3.4.1　函数与方程（2）。

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。关于好的教案要怎么样去写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《3.4.1　函数与方程（2）》，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

3.4.1函数与方程（2）
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．

教学重点：
用二分法求方程的近似解；
教学难点：
二分法原理的理解．JAb88.Com

教学方法：
讲授法与合作交流相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；
（2）给出函数f(x)＝lgx＋x－3存在零点的区间；
2．问题：如何求方程lgx＝3－x的近似解？
二、学生活动
用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．
三、建构数学
1．对于区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地
把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
（1）确定f(a)f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；
（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；
（3）判断零点范围：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a)f(x1)＜0，则零点x1(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；
（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．
四、数学运用
例1求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．
例2借助计算器用二分法求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)
变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．
练习
1．确定下列函数f(x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(kZ)：
（1）函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是．
（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．
（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．
（4）函数f(x)＝lgx＋x－3有零点的区间是．
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是．
3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．
五、要点归纳与方法小结
1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
六、作业
P96练习第1，2，3题．

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函数与方程

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助教师能够井然有序的进行教学。关于好的教案要怎么样去写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《函数与方程》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

【必修1】第四章函数应用
第一节函数与方程(2)
利用二分法求方程的近似解
学时:1学时
[学习引导]
一、自主学习
1.阅读课本页
2.回答问题：
（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？
（2）层次间有什么联系？
（3）二分法求函数零点的步骤是什么？
3.完成课本页练习及习题4－1．
4.小结
二、方法指导
1.本节课内容的重点：利用二分法求方程的近似值．
2.认真体会数形结合的思想．
3.注意用计算器算近似值的步骤
【思考引导】
一、提问题
1.为什么要研究利用二分法求方程的近似解?
2.如何用框图表述利用二分法求方程实数解的过程？
二、变题目
1.设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0则方程的根落在区间（）
A.（1.25,1.5）B.(1,1.25)
C.(1.5,2)D.不能确定
2.用“二分法”求方程在区间（2，3）内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是。
3.借助科学计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）

【总结引导】
1.任何方程，只要它所对应的图象是连续曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值，二分的次数越多，根就越精确．二分法体现了无限逼近的数学思想
2.利用二分法求方程近似解的步骤是：
①确定区间［］，使在［］上连续，且；
②求区间的中点；
③计算；
（１）若则就是方程的解
（２），则方程的解；
（３），则方程的解．
（４）判断是否达到精确度要求，若区间两端点按精确度要求相等，则得到方程的近似解．
【拓展引导】
1.函数的零点所在的大致区间是（）
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球?要求次数越少越好.

3.某同学解决一道方程近似解的问题解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似实数解（精确到0.01）.
解:f(-1)=-50,f(3)=30,
可以取初始区间[-1，3]，以后用二分法逐步求解，请问他的解答正确吗？

参考答案
【思考引导】
一、提问题
１．因为二分法求方程实数解的思想是非常简明的，利用计算器能很快解决近似值问题．二分法的基本思想也将在以后的学习中不断帮助我们解决大量的方程求解问题．
2.利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用右图表示．
【变题目】
1、A2、（2,2.5）
3、【解析】：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7对应值表：
x01234567
f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142
f(1)f(2)0取区间[1,2]
区间中点的值中点函数近似值
(1,2)1.50.33
(1,1.5)1.25-0.87
(1.25,1.5)1.375-0.28
(1.375,1.5)1.43750.02
(1.375,1.4375)
由于|1.375-1.4375|=0.06250.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。

【拓展引导】
1.（C）在上是增函数，0
时在（0，1）内无零点。
在（1，2）和（3，4）内均无零点。
而,故在（2，3）内至少有一个零点。
2.三次
3.提示：不正确。对于这样的高次方程，首先要确定它的实数解的个数，一般可以利用函数的单调性或函数的图像来确定。
对于此题：
有三个零点

整合函数与方程教案

第三章单元小结（一）

（一）教学目标
1．知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
回顾反思构建体系1．函数与方程单元知识网络
2．知识梳理
①二次函数的零点与一元二次方程根的关系
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当f(x)=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
②函数的零点的理解
（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实根，有几个实根.
③函数零点的判定
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)f(b)＜0，若满足，那么函数y=f(x)在区间（a，b）内必有零点.
④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：
（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.
（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.
（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判断零点近似值为a或b.
⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：
（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；
（2）求曲线y=f(x)和y=g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y=f(x)–g(x)的零点，即求方程f(x)–g(x)=0的实数解.1．师生合作，绘制单元知识网络图
2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理.整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.
经典例题剖析

例1利用计算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精确到0.1)

例2确定函数f(x)=+x–4的零点个数.例3（1）试说明方程2x3–6x2+3=0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）
（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么结论？

1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.
例1【解析】设f(x)=2x+2x–5，由于函数在R上是增函数，所以函数f(x)在R上至多一个零点.
∵f(1)=–1＜0，f(2)=3＞0，
∴f(1)f(2)＜0，
∴函数f(x)=2x+2x–5在(1,2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：
取区间中点值中点函数值
(1,2)1.50.83(正数)
(1,1,5)1.25–0.12(负数)
(1.25,1.5)1.3750.34(正数)
(1.25,1.375)1.31250.11(正数)
(1.25,1.3125)
∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，
∴函数f(x)的零点近似值为1.3125.
∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.
例2【解析】设，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x=4时，y1=–2，y2=0，
当x=8时，y1=–3，y2=–4，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点，又和y2=x–4均为单调函数.
∴两曲线只有两个交点，
即函数有两个零点.
例3【解析】（1）设函数f(x)=2x3–6x2+3，
∵f(–1)=–5＜0，f(0)=3＞0，f(1)=–1＜0，
f(2)=–5＜0，f(3)=3＞0，函数y=f(x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3–6x2+3=0有3个实数解．
首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标
a0=–1，b0=0
x0=(–1+0)/2=–0.5
x1=(–1–0.5)/2=–0.75
x2=(–0.75–0.5)/2=–0.625
x3=(–0.75–0.625)/2=–0.6875
x4=(–0.6875–0.625)/2=–0.65625
x5=(–0.65625–0.625)/2=–0.640625
x6=(–0.65625–0.640625)/2
=–0.6484375
x7=–0.64453125

计算端点或中点的函数值定区间
f(–1)=–5，f(0)=3[–1，0]
f(x0)=f(–0.5)=1.25＞0[–1，–0.5]
f(x1)=f(–0.75)＜0[–0.75，–0.5]
f(x2)=f(–0.625)＞0[–0.75，–0.625]
f(x3)=f(–0.6875)＜0[–0.6875，–0.625]
f(x4)=f(–0.65625)＜0[–0.65625，–0.625]
f(x5)=f(–0.640625)＞0[–0.65625，–0.640625]
f(x6)=f(–0.64843725)＜0[–0.6484375，–0.640625]
f(x7)＜0[–0.64453125，–0.640625]
由上表计算可知，区间[–0.64453125，–0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作为方程2x3–6x2+3=0在区间[–1，0]上的一个近似解．
同理可求得方程2x3–6x2+3=0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和为–0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同样方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也为3．
由于3只与未知数的系数比相等，即–(–6÷2)=3，所以猜想：
一般地，对于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三个根xl，x2，x3，则和为x1+x2+x3=．动手尝试练习提升综合应用知识的能力.
备选例题
例1求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象.
【解析】因为x3–2x–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
，[–1，1]，[1，2]，.
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
例2求函数f(x)=x3+x2–2x–2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.
【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间|an–bn|
[1，2]1
x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5
x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=–0.984＜0[1.25，1.5]0.25
x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=–0.260＜0[1.375，1.5]0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的计算可知，区间[1.375，1.5]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f(x)=x3+x2–2x–2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.

3.4.1 环境问题 2

高三地理高考第一轮单元复习

环境问题

巩固夯实基础

一、人类与环境

1.关系

（1）人类的生存和发展要占据一定的空间，并从环境中获取物质和能量。

（2）人类的新陈代谢和消费活动中的废弃物要排放到环境中。

2.环境问题产生的根本原因

（1）人类向环境索取资源的速度超过了资源本身及其替代品的再生速度。

（2）人类向环境排放废弃物的数量超过了环境的自净能力。

二、环境问题的表现

1.环境污染：大气污染、水污染、土壤污染、固体废弃物污染、噪声污染、放射性污染、海洋污染等。

2.生态破坏：滥伐森林、水土流失、土地荒漠化、土壤盐碱化、水源枯竭、森林减少、物种减少、大气中二氧化碳增加和臭氧破坏等。

三、环境问题的分布

函数方程

竞赛讲座15
-函数方程
一、相关知识
函数方程的解是

函数方程的解是

二、函数方程的题型
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战
意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程无解）。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
1、换元法
例题1、设函数满足条件，求。

例题2、设函数定义于实数集，且满足条件，求。

：函数在处没有定义，但对所有非零实数有：，求。
答案：
：求满足条件的。

2、赋值法
例题1、设函数定义于实数集上，且，若对于任意实数、，都有：
，求。

例题2、设函数定义于自然数集上，且，若对于任意自然数、，都有：，求。

四、究函数的性质
例题、设函数定义于上，且函数不恒为零，，若对于任意实数、，恒有：。
①求证：
②求证：
③求证：

：若对常数和任意，等式都成立，求证：函数是周期函数。
：设函数定义于实数集上，函数不恒为零，且对于任意实数、，都有：，求证：。