高中函数与方程教案

发表时间：2020-10-13

函数方程。

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师能够井然有序的进行教学。教案的内容要写些什么更好呢？小编经过搜集和处理，为您提供函数方程，仅供参考，欢迎大家阅读。

竞赛讲座15
-函数方程
一、相关知识
函数方程的解是

函数方程的解是

二、函数方程的题型
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战
意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程无解）。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
1、换元法
例题1、设函数满足条件，求。

例题2、设函数定义于实数集，且满足条件，求。

：函数在处没有定义，但对所有非零实数有：，求。
答案：
：求满足条件的。

2、赋值法
例题1、设函数定义于实数集上，且，若对于任意实数、，都有：
，求。

例题2、设函数定义于自然数集上，且，若对于任意自然数、，都有：，求。

四、究函数的性质
例题、设函数定义于上，且函数不恒为零，，若对于任意实数、，恒有：。
①求证：
②求证：
③求证：

：若对常数和任意，等式都成立，求证：函数是周期函数。
：设函数定义于实数集上，函数不恒为零，且对于任意实数、，都有：，求证：。

精选阅读

3.4.1　函数与方程（2）

3.4.1函数与方程（2）
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．

教学重点：
用二分法求方程的近似解；
教学难点：
二分法原理的理解．

教学方法：
讲授法与合作交流相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；
（2）给出函数f(x)＝lgx＋x－3存在零点的区间；
2．问题：如何求方程lgx＝3－x的近似解？
二、学生活动
用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．
三、建构数学
1．对于区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地
把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
（1）确定f(a)f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；
（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；
（3）判断零点范围：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a)f(x1)＜0，则零点x1(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；
（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．
四、数学运用
例1求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．
例2借助计算器用二分法求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)
变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．
练习
1．确定下列函数f(x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(kZ)：
（1）函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是．
（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．
（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．
（4）函数f(x)＝lgx＋x－3有零点的区间是．
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是．
3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．
五、要点归纳与方法小结
1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
六、作业
P96练习第1，2，3题．

整合函数与方程教案

第三章单元小结（一）

（一）教学目标
1．知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
回顾反思构建体系1．函数与方程单元知识网络
2．知识梳理
①二次函数的零点与一元二次方程根的关系
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当f(x)=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
②函数的零点的理解
（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实根，有几个实根.
③函数零点的判定
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)f(b)＜0，若满足，那么函数y=f(x)在区间（a，b）内必有零点.
④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：
（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.
（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.
（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判断零点近似值为a或b.
⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：
（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；
（2）求曲线y=f(x)和y=g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y=f(x)–g(x)的零点，即求方程f(x)–g(x)=0的实数解.1．师生合作，绘制单元知识网络图
2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理.整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.
经典例题剖析

例1利用计算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精确到0.1)

例2确定函数f(x)=+x–4的零点个数.例3（1）试说明方程2x3–6x2+3=0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）
（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么结论？

1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.
例1【解析】设f(x)=2x+2x–5，由于函数在R上是增函数，所以函数f(x)在R上至多一个零点.
∵f(1)=–1＜0，f(2)=3＞0，
∴f(1)f(2)＜0，
∴函数f(x)=2x+2x–5在(1,2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：
取区间中点值中点函数值
(1,2)1.50.83(正数)
(1,1,5)1.25–0.12(负数)
(1.25,1.5)1.3750.34(正数)
(1.25,1.375)1.31250.11(正数)
(1.25,1.3125)
∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，
∴函数f(x)的零点近似值为1.3125.
∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.
例2【解析】设，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x=4时，y1=–2，y2=0，
当x=8时，y1=–3，y2=–4，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点，又和y2=x–4均为单调函数.
∴两曲线只有两个交点，
即函数有两个零点.
例3【解析】（1）设函数f(x)=2x3–6x2+3，
∵f(–1)=–5＜0，f(0)=3＞0，f(1)=–1＜0，
f(2)=–5＜0，f(3)=3＞0，函数y=f(x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3–6x2+3=0有3个实数解．
首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标
a0=–1，b0=0
x0=(–1+0)/2=–0.5
x1=(–1–0.5)/2=–0.75
x2=(–0.75–0.5)/2=–0.625
x3=(–0.75–0.625)/2=–0.6875
x4=(–0.6875–0.625)/2=–0.65625
x5=(–0.65625–0.625)/2=–0.640625
x6=(–0.65625–0.640625)/2
=–0.6484375
x7=–0.64453125

计算端点或中点的函数值定区间
f(–1)=–5，f(0)=3[–1，0]
f(x0)=f(–0.5)=1.25＞0[–1，–0.5]
f(x1)=f(–0.75)＜0[–0.75，–0.5]
f(x2)=f(–0.625)＞0[–0.75，–0.625]
f(x3)=f(–0.6875)＜0[–0.6875，–0.625]
f(x4)=f(–0.65625)＜0[–0.65625，–0.625]
f(x5)=f(–0.640625)＞0[–0.65625，–0.640625]
f(x6)=f(–0.64843725)＜0[–0.6484375，–0.640625]
f(x7)＜0[–0.64453125，–0.640625]
由上表计算可知，区间[–0.64453125，–0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作为方程2x3–6x2+3=0在区间[–1，0]上的一个近似解．
同理可求得方程2x3–6x2+3=0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和为–0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同样方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也为3．
由于3只与未知数的系数比相等，即–(–6÷2)=3，所以猜想：
一般地，对于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三个根xl，x2，x3，则和为x1+x2+x3=．动手尝试练习提升综合应用知识的能力.
备选例题
例1求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象.
【解析】因为x3–2x–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
，[–1，1]，[1，2]，.
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
例2求函数f(x)=x3+x2–2x–2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.
【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间|an–bn|
[1，2]1
x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5
x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=–0.984＜0[1.25，1.5]0.25
x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=–0.260＜0[1.375，1.5]0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的计算可知，区间[1.375，1.5]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f(x)=x3+x2–2x–2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.

函数与方程（1）教案苏教版必修1

3.4.1函数与方程（1）
教学目标：
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．

教学重点：
函数零点存在性的判断．
教学难点：
数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．

教学方法：
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：在第3.2.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；
2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？
二、学生活动
1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象填空：
（1）k0，b0；
（2）方程kx＋b＝0的解是；
（3）不等式kx＋b＜0的解集；
2．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空：
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的解是；
（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为；
ax2＋bx＋c＜0的解集为．
三、建构数学
1．函数y＝f(x)零点的定义；
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间关系：
△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0
ax2＋bx＋c＝0的根
y＝ax2＋bx＋c的图象
y＝ax2＋bx＋c的零点
3．函数零点存在的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上不间断，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
四、数学运用
例1函数y＝f(x)(x[－5，3])的图象如图所示，根据图象，写出函数f(x)的零点及不等式f(x)＞0与f(x)＜0的解集．

例2求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．
例3判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
例4求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
练习：（1）函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______．
（2）若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是___________；
（3）二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是；
（4）已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝_____．
五、要点归纳与方法小结
1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．
六、作业
课本P97－习题2，5．

方程的根与函数的零点

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编帮大家编辑的《方程的根与函数的零点》，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

§3.1.1方程的根与函数的零点
学习目标
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2.掌握零点存在的判定定理.
旧知提示（预习教材P86~P88，找出疑惑之处）
复习1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.
判别式=.
当0，方程有两根，为；当0，方程有一根，为；当0，方程无实根.
复习2：方程+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象之间有什么关系？
判别式一元二次方程二次函数图象
合作探究
探究1：①方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.
②方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.
③方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的.你能将结论进一步推广到吗？
新知：函数零点与方程的根的关系

反思：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：（1）函数的零点为；（2）函数的零点为.
小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.
探究2：①作出的图象，求的值，观察和的符号
②观察下面函数的图象，
在区间上零点；0；
在区间上零点；0；
在区间上零点；0.
新知：零点存在性定理

讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.

典型例题
例1求函数的零点的个数.

小结：函数零点的求法.
①代数法：求方程的实数根；
②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
课堂小结
①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理
知识拓展
图象连续的函数的零点的性质：
（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.
（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.
学习评价
1.函数的零点个数为（）.
A.1B.2C.3D.4
2.若函数在上连续，且有．则函数在上（）.
A.一定没有零点B.至少有一个零点
C.只有一个零点D.零点情况不确定
3.函数的零点所在区间为（）.
A.B.C.D.
4.函数的零点为，的零点为，的零点为.
5.若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为.
6.已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2)，求的取值范围.

课外作业
1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是()
A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6D．f(x)＝ex＋3x－6
2．函数f(x)＝lgx－9x的零点所在的大致区间是()
A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)
3．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是()
A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12
4．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()
A．0B．1C．2D．3
5．二次函数中，，则函数的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．无法确定
6．有下列四个结论：
①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞)
②若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数
③函数y＝5|x|的值域是(0，＋∞)
④函数f(x)＝x＋2x在(－1,0)有且只有一个零点．
其中正确结论的个数为()
A．1B．2C．3D．4
7．已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞.则a＝________.
8.二次函数有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数的取值范围是.
9.已知函数.
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.