几类不同增长的函数模型。

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《几类不同增长的函数模型》，仅供参考，欢迎大家阅读。

§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)
学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
课前准备（预习教材P95~P98，找出疑惑之处）
阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
典型例题
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？

反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：
①此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

练1.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a0且a≠1)．有以下叙述
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为所经过的时间分别是，则.
其中所有正确的叙述是.
练2.经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量(万件)近似地满足关系．
写出明年第个月这种商品需求量(万件)与月份的函数关系式.

课堂小结
1.两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2.几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3.应用建模（函数模型）；
知识拓展
解决应用题的一般程序：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
学习评价
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.
A．B.y=2C.y=2D.y=2x
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
3.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）.
A.y=20-2x（x≤10）B.y=20-2x（x10）C.y=20-2x（5≤x≤10）D.y=20-2x（5x10）
4.某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成.
5.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染.（用式子表示）
课后作业
1.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售.这样，仍可获得25%的纯利.求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

2.某书店对学生实行促销优惠购书活动，规定一次所购书的定价总额：①如不超过20元，则不予优惠；②如超过20元但不超过50元，则按实价给予9折优惠；③如超过50元，其中少于50元包括50元的部分按②给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．
（1）试求一次购书的实际付款y元与所购书的定价总额x元的函数关系；
（2）现在一学生两次去购书，分别付款16.8元和42.3元，若他一次购买同样的书，则应付款多少？比原来分两次购书优惠多少？
§3.2.1几类不同增长的函数模型(2)
学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
旧知提示（预习教材P98~P101，找出疑惑之处）
复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.
复习2：三个变量随自变量的变化情况如下表：
1357911
y15135625171536456633
y2529245218919685177149
y356.16.616.957.207.40
其中呈对数型函数变化的变量是________，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.
合作探究
探究：幂、指、对函数的增长差异
问题：幂函数、指数函数、对数函数在区间上的单调性如何？增长有差异吗？

实验：函数，，，试计算：
12345678
y1
y2
y3011.5822.322.582.813
由表中的数据，你能得到什么结论？

思考：大小关系是如何的？增长差异？
结论：在区间上，尽管，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度．而的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
小结：待定系数法求解函数模型；优选模型.
练1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.
练2.某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格.经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数.
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
jaB88.cOm

课堂小结
直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.
知识拓展
在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法.它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域.中国数学家华罗庚在推广优选方法的理论研究和开发研究工作中付出巨大贡献.
学习评价
1.某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（）.
2.下列函数中随增大而增大速度最快的是（）.
A．B．C．D．
3.根据三个函数给出以下命题：
（1）在其定义域上都是增函数；
（2）的增长速度始终不变；（3）的增长速度越来越快；
（4）的增长速度越来越快；（5）的增长速度越来越慢。
其中正确的命题个数为（）.
A.2B.3C.4D.5
4.当的大小关系是.

5.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

课外作业
1.下列函数关系中，可以看着是指数型函数（模型的是（）.
A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B.我国人口年自然增长率为1﹪，这样我国人口总数随年份的变化关系
C.如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D.信件的邮资与其重量间的函数关系
2.用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）.
A．3B．4C．6D．12
3.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a（0.5）x+b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为_________．
4.某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价为5元，该店推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯；
（2）按总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干（不少于4个），若需茶杯个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.

相关知识

§3.2.1几类不同增长的函数模型学案

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。高中教案的内容具体要怎样写呢？下面的内容是小编为大家整理的§3.2.1几类不同增长的函数模型学案，希望能为您提供更多的参考。

§3.2.1几类不同增长的函数模型学案
课前预习学案
一、预习目标
对于基本的实际问题能抽象出数学模型。
二、预习内容
（预习教材P95~P98，找出疑惑之处）
阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.
学习重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
学习难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
二、学习过程
典型例题
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？

反思：
①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.
变式训练1某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：
①此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

变式训练2
经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量(万件)近似地满足关系
．
写出明年第个月这种商品需求量(万件)与月份的函数关系式.

四、反思总结
解决应用题的一般程序：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
五、当堂达标：课本108页2题

课后练习与提高
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.
A．B.y=2C.y=2D.y=2x
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
3.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）.
A.y=20-2x（x≤10）B.y=20-2x（x10）
C.y=20-2x（5≤x≤10）D.y=20-2x（5x10）
4.某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成.
5.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a0且a≠1)．有以下叙述
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为所经过的时间分别是，则.
其中所有正确的叙述是.

6.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售.这样，仍可获得25%的纯利.求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

几类不同增长的函数模型（2课时）

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“几类不同增长的函数模型（2课时）”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

几类不同增长的函数模型（2课时）
教学要求：①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.
②借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
③恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.
④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学过程：
一、新课引入：（国际象棋棋盘的奖赏→教科书第三章的章头图：澳大利亚兔子数“爆炸”）
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
二、讲授新课：
1、例题讲解：
①例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
②探究：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？→师生共同分析解答
探究：根据例1的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
根据以上分析，你认为就作出如何选择？
③例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.问：其中哪个模型能符合公司的要求？
④探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？
根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？
通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
2、探究与发现：幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
3、尝试练习：教材P110练习1、2；教材P113练习．
4、小结与反思：直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义；数学的实用价
三、巩固练习：1.教材P120习题32（A组）第1~3题；
2.作业：教材P1252、3、4题
3、课外活动：收集一些社会生活中普遍使用的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，怎样选用合理的函数模型？
第三、四课时3.2.2函数模型的应用实例（2课时）
教学要求：通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用.
教学重点：建立函数模型的过程.
教学难点：在实际问题中建立函数模型.
教学过程：
一、新课引入：前节课主要是讲授指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，本节课我们主要是通过一些生活中常遇到的实例来进一步说明函数模型在解决实际问题中的应用.
二、讲授新课：
1、例题讲解：
①例1、在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势.设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系；
（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系式为，试问该服装第几周每件销售利润最大？
（找出实际问题中涉及的函数变量→引导学生根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型）
②练习（图表形式）：某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：
时间/小时123456789
完成的百分数1530456060708090100
（1）如果用T（h）来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问T（5）是多少？求出T（h）的解析式，并画出图象.（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？
③例2、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（1766－1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.……（数据和问题见P115）
（师生共析→教师小结：指数型函数模型→学生阅读课本，完善解题过程）
③例3、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值研究：（数据和问题见P118）
分小组讨论该选用何种函数模型来刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系并分别验证，总结讨论结果，找出最恰当的函数模型，利用函数模型来解决实际问题.
小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.
2、练习：教材P114图形给出的函数应用研究;利润研究；
三、巩固练习：1.阅读P123、P73、P79等应用问题，小结函数模型类别
2.已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24％，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为.
3.某新型电子产品2002年投产,计划2004年使其成本降低36℅.则平均每年应降低成本℅.
3.有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？4.作业：P1201、2、4、5题

几种不同增长的函数模型教案（2课时）

几种不同增长的函数模型（两课时）

一、教学目的

1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；

2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；

3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；

4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。

二、教学重点、难点

重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

三、教学过程

第一课时

1、复习引入

师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？

生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……

师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。

2、新课

（用幻灯片展示例题）

假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

1）每天回报40元；

2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）

教师提示：

1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。

2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？

教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。

设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？

教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。

利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。

通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。

由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？

3）、（幻灯片展示例题2）

设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？

教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。

让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。

教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。

3、小结：

一般地，对指数函数、幂函数和对数函数，在（0，+∞）上，尽管指数函数y=ax(a1)、对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xa(a0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，指数函数y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y=xa(a0)，而对数函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxaax。

第二课时

1、复习引入

通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。2、新课

1、（用幻灯片展示例题3）

教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。

课堂练习：P128第1、3题。

小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。

2、（展示例题4）

教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。

课堂练习：P123第1题。

教师小结指出：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。

3、（用幻灯片展示例题5）

让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。

教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。

4、（用幻灯片展示例题6）

观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。

课堂练习：P133B组第3题。

小结：应用函数模型解决实际问题的基本过程：

①确定函数模型；

②利用数据表格，函数图象讨论模型；

③体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。

作业：P127第4、5题

高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》说课稿

俗话说，磨刀不误砍柴工。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编为大家整理的“高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》说课稿”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》说课稿

一、说课标

课程标准中明确指出：高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动．数学建模就是引导学生从实际情境中提出问题，并归结为数学模型，尝试用数学思想和方法去解决问题．在教学中，要特别注意以下两点：（1）数学建模的问题应是多样的，开放的，同时解决问题所涉及的知识、技能、方法、思想应与高中数学课程紧密相关；（2）学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的途径．

二、说教材

1.本节课在教材中的地位和作用

本节课选自高中数学人教A版必修1第三章第二节“函数模型及其应用”，教学安排为四课时，在这里主要研究的是第一课时的内容：几类不同增长的函数模型．

在义务教育阶段，学生对数学建模就已经积累了一定的研究经验．到了高中阶段，通过第二章的学习，学生有了利用函数知识解决实际问题的经历，熟悉了几种基本初等函数的概念，掌握了对应函数图象的基本特征，这是本节课的知识基础．而本节课在探求解决实际问题的过程中，体验到几种常见函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点,从不同的方面对实际问题多视点、宽角度地进行了探究，始终贯穿着函数模型的应用这条主线，从而拉开高中阶段数学建模活动的帷幕．

2.教学目标：

知识与技能目标：

①尝试从实际问题中建构出数学问题的技能；

②体验用简单的函数模型解决实际问题的经历；

③结合实例体会直线上升，指数爆炸等不同函数模型的增长差异．

过程与方法目标：

①使学生经历建立和运用函数模型的过程，初步体验数学建模的基本思想；

②通过三种表示方法的恰当运用，认识函数问题的研究方法．

情感、态度与价值观目标：

在认真分析实际背景，抽象概括现实问题，转化整合数学模型的过程中，养成严谨、求真、奋进的科学态度，学会交流、分享、合作，增强团队意识．3.教学目标的重点与难点：

教学重点：

①培养学生用数学知识描述实际问题的数学化能力；

②在比较不同函数模型的过程中，体会直线上升、指数爆炸等不同类型函数的增长差异；

③通过小组内部的合作，使学生学会交流、分享、展示，增强团队意识．

教学难点：

结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，增强合作意识．

三、说学情

知识基础：

①熟悉了几种基本函数的概念；

②掌握了这些函数图象的基本特征；

②具有利用函数知识解决实际问题的初步体验．

认知特点：

建模思想对学生的应用、合作、探究、创新意识都有较高要求，在这方面尚需要教师精心的组织引导．

四、说教法

选用合作探究与尝试概括相结合的教学方法．

在教学中，从精心创设的问题情境出发，为学生提供更多的机会和时间，提问质疑、尝试探究、讨论交流、归纳总结等，促使学生的思维空间充分开放；积极营造出一个有利于人际沟通与合作的环境，使学生学会交流和分享自己的成果，并能把每个人的成果进行有效的整合，增强团队意识；丰富学生对数学与日常生活紧密联系的体验，感受数学的实际价值，增强应用意识，发展创新意识，真正做到学有所思、思有所得、得有所悟，悟有所获，获有所用．

五、说设计

1.挖掘背景，提出问题

请同学们根据下面的两个实验，提出数学问题：

模拟实验1、动画演示摞砖游戏，

模拟实验2、师生一起动手做折纸游戏.

设计意图：这两个实验都源于学生熟悉的生活背景，在认真观察、实际操作中，要求学生充分发挥自己的特长与个性，从不同角度、层次挖掘其中所蕴涵的数学问题，最终获得数学建模的初步体验．这样做，不仅要求学生能够自己发现问题，体现了数学建模与解应用题的不同；也激发了学生的学习兴趣，充分体现了“数学是自然的”这一新课程理念．

2.阅读问题，尝试建模

请同学们阅读下面的问题，并建立相关的函数模型：

问题1张女士给今年上大学的儿子花5400元买了一部“苹果”手机．由于电子技术的飞速发展，手机成本不断降低，每隔一年手机的价格降低30﹪，四年后大学毕业时此人这部手机还值多少钱？

设计意图：这个问题选自学生关注的日常生活，其背景对学生来说非常熟悉，在已有知识的基础上，学生通过认真的阅读，能够用指数型函数来解决这个问题，这样的设计可以使学生体验数学在解决实际问题中的作用，发展数学的应用意识，提高实践能力．

问题2某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的

问题3已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车与A地的距离x表示为时间t（小时）的函数，并画出函数的图象．设计意图：这两个问题的处理都交给学生完成，目的在于培养学生收集、分析和加工信息的能力．学生通过数据分析、模型整合、独立思考、合作交流，真正成为学习的践行者，课堂的主人．.另外，通过小组内部的合作，还增强了学生的合作意识，这也是现代人所必须具备的基本素质．

3.探究模型，回归说明

数学建模思想：①从一个实际背景中抽象出数学问题；

②用相关的函数知识来描述数学问题；

③对函数模型进行分析

④回归说明实际问题.

例题我们公司有一笔资金用于投资，现有三种投资方案可供选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

如果你作为公司的一员，会选择哪种投资方案呢？

请同学们根据下面的分析，解决这个问题：

（1）选择投资方案的标准是什么？

（2）“翻一番”的含义怎样理解？

（3）研究函数问题的方法有几种，分别是什么？

设计意图：面对精心创设的问题情境，通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，选择恰当的函数模型，借助三种不同的表示方法，弄清几个函数间的增长差异．这种处理方式，一方面可以使学生学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析，另一方面也提高了学生分析问题、解决问题的能力．

4.归纳体会，类比应用

（1）今天你学到了什么？

（2）请同学们针对新课引入中的两个实验，建立相关的函数模型，并分析它的增长特点．

设计意图：本环节以讨论的形式展开，在热烈的讨论过程中，再现本节课的知识体系，梳理整个探究过程中体现的思想方法，优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强对知识间内在联系的理解和认识.

5.布置作业，课外延伸

巩固性作业：P107习题3.2A组:1、2、3

课外探究：收集身边有关分期付款的信息，建立并分析相关的数学模型课后作业分为两种形式,体现作业的巩固性和发展性原则,巩固性作业用于检测学生的学习效果,而课外探究采用开放性问题，供学生课后研究，有利于扩展学生的数学视野，提高实践能力，它也是新课标里研究性学习内容的一部分.六、说评价

要注意：过程与结果并重；自评与互评并重；建立学生的成长档案.

在评价学生课堂活动中的表现时，不苛求数学建模过程的严密，结果的准确，要重过程，重参与，其内容应关注：创新性、现实性、真实性、合理性、有效性，有一项做得好就要给与充分的肯定.

七、说开发

作为数学建模的起始课，本节课可以开发出丰富的课程资源，要重点关注两个方面：

1.研究性学习课题数列在分期付款中的应用；

线性规划的实际应用；

定积分在经济生活中的应用

2.相关的选修专题3-2信息安全与密码

3-3球面上的几何

3-5欧拉公式与闭曲面分类

4-3数列与差分

4-7优化法与试验设计初步

4-10开关电路与布尔代数