＝ED，CDA＝GDE＝90.
因为CDG＝90＋ADG，ADE＝90＋ADG，
所以CDG＝ADE.
在△ADE和△CDG中，
所以△ADE≌△CDG(SAS)，
所以AE＝CG.
(2)设AE与DG相交于点M，与CG相交于点N.
由(1)得△ADE≌△CDG，
所以CGD＝AED．
因为GMN＝DME，DEM＋DME＝90，
所以CGD＋GMN＝90，
所以GNM＝90，
所以AECG.
【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四条边相等，四个角都等于90，利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．边角边(SAS)：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2．利用全等三角形的判定和性质可以证明角或线段相等．
练习设计
请完成本课时对应练习！
4用尺规作三角形
教学目标
一、基本目标
1．经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形．
2．能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言．
3．通过与同伴交流作图过程和结果的合理性，体会对问题的说明要有理有据．
二、重难点目标
【教学重点】
经历尺规作图的过程，能根据条件作三角形．
【教学难点】
能依据规范作图语言作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P105～P107的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．已知三角形的两边及其夹角，作出这个三角形的依据是SAS；已知三角形的两角及其夹边，作出这个三角形的依据是ASA；已知三角形的三条边，作出这个三角形的依据是SSS.
2．下列条件中，用尺规作图不可以作出两个全等三角形的是(D)
A．已知三边
B．已知两边及夹角
C．已知两角及夹边
D．已知两边及其中一边的对角
3．已知线段a、b、m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m.下面作法的合理顺序是③①②.(填序号)
①延长CD到B，使BD＝CD；
②连结AB；
③作△ADC，使DC＝a，AC＝b，AD＝m.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
探究一：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
讨论1：若已知三角形的两边及其夹角，如何求作这个图形呢？
已知：线段a、c，.
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，ABC＝.
作法与示范
作法示范
(1)作一条线段BC＝a
(2)以点B为顶点，以BC为一边，作DBC＝
(3)在射线BD上截取线段BA＝c
(4)连结AC．△ABC就是所求作的三角形
交流：将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
教师点拨：用前面所学过的全等三角形的判定定理(SAS)说明其合理性．
思考：还有没有其他的做法？
教师点拨：先作一个角等于已知角，再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段，从而作出三角形．
探究二：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
讨论2：若已知三角形的两角及其夹边，如何求作这个图形呢？
已知：、，线段c.
求作：△ABC，使A＝，B＝，AB＝c.
作法与示范
作法示范
(1)作DAF＝
(2)在射线AF上截取线段AB＝c
(3)以B为顶点，以BA为一边，作ABE＝，BE交AD于点C．△ABC就是所求作的三角形
交流：将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
教师点拨：用前面所学过的全等三角形的判定定理(ASA)说明其合理性．
探究三：已知三角形的三条边，求作这个三角形．
讨论3：若已知三边，如何求作一个三角形？
已知：线段a、b、c.
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法与示范
作法示范
(1)在射线AF上，截取线段AB，使AB＝c
(2)分别以A、B为圆心，以a、b为半径画弧，两弧交于点C
(3)连结AC、BC．△ABC就是所求作的三角形
交流：将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
教师点拨：用前面所学过的全等三角形的判定定理(SSS)说明其合理性．
活动2巩固练习(学生独学)
1．完成教材P107习题4.9第1～3题．
略
2．如图，已知，线段a，用直尺和圆规求作一个等腰三角形，使得底边为a，底角为.(保留作图痕迹，不必写出作法)
解：如图，△ABC就是所求作的三角形．
教师点拨：先画一底边为a，再从线段的两端分别作两角为，角的边的交点就是三角形的另一顶点．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
5利用三角形全等测距离
教学目标
一、基本目标
1．能利用三角形的全等解决实际问题．
2．通过让学生体会教材中提供的情境，明白战士的具体做法，并尝试思考其中的道理，体会数学与实际生活的联系．
二、重难点目标
【教学重点】
能利用三角形的全等解决实际问题．
【教学难点】
能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理地思考和表达．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P108～P109的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，过点D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则ABC＝CDE＝90，BC＝DC，1＝2，△ABC≌△EDC，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为25米.
2．如图，将两根等长钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是SAS.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例题】如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？画出设计图形，并用所学知识说明你设计方案的理由．
方案一：延长全等法．
【测量方案】先在地面上任取一个可以直接到达点A和点B的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝CB，连结DE，测得的DE的长度就是A、B间的距离．
【设计图形】
【理由】在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(SAS)，
所以AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．
方案二：垂直全等法．
【测量方案】在AB的垂线BD上取两点C、D，使CD＝BC，过点D作BD的垂线DG，并在DG上取一点E，使点A、C、E在同一直线上；这时测得DE的长，就是A、B间的距离．
【设计图形】
【理由】因为点A、C、E在同一直线上，
所以ACB＝ECD．
因为ABBD，DGBD，
所以ABC＝EDC＝90.
在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC(ASA)，
所以AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．
方案三：垂直全等法．
【测量方案】让一人戴一顶太阳帽，在点B立正站好；自己调整帽子，使视线通过帽檐正好落在湖对面的点A；该人转过一个角度，保持刚才的姿势，帽檐不动，这时再望出去，仍让视线通过帽檐，视线所落的位置为点C；连结BC，测出BC的长，就是A、B间的距离．
【设计图形】
【理由】根据测量知，ADB＝CDB．
因为DBAC，
所以ABD＝CBD＝90.
在△BAD和△BCD中，
所以△BAD≌△BCD(ASA)，
所以BA＝BC(全等三角形的对应边相等)．
活动2巩固练习(学生独学)
1．完成教材P109习题4.10第1～2题．
略
2．如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离．
(1)在地面上取一个可以直接到达A、B两点的点O，连结AO并延长到点C，使AO＝CO，请你完成下面的图形；
(2)说明你是如何求A、B两点的距离．
解：(1)连结BO并延长到点D，使BO＝OD，连结CD．
(2)量出CD的长，则CD的长就是A、B两点的距离．理由：由作图可知，BO＝OD．由对顶角相等可知，AOB＝COD，从而根据SAS可得到△AOB≌△COD，所以AB＝CD．
3．如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径．现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？
略
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
利用全等三角形测距离的依据：SSS、SAS、AAS、ASA．
练习设计
请完成本课时对应练习！
