高一数学空间图形的基本关系与公理教案。

俗话说，磨刀不误砍柴工。教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么，你知道教案要怎么写呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高一数学空间图形的基本关系与公理教案”，仅供您在工作和学习中参考。

空间图形的基本关系与公理

一.教学内容：
空间图形的基本关系与公理
二.学习目标：
1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；
2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；
3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。
三、知识要点
（一）空间位置关系：
I、空间点与线的关系
空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；
II、空间点与平面的关系
空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；
III、空间直线与直线的位置关系：
IV、空间直线与平面的位置关系：
V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交
说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。
（二）异面直线的判定
1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；
2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。
（三）平面的基本性质公理
1、公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。
2、公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。
3、公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。
4、平面的基本性质公理的三个推论
经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；
经过两条相交直线，有且只有一个平面；
经过两条平行直线，有且只有一个平面
思考：
公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？
平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？
（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。
（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。
【典型例题】
考点一空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。
例1.下列命题：
空间不同的三点可以确定一个平面；
有三个公共点的两个平面必定重合；
空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；
④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；
⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。
其中正确的命题是。
解：⑥。
例2.空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。
解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）：
考点二异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。
例3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
考点三“有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。
例4.求证：过两条平行直线有且只有一个平面。
已知：直线a∥b。
求证：过a，b有且只有一个平面。
证明：存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。
唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面。在直线上任取两点A、B，在直线b上任取一点C，则A、B、C三点不共线。由于这两个平面都过直线a，b，因此由公理1可知：都过点A、B、C。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。
综上所述：过a，b有且只有一个平面。

考点四共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。
例5.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。
已知：平面，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。
证明：因为，故a，b共面。
I、若a∥b：由于，故，因直线，故a，c无公共点。又a，c都在平面内，故a∥b；故a∥b∥c。
II、若，则，故知
综上所述：命题成立。
说明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上；证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上即在第三条直线上。
考点五共线的判断与证明：常见题型是三点共线。
例6.如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A三点共线。
证明：连结AC.因为A1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三点在平面B1D1A和AA1C1C的交线上，故O1、M、A三点共线。
说明：证明三线共点问题的常见思路是证明第三点在前两点所确定的直线上；或者证明三点是两相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上。
考点六共面问题的判断与证明：此类题型常见的是四点共面或三线共面，如证明某个图形是平面图形。
例7.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求证：E、F、G、H四点共面；直线FH、EG、AC共点。
证明：如图，连结HG，EF。在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，故EF是△ABD的中位线，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，从而GH、EF可确定一个平面，即G、H、E、F四点共面。
由于E、F、G、H四点共面，且FH与EG不平行，故相交，记交点为M，则M∈FH，FH面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。从而M是面ACD和面ABC的公共点，由公理3可知，M在这两个平面的交线AC上，从而FH、EG、AC三线共点。
说明：共面问题的常用的处理方法是利用平面的基本性质公理2及三个推论，先证明部分元素确定一个平面，再证剩下的元素也在此平面上；有时也可先证部分元素共面，剩下的元素共面，然后证明这两个平面重合（此时也可用反证法）。
［本讲涉及的主要数学思想方法］
1、数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，必须能将这三种语言即文字语言、符号语言和图形语言进行准确的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要；
2、空间观念和空间想象能力：高考中立体几何题的题型功能最重要的一点就是考查考生的空间观念和空间想象能力，因为我们是通过平面图形（直观图）去研究空间关系，所以同学们在学习过程中一定要多观察、多思考，动手做一些空间模型或通过电脑动画模拟一些空间图形，培养空间概念，提高空间想象能力。

【模拟试题】
一、选择题
1、在空间内，可以确定一个平面的条件是（）
A.两两相交的三条直线
B.三条直线，其中的一条与另两条分别相交
C.三个点
D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
2、（2008辽宁卷）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）
A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条
*3、已知平面外一点P和平面内不共线的三点A、B、C。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分别在PA、PB、PC上，若延长A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（）
A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上
4、空间中有三条线段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）
A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交均有可能
5、下列叙述中正确的是（）
A.因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。
B.因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。
C.因为，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。
D.因为，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。
6、已知异面直线a，b分别在平面α，β内且α∩β＝c，那么c（）
A.至少与a，b中的一条相交；
B.至多与a，b中的一条相交；
C.至少与a，b中的一条平行；
D.与a，b中的一条平行，与另一条相交
7、已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是（）
二、填空题
8、在空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，则2MN与AB+CD的大小关系是。
9、对于空间中的三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。其中，能推出三条直线共面的有。
三、解答题
10、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点。
求证：CE、D1F、DA三线共点；
求证：E、C、D1、F四点共面；
11、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若Q是A1C与平面ABC1D1的交点，求证：B、Q、D1三点共线。
12、如图，已知α∩β＝a，bα，cβ，b∩a＝A，c//a.求证：b与c是异面直线。
*13、（2005高考题改编）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、C1B1的中点，试作出正方体过P、Q、R三点的截面。

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高一数学集合的基本关系教案

1.2-1集合的基本关系
教学目的：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；
课型：新授课
教学过程：
一、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0N；（2）Q；（3）-1.5R
2、类比实数的大小关系，如57，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）
二、新课教学
1、集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作AB
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
2、集合与集合之间的“相等”关系；
，则中的元素是一样的，因此
即
练习
3、结论：任何一个集合是它本身的子集
4、真子集的概念
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
举例（由学生举例，共同辨析）
5、规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6、结论：，且，则
三、例题讲解
例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；
例2写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
结论：集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为：2n
真子集的个数：2n-1，非空真子集个数：2n-2（在后继学习中会对此结论加以证明）
四、课堂练习：P9练习题
五、归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；
六、作业布置
1、书面作业：习题1.25个小题
2、提高作业：
○1已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。
○2设集合，
，试用Venn图表示它们之间的关系。
○2P10B组题
板书设计（略）

高一数学集合的基本关系教学设计

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1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0N；（2）Q；（3）-1.5R
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如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作AB
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，则中的元素是一样的，因此
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若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
举例（由学生举例，共同辨析）
5、规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6、结论：，且，则
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例2写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
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，试用Venn图表示它们之间的关系。
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高一数学《同角三角函数的基本关系式》说课稿

高一数学《同角三角函数的基本关系式》说课稿

各位评委、老师们，大家好！我是来自于XX中学的霍XX。

今天我说课的题目是人教A版必修四第一章第二节《同角三角函数的基本关系式》，下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法、教学过程设计和教学效果反思五个方面来阐述我对这节课的教学认识和设计，敬请各位评委专家给予指正。

一.教材分析

1.教材的地位和作用

本节内容是整个三角函数知识的基础,也是整个三角函数部分的引入阶段，与上一节《任意角的三角函数》关系非常密切，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

2．教学目标

知识目标：（1）掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法及它们之间的联系?

（2）会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行求值?

能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维

能力,培养学生观察发现能力,提高分析问题能力、逻辑推理能力?,增强数形结合的思想、创

新意识。

情感目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，进一步培养良好的思维习惯。在问题提出

和解决的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识；在体验数学美的过程中激发学

生的学习兴趣。通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识。

3.教学重点与难点

(1)重点:同角三角函数的基本关系式推导及其应用

(2)难点：同角三角函数的基本关系式变式及灵活运用

二.学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样,内容比较基础,学生容易理解和掌握，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三．教法学法分析

1．教法分析

讲授法引导探究法、小组讨论法、讲练结合法等

2．学法分析

在学法上，我强调学生主体意识，以学生自主探究为主，让学生变被动的接受知识为主动的索取知识；通过观察、猜想、分析、归纳来推导出新知识，让学生主动参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。

四．教学过程设计

1.复习导入引入新知

气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，从蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索这件事从中我们还可以看出，一只蝴蝶与龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题。

为了解决这个课题，首先，让我们来共同回顾两个问题。

问题1：三角函数的定义是怎样的？

设计意图：温故知新，三角函数定义是推导关系式的基础理论。

问题2：角α终边与单位圆的交点P的坐标是什么？

设计意图：单位圆中推导公式会用到P点的坐标，P的坐标是此处数与形的交汇点。

2.动脑思考探索新知

学生自主探究：

Sin30°=cos30°=sin230°+cos230°=

Sin45°=cos45°=sin245°+cos245°=

Sin60°=cos60°=sin260°+cos260°=

tan30°=tan45°=tan60°=

==

设计意图：通过由特殊到一般的认知，使得学生易于总结规律，易于接受新知识

题目做完以后引导学生思考以下几个问题：

（1）你还能举出类似于题目形式的例子吗？

（2）从以上过程中，你能发现什么一般规律吗？你能用代数式表示这个规律吗?你能用语言叙述这个规律吗？

（3）你能证明自己所得到的规律吗？

设计意图：新课标强调学生的观察、思考、探索、推理，本题组通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示、并给出证明这一重要的数学探索过程。

学生会很容易的猜想到：sin2α+cos2α=1

证法1.以正弦线MP、余弦线OM和半径OP构成的直角三角形OMP中，OP=1,由勾股定理很容易得到：MP2+OM2=OP2=1因此x2+y2=1即sin2α+cos2α=1

由正切函数的定义很容易得到：

设计意图：采取教材上单位圆的数形结合法，让学生进一步体会数学是

数与形的有机结合。

证法2.用三角函数的定义证明

设计意图：给学生自主解决，并且学会对三角函数定义的灵活应用。

注意：

（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在函数有意义的前提下）关系式都成立。

以下说法错误的是

A.sin24α+cos24α=1B.sin2（α+β）+cos2（α+β）=1

C.sin2+cos2=1D.sin2α+cos2β=1

设计意图：对这些易错点改成小题进行小组抢答，目的是通过错误尝试，深刻理解“同角”的含义

（2）sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα”的平方，不能将sin2α写成sinα2前者是α的正弦的平方，后

者是α的平方的正弦，两者是不同的，教学时应使学生弄清它们的区别，并能正确书写。

（3）掌握公式的变形。公式sin2α+cos2α=1可变形为cos2α=1-sin2α；sin2α=1-cos2α；

；。公式可变形为sinα=tanαcosα

（4）商数关系中注意限制条件。即cosα≠0，当α的终边与坐标轴重合时，公式

sin2α+cos2α=1也成立

3.巩固知识例题解析

因为我所任教的学生接受能力差，所以对本节例题分两节完成，这节课只完成例题6，关于利用关系式求值的问题

引例.已知sinα=-,α为第三象限的角,求α的余弦值、正切值。

设计意图：本题是对教材例题6的改编，根据我所任教的学生的实际情况，所以我选择增加了“α为第三象限的角”这个条件，这也为例题6的过渡增设了台阶，为例题6的完成降低例题难度。

例题6.已知sinα=-,求α的余弦值、正切值。

说明：提出此问题后，学生先自己思考，然后小组讨论，教师通过巡视，对有困难的同学做以下引导：对此问题需要进行讨论。讨论时，首先根据已知条件可以确定角α为第三或第四象限

的角，然后就α为第三象限的角或α为第四象限的角分别求出cosα和tanα。最后让学生在练习本上写出答案，用多媒体展示小组成果，由其他小组或老师作出点评。

设计意图：引导学生自主探索，亲自体验解题思路的形成过程，学会分析问题，解决问题的方法，培养学生分类讨论的思想。同时使本节课的难点得以突破。

例题巩固.已知tanα=3求的值。

设计意图：本题紧扣本节课的教学目标，通过例题的求解，让学生加深对关系式的融会贯通，突破本节课的难点。

4.运用知识强化练习

(1)已知cosα=-,且α是第二象限的角，求α的余弦值、正切值。

(2)已知tanα=-，求α的正弦值、余弦值。

设计意图：一个新知识的出现，要达到熟练运用的效果，仅仅了解是不够的，一定量的“重复”是有效的，也是必要的，所谓“温故而知新”、“熟才能生巧”。

5.归纳小结布置作业

以下内容均由学生总结，不到之处，由老师点拨补充，对表现好的同学适时表扬

知识方面：本节课从特殊角的三角函数值的计算、观察、找出规律，进而尝试用三角函数的定义推导出正弦函数，余弦函数和正切函数的关系，然后用单位圆、三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式。又通过例题和课堂练习介绍了公式在求值、化简和证明等方面的应用，两个基本关系式是三角函数的基础，希望同学们加深理解，灵活运用。

思想方法：1、特殊-----一般-----证明

2、数形结合思想

分层作业A巩固题教科书第20页练习第1、2题

B选做题已知tanα=－3，求值（1）3sinαcosα

（2）3sin2α+5cos2α+2

（3）

设计意图：根据学生不同程度，布置分层作业，选做题让学有余力的学生适当加深，以满足他们学习的愿望，发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况，进一步落实教学目标，也符合面向全体，分层教学和因材施教原则。

集合的基本关系

1.1.2集合间的基本关系
一、内容及其解析
（一）内容：集合间的基本关系。
（二）解析：本节课要学的内容有集合间的基本关系指的是集合间的包含和相等关系,其核心（或关键）是弄清楚集合中的元素之间的关系理解它关键就是分析清楚集合中的元素，学生已经学过了集合的含义与表示并且学习过实数间的大小关系。本节课的内容集合间的基本关系就是在此基础上的发展（或就是它的下位概念,就可以类比它，等等）（定起点）。由于它还与后续很多内容，比如圆锥曲线有思想方法上（都通过类比的想法来进行学习）联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。教学的重点是子集、真子集、等集和空集所以解决重点的关键是分析好集合间的关系、弄清楚集合中的元素。
二、目标及其解析
（一）教学目标
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集；
（2）在具体情境中，了解空集的含义；
（二）解析
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集就是指集合两个集合之间是子集、真子集还是相等，掌握相应的含义以及数学表示、数学记号，并不致混淆；；
（2）在具体情境中，了解空集的含义。就是指要掌握空集的含义，能分析给出的集合是否为空集；对关于空集的规定即空集是任何非空集合的子集，是任何非空集合的真子集要牢记。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是解题中对空集是任意集合的子集这一条件容易忽略,产生这一问题的原因是对这一新规定接受度不强.要解决这一问题,就是要依据实例反复操练,其中关键是师生的互动要到位.
四、教学过程设计
一、导入新课
实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
二、提出问题
问题1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
(1)；
(2)设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
(3)设
(4).
问题2：同样是子集，会不会有差别呢？
(1)请看幻灯片上的例子，你能发现什么问题吗？
(2)这两种不同的情形该如何表述呢？
(3)学生回答，师生共同归纳出真子集和集合相等的数学定义及数学语言表述。
问题3：请看幻灯片上给出的几个集合，你能发现什么问题？
(1)这些集合有什么共同特征？
(2)你能举出更多的空集的例子吗？
(3)你认为空集和其它集合是什么关系？和非空集合又是什么关系
三．概念的巩固和应用
四．课堂目标检测
优化设计：随堂练习.
五．小结
1、集合之间的关系，子集，集合相等，真子集等概念；
2、Venn图的运用；
3、空集的定义和性质；
4、集合之间的基本关系的主要结论；
5、当一个集合有n个元素的时候，其子集有个，真子集有个，非空真子集有个。