高三数学教案：《构建数学模型解数列综合题》教学设计。
俗话说，凡事预则立，不预则废。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。关于好的教案要怎么样去写呢？下面是小编帮大家编辑的《高三数学教案：《构建数学模型解数列综合题》教学设计》，但愿对您的学习工作带来帮助。
高考要求
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度
重难点归纳
1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题
2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关
(1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力
(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系
(3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力
典型题例示范讲解
例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型
知识依托 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点
错解分析 (1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差
技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧
解 (1)第1年投入为800万元，
精选阅读
高三生物教案：《生物模型的构建》教学设计
一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师更好的完成实现教学目标。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是小编精心收集整理，为您带来的《高三生物教案：《生物模型的构建》教学设计》，仅供参考，大家一起来看看吧。
本文题目：高三生物教案：生物模型的构建
2012高考第二轮复习专题——解题技巧之生物模型的构建
一、考纲要求
新的课程标准对生物模型的构建和应用提出了较高的要求，如要求学生理解所学知识，并能够构建知识网络，能利用文字图表以及数学方式准确表达生物学信息，领悟建立模型等科学方法及其在科学研究中的应用。
二、考题规律
构建模型的题目因其文字阅读量小，信息量大，直观明了，形式灵活，而广泛地出现在各个知识点的考查过程中，内容广，变化多。旨在考查学生获取和处理信息的能力、图文转换能力、对生物学基础知识之间关系的把握能力。
三、考向预测
在理综试卷中，生物学科考查题目较少，利用模型的构建命制的题目，具有广泛考查学生生物学知识和能力的优势。因此，这种题型在今后的一段时间内将继续出现。考查形式方面，判断模型归类的问题出现的可能性不大，一般是给出模型，并提供解题信息或解题背景来考查学生。
模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的定性或定量描述。有的借助于具体的实物或其他形象化的手段来表达，有的则通过抽象的形式来表达。
模型分三类：物理模型、概念模型、数学模型。
1. 概念模型：以文字、符号等抽象概念代替原型进行研究的方法，显示事物的生命活动规律、机理，展示概念间的层级结构。如达尔文的自然选择学说的解释模型，血糖的来源与去向模型等。特点是直观化、模式化，信息表达简明、清楚。
概念模型类题目的解题技巧：找出“题眼”，准确、规范地进行知识迁移，判断选项具体指向，分析作答。
2. 物理模型：以实物或图画形式直观反映认识对象的形态结构或三维结构，这类实物或图画即为物理模型。如真核生物的三维结构模型、DNA双螺旋模型，叶绿体结构模型等，又如橡皮泥模拟染色体等。
3. 数学模型：用符号、公式、图象等数学语言表现生物学现象、特征和状况的方法称为生物数学模型法。如酶的活性随温度变化而变化的曲线，豌豆实验中9：3：3：1的比例关系，减数分裂过程中染色体数量变化曲线、种群增长的曲线等。
(1)坐标曲线型：关注曲线趋势、特殊点(折点、交点)、横纵坐标的含义、自变量和因变量的关系。
(2)表格分析型：关注数据之间的关联、数据变化的规律。
(3)柱(条)形坐标图(或坐标直方图)：重点关注纵轴表示的含义。
聚焦热点1：概念模型和物理模型
例1 下列①～③分别是根据甲乙丙作出的判断，其中正确的是( )
①若甲中a和b分别代表乳酸菌和蓝藻，则c代表细菌，d代表原核生物
②若乙中3个圆圈代表3种生物生存的空间范围时，则最容易灭绝的生物是b
③若丙中a和b代表应激性和反射这两个概念，则a表示反射，b表示应激性
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
思路分析：甲图中，a乳酸菌属于c细菌，b蓝藻不属于细菌，二者同属于d原核生物。乙图中，c的生存空间最大，最不容易灭绝。a、b的空间范围接近，但a的生活范围完全与c重合，竞争更激烈，因此a更容易灭绝。应激性是生物对内外刺激发生的反应，包含神经系统参与的反射活动。
答案：B
点评：本题考查细胞的结构、生存能力判断、应激性与反射等概念之间的从属关系。
例2 下图为人体和人体细胞内某些信息传递机制的模式图，图中箭头表示信息的传递方向。下列叙述中，不正确的是( )
A. 如果该图表示细胞中遗传信息的表达过程，则e过程发生在核糖体上
B. 如果a表示抗原，b表示吞噬细胞和T细胞，c为B细胞，则该过程属于体液免疫过程
C. 如果该图表示反射弧，则其中的信息是以局部电流的形式传导的
D. 如果图中a为下丘脑，b为垂体，c为肾小管和集合管，则d和e为同一种物质
思路分析：遗传信息的表达过程遵循中心法则，a：DNA，b：信使RNA，c：蛋白质，d：转录(细胞核)，e：翻译(核糖体)。抗原经吞噬细胞呈递给T细胞，T细胞将产生淋巴因子刺激B细胞，这是体液免疫的过程。反射弧中兴奋的传导方式为电信号和化学信号。抗利尿激素由下丘脑神经内分泌细胞产生，通过垂体释放，作用于肾小管和集合管。
答案：C
点评：概念模型方法中，利用文字、箭头指向提供的信息，准确找到相关的知识进行解读是解题的关键。
例3 图甲、乙分别表示同一细胞的部分结构，下列判断不正确的是 ( )
A. 该细胞可表示神经元细胞
B. 图甲的分泌物一定是在细胞核糖体上合成后，最后由高尔基体分泌的
C. 图乙所示的兴奋传导形式是电信号，②表示兴奋部分
D. 图甲将化学信号转化为电信号在图乙部分继续传导
思路分析：由乙图判断该细胞可能为神经细胞，神经细胞分泌的物质是神经递质，其化学本质不一定就是蛋白质，而核糖体上合成的是蛋白质(多肽)。
答案：B
点评：本题考查的是神经细胞结构和兴奋传导的物理模型。
例4 下图所示为叶绿体中色素蛋白等成分在细胞膜上的分布。在图示结构上( )
A. 生物膜为叶绿体内膜
B. 可完成光合作用的全过程
C. 发生的能量转换是：光能→电能→活跃化学能
D. 产生的ATP可用于植物体的各项生理活动
思路分析：根据叶绿体中的光合色素分布判定该生物膜为类囊体的薄膜，只能完成光反应过程，实现光能→电能→活跃化学能的能量转换，产生的ATP和NADPH(还原剂氢)只用于暗反应，而植物其他各项生理活动则需要呼吸作用产生的ATP直接供能。
答案：C
点评：本题借用膜结构的物理模型，考查与光合色素相关的生理活动。
例5 下图是有关神经和内分泌细胞的结构示意图，请据图回答：
(1)若该图为人体血糖含量降低时的调节过程，则下丘脑接受刺激后，促使_______分泌激素，主要作用于________(靶器官)，使血糖含量升高。
(2)若该图为人体受到寒冷刺激时的调节过程，则下丘脑接受刺激后，通过有关神经促进______分泌甲状腺激素，导致靶细胞内的________(用反应式表示)过程增强，以增加产热量。
思路分析：(1)调节升高血糖的激素主要是胰高血糖素、肾上腺素等，主要作用于肝脏，促进肝糖原分解。(2)在寒冷的条件下，机体的神经系统感知刺激并促使体液调节的发生，参与的激素主要是肾上腺素和甲状腺激素，促进机体代谢，产热增加。
答案：(1)肾上腺和胰岛A细胞 肝脏 (2)甲状腺 C6H12O6+6O2+6H2O 12H2O+6CO2+能量
点评：以图画形式考查生命活动调节过程中的神经-体液调节的相互协调。
聚焦热点2：数学模型
例1 下列与图示模型生物学现象或过程不相符的是( )
A. 若横坐标表示时间，纵坐标表示种类数量，则曲线b可表示种子萌发过程中的一段时间内有机物种类的变化，曲线a表示种子中有机物总量的变化
B. 若横坐标表示时间，纵坐标表示数量，则曲线a、b可表示在植物突然停止光照后，一段时间内叶肉细胞叶绿体中C5和C3的变化趋势
C. 若横坐标表示时间，纵坐标表示浓度，则曲线b可表示置于0.3 g/mL的蔗糖溶液中的洋葱表皮细胞，一段时间内细胞液浓度随着时间推移的变化，曲线a则表示液泡体积的变化
D. 若横坐标表示生物种类，纵坐标表示稳定性，则曲线a可表示生态系统的抵抗力稳定性，曲线b可表示生态系统的恢复力稳定性
思路分析：在种子萌发过程中，种子通过呼吸作用形成的各种中间产物增加，有机物的种类增加，但消耗有机物造成总量减少;在光合作用过程中，突然停止光照，光反应停止，C3的还原停止，而CO2继续和C5结合形成C3，所以C3的含量会上升，C5的含量下降;细胞渗透失水，细胞液的浓度增加，液泡的体积减小;生态系统中生物的种类越多，抵抗力稳定性越强，恢复力稳定性越弱。
答案：D
点评：本题是常见的坐标曲线模式图。通过改变横纵坐标的含义，进而表示不同的生物学过程。解题的要点是把曲线的变化趋势与坐标含义相结合。
例2 科学家对某草原生态系统的能量流动进行了研究，获得下表数据。下列有关叙述不正确的是 ( )
营养级 从上一个营养级流入的能量数[kJ/(m2?y)] 呼吸消耗的能量数[kJ/(m2?y)]
Ⅰ 501.2
Ⅱ 141.0 79.1
Ⅲ 15.9 13.2
Ⅳ 0.9 0.5
分解者 221.7 192.6
A. 该生态系统从第Ⅱ营养级到第Ⅲ营养级的能量传递效率为11.28%
B. 第Ⅰ营养级固定的太阳能总量是863.9 kJ/(m2?y)
C. 各营养级之间的信息交流是双向的
D. 该生态系统遭受火灾后，发生的群落演替属于次生演替
思路分析：第Ⅱ营养级与第Ⅲ营养级的能量传递效率为15.9/141.0=11.28%;221.7中的能量共来自四个营养级，为501.2+141.0+221.7=863.9，显然不是第Ⅰ营养级固定的全部太阳能。火灾后发生的演替属于次生演替。
答案：B
点评：本题考查生态系统的能量流动、信息传递和群落演替。
例3 下图是据一个物种中的两个亚种种群(种群数量较大)的某一性状的测量结果绘制的曲线图。如果将这两个亚种置于同一生态系统中，并使之随机交配而进行基因交流，在进行了相当长时间的基因交流后，下列有四种根据预测的结果绘制成的曲线，你认为比较合理的是( )
思路分析：两个亚种种群(种群数量较大)置于同一生态系统中，随机交配而进行基因交流，二者的基因库将逐渐融合，性状趋于一致。
答案：B
点评：考查生物进化过程中基因交流的作用。
1. 熟记课本中的所有图例，包括图例中所有的结构名称及图形特征，它们是解决模型问题的基础。
2. 解决概念模型、物理模型问题的图解及图示题的方法：
(1)抓图：理解图中的具体过程，识别各部分名称。作出从局部到整体再到局部的变换。
(2)迁移：寻找模式图例中涉及的基础知识、基本规律，进行图文转换。
(3)推理判断：规范答题，准确、严密、完整。
3. 数据类模型问题的分析判断方法：
(1)能找到表格数据与曲线之间的转换点。
(2)对于表格数据，能进行纵横坐标比较，找出数据的变化规律;关注其中的极值，尝试分析极值出现的原因。
(3)柱状图中，横坐标在横向上一般没有顺次关系，可能只是某几个相似量的堆积。纵坐标的数值至关重要，一般需进行多向比较，提炼信息。
(答题时间：45分钟)
一、选择题
1. 某些生物学概念之间具有一定的包含关系，下列选项所示a、b、c所代表的物质中，符合图示关系的有 ( )
A. 主动运输 自由扩散 胞吐
B. 原核生物 细菌 酵母菌
C. 生态系统 群落 种群
D. 体液调节 激素调节 免疫调节
2. 图中E、F代表两种生物，如果H代表生物的生活条件，箭头代表营养流动方向，则可表示寄生关系的是 ( )
*3. 下图中甲表示人体不同体液间的物质交换，乙表示生态系统的碳循环过程，以下说法正确的是 ( )
A. 人体出现过敏反应时，甲图中的c增加引起水肿
B. 乙图中的c可以说是生态系统的基石
C. 甲图中d处的CO2浓度最高
D. 乙图中b所处营养级贮存的能量最少
4. 下图是某生物的细胞分裂示意图。下列叙述正确的是 ( )
A. 若图甲中的2和6表示两条Y染色体，则此图可以表示次级精母细胞
B. 图乙中①上某位点有基因B，则②上相应位点的基因可能是b
C. 图乙细胞中染色体、染色单体、DNA数量分别为2、0、4
D. 该生物体细胞中染色体数最多有16条
**5. 下图表示不同条件下，人体内某些物质含量变化的趋势，其中正确的是( )
*6. 依据所学的生物学知识，分析下列直方图，其中错误的是 ( )
7. 分析下图曲线，下列说法不正确的是( )
A. 进行海洋渔业捕捞至c时对应的种群数量为宜
B. c～d段种群数量下降
C. 该种群数量在e点达到K值
D. 该种群数量呈“S”型增长
8. 切除正常幼年狗的垂体后，短期内该狗血液中三种激素——促甲状腺激素释放激素(a)、促甲状腺激素(b)、甲状腺激素(c)的含量随时间的变化曲线最可能是( )
*9. 下图表示某生态系统在发展过程中生物总能量(A)和生产者所固定的太阳能(B)的变化，下面是据图得出的几个结论，其中不正确的是 ( )
A. 第10～20年是该生态系统向营养结构复杂化发展的时期
B. 该生态系统的自动调节能力30～40年比20～30年期间强
C. 从a点开始，曲线B下降的主要原因是消费者数量不断增加
D. 该生态系统在40～60年期间的生物种类比60～80年期间要多
*10. 阳光穿过森林中的空隙形成“光斑”，它会随太阳的运动和枝叶的摆动而移动。如下图表示一株生长旺盛的植物在“光斑”照射前后光合作用过程中吸收CO2和释放O2的有关曲线，此曲线说明 ( )
A. “光斑”照射前，光合作用无法进行
B. “光斑”照射开始后，光反应和暗反应迅速同步增加
C. “光斑”照射后，氧气释放曲线的变化说明暗反应对光反应有限制作用
D. 图示实线AB段的变化说明进行暗反应与光照无关
*11. 下列各选项与所给模型相符的是( )(“-”表示抑制，“+”表示促进)
① X ②
A. 若X表示植物细胞的吸水能力增大，则①可能代表质壁分离
B. 若X表示第一营养级拥有的能量总量增加，则①可能代表次级消费者的数量增加
C. 若X表示消耗ATP，则②可能代表小肠上皮细胞吸收胆固醇
D. 若X表示新物种形成，则②可能代表地理隔离
12. 下列有关生态系统中的碳循环和人体体液中物质交换的示意图的描述中，正确的是( )
A. 乙图中的D是生态系统中的主要成分
B. 人体内氧气浓度最高的是甲图中的B
C. 人体出现过敏反应时，甲图中的A增加导致组织水肿
D. 在因捕食关系建立的食物链中，能量最少的是乙图中的B所处的营养级
13. 下图表示某植物细胞内的代谢过程，下列有关叙述不正确的是( )
A. X、Y物质分别代表三碳化合物和丙酮酸
B. ①、④过程可以产生ATP，②过程需要消耗ATP
C. ①过程发生在线粒体基质中，④过程发生在细胞质基质中
D. ①②③④四个过程既不消耗氧气也不产生氧气
*14. 经调查，某生态系统中Y、X、Z分别为第一、第二和第三营养级，每个营养级不同物种的个体数量如图甲所示(图中每一柱条代表一个物种)。一段时间后个体数量发生变化，结果如图乙所示。
下列叙述正确的是( )
A. X营养级的生物被捕食的压力明显增加
B. Z营养级生物个体数量的增加是由捕食对象专一引起的
C. Y营养级生物个体数量的变化是由于捕食者对捕食对象有选择的结果
D. X营养级的生物之间存在明显的竞争关系，且其中某种生物处于竞争劣势
*15. 如图是细胞亚显微结构示意图，某同学观察此图后，作出了四项判断，你认为他的结论有几项是正确的 ( )
①该细胞取自低等植物
②用纤维素酶和果胶酶除去8后，剩余结构可称为原生质体
③含有核酸的细胞器有3种
④此细胞一般不通过渗透作用吸收水分
A. 一项 B. 两项 C. 三项 D. 四项
16. 下列有关神经细胞的叙述中，错误的是( )
A. 上图可表示突触小泡等各种膜结构
B. 静息电位的形成可能与膜上的b物质有关
C. 假设这是突触后膜，则突触间隙位于图示膜的上部
D. 将神经细胞膜的磷脂层平展在水面上，c与水面接触
17. 下图中甲、乙、丙、丁分别表示某人体内的几种细胞，它们的形态结构和功能各不相同的根本原因是( )
A. DNA的结构不同 B. 信使RNA不同
C. 遗传物质不同 D. 线粒体结构不同
18. 下列是有关生态系统的概念图，其中的①②③④分别是( )
A. 生态系统的结构 生态系统的种类 食物链和食物网 信息传递
B. 生态系统的结构 生态系统的成分 食物链和食物网 信息传递
C. 生态系统的种类 生态系统的成分 生态系统的稳定性 物质循环和能量流动规律
D. 生态系统的成分 生态系统的结构 食物链和食物网 物质循环和能量流动规律
19. 下图表示不同的生物或成分，下列说法错误的是( )
A. 若M表示遗传多样性，a、b、c、d表示四种不同的植物，则在剧烈变化的环境中生存能力最强的是b
B. 若M表示化合物含量，a、b、c、d表示细胞中的4种有机物，则脂质是d
C. 若M表示a、b、c、d四种元素质量的相对含量，则代表氧元素的为b
D. 若M表示a、b、c、d四种野生生物的种群密度，其中d是科学家在某原始森林中发现的一个新物种，则其价值主要表现为间接使用价值
*20. 以虫治虫是生态农业的重要内容，下图表示某一生态系统中四种生物所含有机物的总量。假设这四种生物只构成一条食物链。请问在一段时间内，如果甲的种群数量增加，其可能引起的后果是( )
A. 乙和丁的种群数量都增加
B. 乙和丁的种群数量都减少
C. 乙和丙的种群数量都减少
D. 乙和丙的种群数量都增加
二、非选择题
1. 图示为哺乳动物(或人体)神经和激素分泌的调节过程，请据图回答下列问题：
(1)下丘脑参与内环境水分平衡调节的途径是(用数字和箭头表示)________，此时的靶细胞是________。
(2)若某人的食物中缺碘，垂体分泌________增加，从而使________增生。
(3)下丘脑参与血糖调节的途径是(用数字和箭头表示)__________________。
(4)为了验证胰高血糖素具有升高血糖的生理作用，请你根据给出的实验材料和用具，完善实验步骤，并预测实验结果。
①材料和用具：年龄相同、体重相近的雄性成年大白鼠若干只，胰高血糖素溶液，生理盐水，注射器，血糖测量仪等。
②方法与步骤
A. 将实验鼠随机分为数量相等的甲、乙两组，并分别用给出的仪器，测定并记录它们的________。
B. 用注射器给甲组鼠注射________，给乙组鼠注射 。
C. 一定时间后分别测定并记录两组小鼠的血糖含量。
③结果预测：_______________________________________________________________。
④实验结论：_______________________________________________________________。
2. 豌豆的黄色子叶(Y)对绿色子叶(y)为显性，高茎(D)对矮茎(d)为显性，红花(C)对白花(c)为显性。这三对性状能够自由组合。下图是一次豌豆杂交实验的结果。请据此完成下列问题：
(1)写出这次杂交实验中双亲的基因型
①________×②________;
(2)指出这次杂交实验结果中，所有豌豆的基因型和表现型分别是多少种?___、___;
(3)现有显性纯合和隐性纯合两种豌豆，请你用最简捷的方法，获取这次杂交实验中的两个亲本：
获取亲本①的方法：___________________________________________________;
获取亲本②的方法：___________________________________________________。
3. 取出枪乌贼完整无损的粗大神经纤维并置于适宜环境中，进行如下图所示的实验,G表示灵敏电流计,a、b为两个微型电极，阴影部分表示开始发生局部电流的区域。
请据图分析回答下列各题：
(1)静息时，神经纤维膜内外的电位状况是： 。
(2)如果将a、b两电极置于神经纤维膜外，同时在c处给予一个强刺激(如图)，电流计的指针会发生两次方向 (填“相同”或“相反”)的偏转。若将b电极置于d处膜外(ab—bd)，a电极位置不变，则刺激c处后，电流计是否偏转? 。
4. 有一位生态学家，对5个生态系统中的生物群落的组成情况进行了调查，调查结果如下表：表中种1、种2……代表不同的物种;A、B……代表不同的生物群落;表中的数据表示每个物种的种群密度(单位：个体数100/m2)
生物群落 种1 种2 种3 种4 种5 种6 种7 种8 种9 种10
A 0 900 40 0 0 30 20 0 0 0
B 0 220 240 200 210 100 10 20 0 0
C 700 200 50 50 0 0 0 0 0 0
D 560 400 40 0 0 0 0 0 0 0
E 5 5 1 2 3 4 30 50 800 100
请对上述数据仔细分析后回答下列问题：
(1)上述5个生物群落中，当同时受到大规模虫害袭击时，你认为受影响最小的是___。
(2)在生物群落E中，若物种1是由物种2进化来的，在进化过程中_________成为必要的条件。
(3)根据你对上述调查数据的分析，你认为建立一个人工生态林应注意的问题是____，其目的是_________________。
一、选择题
1. C 2. B
3. C
解析：作为内环境的模式图，c为血浆、a为组织液、b为淋巴、d为细胞内液。过敏反应使a组织液中水分增多引起水肿;二氧化碳是细胞代谢过程中产生的废物，所以细胞内液中含量最高，然后通过自由扩散的方式排出。在生态系统的组成中，a生产者和b分解者是联系生物群落和d无机环境的纽带，生产者(a)才是生态系统的基石，消费者(c)不是;分解者不属于食物链，不属于任何一级营养级。
4. B
5. D
解析：甲状腺激素有增加产热的功能，因此受到寒冷刺激时，下丘脑就能合成并分泌促甲状腺激素释放激素，进而刺激垂体合成并分泌促甲状腺激素，促甲状腺激素又能促进甲状腺激素含量的增多，从而促进新陈代谢，抵御寒冷，A错;正常人在神经-体液的调节作用下，血糖含量维持在80～120 mg/dL，且空腹状态下，糖尿病患者的血糖浓度比正常人高，B错;进食后，人体内胰岛素含量增加，降低血糖。胰高血糖素减少，二者相互拮抗，C错。
6. A
解析：衰退型种群中，老年个体多，幼年个体少。
7. B 8. B
9. D
解析：该生态系统中生物总能量不断增加，说明生态系统在往结构复杂的方向发展，生物种类越来越多。
10. C
解析：“光斑”照射前，氧气释放量=二氧化碳的吸收量，说明“光斑”照射前，植物进行弱的光合作用，“光斑”照射开始后，光反应比暗反应增加快。“光斑”移开，光反应速率迅速变小，进而使暗反应速率下降，因此，暗反应与光照有关。
11. D
解析：植物细胞质壁分离过程中，细胞失水，细胞液的浓度增大，细胞的吸水能力增大;反之，细胞的吸水能力减小。若①代表次级消费者的数量增加，则第一营养级生产者的数量增加。小肠上皮细胞吸收胆固醇的方式是自由扩散，不消耗能量。长期的地理隔离会导致生殖隔离，产生新物种。
12. C 13. C
14. A
解析：由题意可知，存在Y→X→Z食物链。若每一营养级从左到右的柱条依次标记为1、2、3、4、5。据图可知，Z2数量增多，X2数量减少，Y1、Y2数量减少，Y5数量增多，所以该生态系统中应该存在 这样的关系。X营养级的其他两种生物数量没有大的变动，所以竞争关系不明显，D错;Z即可以捕食X，也可以捕食Y，B错;Y5数量的增加，一方面是由于捕食者X2的减少导致的，可以看作是捕食者对于捕食对象有选择的结果，另一方面Y1、Y2的减少也可能是在与Y5的竞争中处于劣势导致的，C错。X营养级的生物数量减少，被捕食的压力明显增加，A对。
15. D
解析：①低等植物含中心体;②去壁的植物细胞称为原生质体;③含有核酸的细胞器是1，3，9;④具有中央的植物细胞，能通过渗透作用吸收水分。
16. A 17. B 18. B 19. D
20. D
解析：根据四种生物所含有机物的总量得出食物链为丙→丁→甲→乙。如果甲的种群数量增加，乙的种群数量随之增加，丁的种群数量随之减少，导致丙的种群数量增加。
二、非选择题
1. (1)①→⑦(或①→②→⑦) 肾小管和集合管细胞
(2)促甲状腺激素 甲状腺 (3)⑥→④
(4)②血糖含量 适量的胰高血糖素溶液 等量的生理盐水
③甲组鼠血糖含量升高，乙组鼠血糖含量不变
④胰高血糖素有升高血糖的作用
2. (1)YyDdCc YyddCc (2)18种 8种 (3)选择显性纯合和隐性纯合两种豌豆进行杂交，所产生的F1即是所需的亲本 选择上面的F1和隐性纯合豌豆进行测交，那么测交子代中，具有黄色子叶、矮茎和开红花的植株就是所需的亲本②
3. (1)外正内负 (2)相反 偏转
4. (1)B (2)生殖隔离(或隔离，写地理隔离不给分) (3)不要用单一的树种营造人工林，而应该选择适宜在该地区生长的多个树种混合栽培，营造人工混交林 使生态系统的营养结构复杂，提高其抵抗力稳定性
高三数学教案：《算法初步》教学设计
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高三数学教案：《算法初步》教学设计”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
刘佰昌
学习
目标
1.对本章知识形成知识网络，提高逻辑思维能力和归纳能力；
2.熟练应用算法、流程图和算法基本语句来解决问题.
重点难点
重点：应用算法、流程图和算法基本语句来解决问题.
难点：形成知识网络.
学习
过程
与方
法
自主学习
复习回顾：
①本章知识结构：
②算法的定义及特征：
③三种逻辑结构：
顺序结构条件结构循环结构
④算法语句：
条件语句：For语句：Doop语句
合作探究
1．判断某一事情是否为算法
方法归纳：（1）判断某一问题是否为算法要把握算法的五个特征：
①有穷性②确定性③可行性④不惟一性⑤普遍性
例1．下列关于算法的说法中正确的个数有()
①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作之后停止
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊
④算法执行后一定产生确定的结果
A.1B.2C.3D.4
2．就某一问题画出程序框图并写出算法
方法归纳：（1）画程序框图时一定要明确图中各个符号的作用并能正确使用三种基本逻辑结构。（2）用程序设计语言描述算法时一定要注意有些符号与框图之中书写的不同。
例2．设计算法求的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
达标训练
1．阅读右上的程序框图。若输入m=4，n=3，则输出a=__12__，i=_3____。（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）
2．阅读如上右边的程序框图，若输入的
是100，则输出的变量和的（）
A．2500，2500B．2550，2550
C．2500，2550D．2550，2500`
3.如右图所示的程序是用来()
A．计算3×10的值B．计算的值
C．计算的值D．计算1×2×3×…×10的值
4.已知S=12－22＋32－42＋……＋(n－1)2－n2，请设计程序框图，算法要求从键盘输入n，输出S，并写出计算机程序。
作业
布置
课本50页复习参考题
学习小结
高三数学上册《等差数列》教学设计
高三数学上册《等差数列》教学设计
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时．数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．
【教学目标】
1．知识与技能
（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：
（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：
（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。
2.过程与方法
在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。
3.情感、态度与价值观
通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。
【教学重点】
①等差数列的概念；②等差数列的通项公式
【教学难点】
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．
【学情分析】
我所教学的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．
【设计思路】
1．教法
①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．
2．学法
引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法．
【教学过程】
一：创设情境，引入新课
1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？
2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？
3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？
教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数．
学生：
1：0，5，10，15，20，25，…．
2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．
3:10072，10144，10216，10288，10360.
（设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力．
二：观察归纳，形成定义
①0，5，10，15，20，25，…．
②18，15．5，13，10．5，8，5．5．
③10072，10144，10216，10288，10360.
思考1上述数列有什么共同特点？
思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？
思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？
教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．
学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定．
教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义．
（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达．）
三：举一反三，巩固定义
1.判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d.
(1)1,1,1,1,1;
(2)1,0,1,0,1;
(3)2,1,0,-1,-2;
(4)4,7,10,13,16.
教师出示题目,学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题．
注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0．
（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）．
2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？
（设计意图：强化等差数列的证明定义法）
四：利用定义，导出通项
1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？
2.已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？
教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示．根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法．
（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）
五：应用通项，解决问题
1判断100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？
2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.
3求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项
教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况．
学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式
（设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系．初步认识“基本量法”求解等差数列问题．）
六：反馈练习：教材13页练习1
七：归纳总结：
1.一个定义：
等差数列的定义及定义表达式
2.一个公式：
等差数列的通项公式
3.二个应用：
定义和通项公式的应用
教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充
（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念．）
【设计反思】
本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．
高三数学教案：《平面向量》教学设计
本文题目： 高三数学教案：平面向量
【知识网络】
【学法点拨】
向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：
1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.
2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.
3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.
【考点指津】
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等
概念.
2.掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.
3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.
4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.
【知识在线】
1.(2a+8b)-(4a-2b)=
2.在△ABC中，BC→ =a， CA→ =b，则AB→ =
3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30o走3km，则a+b表示的意义为
4.画出不共线的任意三个向量，作图验证a-b-c=a-(b+c).
5.向量a、b满足|a|=8，|b|=10，求|a+b|的最大值、最小值.
【讲练平台】
例1 化简以下各式：①AB→ +BC→ +CA→ ;②AB→ -AC→ +BD→ -CD→ ;③OA→ -OD→ +AD→ ;④NQ→ +QP→ +MN→ -MP→ .结果为0的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析 题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.
答 D.
点评 本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB→ = -BA→ ， +CB→ =AB→ .
变题 作图验证 A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ =A1An→ (n≥2，n∈N).
例2 如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ .
分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .
解 AB→ =AC→ +CB→ = -3a+2b，
因D、E为AB→ 的两个三等分点，
故AD→ = AB→ =-a+ b =DE→ ，
CD→ =CA→ +AD→ =3a-a+ b =2a+ b，
CE→ =CD→ +DE→ =2a+ b-a+ b=a+ b.
点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.
当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.
例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1.
分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得AC→ =λAB→ .很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用 PC→ =PA→ +AC→ 来转化，以便进一步分析求证.
证明 充分性，由PC→ =mPA→ +nPB→ ， m+n=1， 得
PA→ +AC→ =mPA→ +n(PA→ +AB→ )
=(m+n)PA→ +nAB→ =PA→ +nAB→ ，
∴AC→ =nAB→ .
∴A、B、C三点共线.
必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→ =λAB→ ，
即 AP→ +PC→ =λ(AP→ +PB→ ).
PC→ =(λ-1)AP→ +λPB→ =(1-λ)PA→ +λPB→ ，
m=1-λ，n=λ，m+n=1，
PC→ =mPA→ +nPB→ .
点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.
变题 在ΔABC 所在平面上有一点P ，满足PA→ +PB→ +PC→ =AB→ ，试确定点 P的位置.
答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点(距 A点较近)
例4 (1)若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA→ +OB→ +OC→ =0;(2)若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ =0;(3)若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =0.
若 O为正n边形A1A2A3…A n的中心，OA1→ +OA2→ +OA3→ +…+OAn→ =0 还成立吗?说明理由.
分析 本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似.
正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.
看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ +AnA1→ =0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢?运用向量相等的定义试试看.
解 证(3)以 A为起点作AB′→ =OB→ ，以 B′为起点作B′C′→ =OC→ ，以C′为起点作C′D′→ =OD→ ，以D′为起点作D′E′→ =OE→ .
∵∠AOB=72o，
∴∠OAB′=108o.
同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.
|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，
故 E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.
OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =OA→ +AB′→ +B′C′→ +C′D′→ +D′E′→ =0.
正三角形，正方形、正n边形可类似获证.
点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况;面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA→ +OB→ 与OC→ +OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.
【知能集成】
1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.
2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.
3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.
【训练反馈】
1.下列各式正确的是： ( )
A.∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ B. a+b∣>∣a∣+∣b∣
C.∣a+b∣>∣a-b∣ D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣
2.下面式子中不能化简成AD→ 的是 ( )
A.OC→ -OA→ +C D→ B.PB→ -DA→ -BP→
C.AB→ -DC→ +BC→ D.(AD→ -BM→ )+(BC→ -MC→ )
3.正方形ABCD的边长为1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，则a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分别等于 .
4.设a、b 为已知向量，若3x+4y=a，2x-3y=b ， 则 x= .
y= .
5. 已知 e1、e2 不共线，AB→ =2e1+ke2，CB→ =e1+3e2，C D→ =2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .
6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为 ( )
A.-b，-b-a，-a B. b，-a，b-a
C.-b，a，a-b D.-b，-a，a+b
7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→ = ，则P在 ( )
A.∠AOB的平分线所在直线上 B. 线段AB的中垂线上
C. AB边所在的直线上 D. AB边的中线上.
9.设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P
为任意点，求证：
PA1→ +PA2→ +PA3→ +…+PAn→ =nPO→ .
10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶
BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，
则 OP→ ，OQ→ .
11.P为△ABC所在平面内一点，PA→ +PB→ +PC→ =0 ，则P为△ABC的 ( )
A.重心 B.垂心 C. 内心 D.外心
12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF→ = (AB→
+DC→ ).
第30课 向量的坐标运算
【考点指津】
1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.
2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.
3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行(共线)的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.
【知识在线】
1. 若向量a的起点坐标为 (-2，1)，终点坐标为(2，-1)，则向量a的坐标为
2.若O为坐标原点，向量a=(-3，4)，则与a共线的单位向量为
3.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，则a+b与a-b的坐标分别为 ( )
A.(0，0)，(-2，4) B.(0，0)，(2，-4)
C.(-2，4)，(2，-4) D.(1，-1)，(-3，3)
4.若向量a=(x-2，3)，与向量b=(1，y+2)相等，则 ( )
A. x=I，y=3， B. x=3，y=1
C. x=1，y=-5 D. x=5，y=-1
5.已知A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M、N分别为DC、AB的中点.
(1) 求证四边形ABCD为平行四边形;
(2) 试判断AM→ 、CN→ 是否共线?为什么?
【讲练平台】
例1 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行?
分析 已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.
解 由已知a=(1，2)，b=(-3，2)， 得
a-3b=(10，-4)， ka+b=(k-3，2k+2).
因(ka+b)∥(a-3b)，
故10(2k+2)+4(k-3)=0.
得k=- .
点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标;其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.
向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.
例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.
分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d(x，y)的方程组，不难求得x、y.
简解 设向量d的坐标为(x，y)，由2a+(-b+ c)+4(c-a)+d=0，
可解得d=(-9，23).
点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.
例3 已知平面上三点P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.
分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.
简解 设S的坐标为(x，y).
(1)当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，
若PQ→ =RS→ ，则(3，-1)-(2，1)=(x+1，y-3)，
即 (1，-2)=(x+1，y-3)，得S点坐标为(0，1).
若PQ→ =SR→ ，则S点坐标为(-2，5).
(2)当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，
若PR→ =SQ→ ，则S点的坐标为(6，-3).
若PR→ =QS→ ，则S点的坐标为(0，1).
(3)当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，
若PS→ =RQ→ ，则S点的坐标为(6，-3).
若PS→ =QR→ ，则S点的坐标为(-2，5).
综上所述，S点坐标可以为(0，1)，(6，-3)，(-2，5).
点评 本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.
例4 向量PA→ =(k，12)，PB→ =(4，5)，PC→ =(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线.
分析 三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→ =λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.
解 AB→ =PB→ -PA→ =(4-k，-7)，BC→ = PC→ -PB→ =(6，k-5).
当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→ =λBC→ ，将坐标代入，得
4-k=6λ，且 -7=λ(k-5)，
故(4-k)(k-5)=-42.
解得k=11，或k=-2.
点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解(证)同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.
变题 求证：互不重合的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).
证明 必要性(略).
充分性 若(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，由A、B、C互不重合，得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一个不为零，不妨设x3-x1≠0.令x2-x1=λ(x3-x1)，若λ=0，则x2-x1=0，此时y2≠y1(否则A、B重合).而已知等式不成立，故λ≠0.于是(x3-x1)(y2-y1)=λ(x3-x1)(y3-y1).
因x3-x1≠0 ，故 (y2-y1)=λ(y3-y1).
于是(x2-x1，y2-y1)=λ(x3-x1，y3-y1)，即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 .
又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.
【知能集成】
基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.
基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.
基本思想：将向量等式转化成方程的思想;对几何图形的分类讨论思想.
【训练反馈】
1.若a=(2，3)，b=(4，y-1)，且a∥b，则y= ( )
A.6 B.5 C.7 D. 8
2.已知点B的坐标为(m，n)，AB→ 的坐标为(i，j)，则点A的坐标为 ( )
A.(m-i，n-j) B.(i-m，j-n)
C.(m+i，n+j) D.(m+n，i+j)
3.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x= .
4.已知a=(5，4)，b=(3，2)，则与2a-3b平行的单位向量为
5.有下列说法
① 已知向量PA→ =(x，y)，则A点坐标为(x，y);
② 位置不同的向量，其坐标有可能相同;
③ 已知i=(1，0)，j=(0，1)，a=(3，4)，a=3i-4j ;
④ 设a=(m，n)，b=(p，q)，则a=b的充要条件为m=p，且n=q.
其中正确的说法是 ( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是 ( )
A.a=(-1，2)，b=(0，5) B.a=(1，2)，b=(2，1)
C.a=(2，-1)b=(3，4) D.a=(-2，1)，b=(4，-2)
7.设a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则 ( )
A.p=4， q=1 B.p=1， q=-4 C.p=0 ， q=4 D.p=1， q=4
8.设i=(1，0)，j=(0，1)，在平行四边形ABCD中，AC→ =4i+2j，BD→ =2i+6j，则AB→ 的坐标为 .
9.已知3sinβ=sin(2α+β)，α≠kπ+ ，β≠kπ，k∈z，a=(2，tan(α+β))，b=(1，tanα)，求证：a∥b.
10.已知A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标(x，y).
11.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP→ =OA→ +tAB→ .
(1) 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动?
(2) 当t取何值时，点P在y轴上?
(3) OABP能否成为平行四边形?若能求出相应的t值;若不能，请说明理由.
第31课 平面向量的数量积
【考点指津】
1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
3. 掌握向量垂直的条件.
【知识在线】
1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a?b=-6，则a与b的夹角等于 ( )
A.150o B 120o C.60o D.30 o
2.若a=(-2，1)，b=(1，3)，则2a2-a?b= ( )
A，15 B.11. C.9 D.6
3.已知向量 i=(1，0)，j=(0，1)，则与向量2i+j垂直的一个向量为 ( )
A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j
4.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，且c⊥a，则C点坐标为
5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60o，∣ka-2b∣=13，求k的值
【讲练平台】
例1 (1)在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ?BC→
(2)若a=(3，-4)，b=(2，1)，试求(a-2b)?(2a+3b)
分析 (1)中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式
a?b=|a||b|cosθ求解.
(2)中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a?b，也可求a-2b与2a+3b的坐标，进而用(x1，y1)?(x2，y2)=x1x2+y1y2求解.
解(1) 在△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π-∠ABC，
∴AB→ ?BC→ =-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3× =-9.
(2)解法一 a-2b=(3，-4)-2(2，1)=(-1，-6)，
2a-3b=2(3，-4)+3(2，1)=(12，-5)，
(a-2b)?(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.
解法二 (a-2b)?(2a+3b)=2a2-a?b-6b2
=2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18.
点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.
值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，(1)中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.
从第(2)问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a?(b+c)=a?b+b?c，而(a?b)c≠a(b?c).
例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .
分析 要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ ?OC→ =0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→ =AO→ +OB→ 代换，于是只需证AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.
证明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+(BO→ +OC→ )2=OB→ 2+(CO→ +OA→ )2，整理得AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ ，即 OC→ ?(BO→ +OA→ )=0，
故 OC→ ?AB→ =0.所以 AB→ ⊥OC→ .
点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.
例3.设OA→ =a=( +1， -1)，OB→ =b=( ，3)，试求∠AOB及ΔAOB的面积.
分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a?b，进而求得∠AOB(即a与b的夹角)，在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sinθ求面积.
解 设∠AOB=θ，ΔAOB的面积为S，由已知得：
∣OA→ ∣=∣a∣= =2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，
∴cosθ= = = .∴θ= .
又S= ∣a∣∣b∣sinθ= ?2 =2 ，
即∠AOB= ，ΔAOB的面积为2 .
点评 向量的数量积公式a?b=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).
变题 设ΔABC的面积为S，AB→ =a，AC→ =b，求证S=
例4.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.
分析 要求夹角θ，必需求出cosθ;求cosθ需求出a?b与∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值).由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a?b的关系.
解 ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，
∴ (a+3b)?(7a-5b)=0，
(a-4b)?(7a-2b)=0.
即 7a2+16a?b-15b2=0，
7a2-30a?b+8b2=0.
两式相减，得 b2=2a?b.
故 a2=b2 ， 即 ∣a∣=∣b∣.
∴cosθ= = .
∴θ=60o ， a与b的夹角为60o .
点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a?b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.
在本题求解过程中注意，b2=2a?b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.
【知能集成】
基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.
基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.
基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.
【训练反馈】
1. 已知 =5，a与b的夹角的正切值为 ，a?b=12，则b的模为( )
A.4 B.3 C. D.
2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为( )
A.30o B.60o C.120o D.150o
3.已知a=(1，-2)，b=(5，8)，c=(2，3)，则a?(b?c)为 ( )
A.34 B.(34，-68) C .-68 D.(-34，68)
4.边长为 的正三角形ABC中，设AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，则a?b+b?c+c?a等于( )
A. -3 B. 0 C. 1 D. 3
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，当(a+2b)⊥(2a-b)时，实数x的值为 .
6.已知m=(-5，3)，n=(-1，2)，当(λm+n)⊥(2n+m)时，实数λ的值为 .
7.已知|a|=|b|=1，a与b夹角为90o，c=2a+3b，d=ka-4b，且c⊥d，则k=
8.已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则AB→ ?CD→ +AC→ ?DB→ +AD→ ?BC→ = .
9.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则a与b夹角的余弦值为 .
10.设两向量e1、e2满足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夹角为60o，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
11.设向量a=(cos23o，cos67o)，b=(cos68o，cos32o)，u=a+tb (t∈R).
(1) 求a?b;
(2) 求u的模的最小值.
12.设a=(1+cosα，sinα)， b=(1-cosβ，sinβ)， c=(1，0)， α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2= ，求sin 的值.
第32课 线段的定比分点、平移
【考点指津】
1. 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用.
2. 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式.
3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题.
【知识在线】
1.若P分AB→ 所成的比为 ，则A分BP→ 的比为 ( )
A. B.- C.- D.
2.设点P在线段AB的延长线上，P分AB→ 所成的比为λ，则 ( )
A.λ1
3.按向量a将点(2，3)平移到(0，1)，则按向量a将点(7，1)平移到点 ( )
A.(9，-3) B.(9，3) C.(5，-1) D.(-5，-3)
4.若函数y=f(1-2x)的图象，按向量a平移后，得到函数y=f(-2x)的图象，则向量a= .
5.设三个向量OA→ =(-1，2)，OB→ =(2，-4)，OC→ 的终点在同一条直线上(O为坐标原点).
(1) 若点C内分AB→ 所成的比为 ，求C点坐标;
(2) 若点C外分AB→ 所成的比为- ，求C点坐标.
【讲练平台】
例1 已知P(1，1)，A(2，3)，B(8，-3)，且C、D顺次为AB的三等分点(C靠近A)，求PC→ 和PD→ 的坐标.
分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC→ ，PD→ .
解 解法一 由题知，点C、D分AB所成的比分别为λ1= ，λ2=2 ，
设C(x，y)，则
即C(4，1)，同理可得D(6，-1).
故PC=(4，1)-(1，1)=(3，0)，PD=(6，-1)-(1，1)=(5，-2).
解法二 因A、B、C、D四点共线，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，
故PC→ =PA→ +AC→ =(2-1，3-1)+ (8-2，-3-3)=(3，0)，
PD→ =PA→ +AD→ =(2-1，3-1)+23 (8-2，-3-3)=(5，-2).
点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程(如横坐标关系式)，只须已知其中三个，可求第四个.对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形.
本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低.
例2 将函数 的图象按向量a平移后得到函数 的图形，求a和实数k.
分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得.
解
令 x′ = x- ，
y′=y- .
原函数解析式变形为y′=- ，
∴ a=(- - )， k=- .
点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.
面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简.
变题 通过平移变换，化简 (ad-bc≠o ， c≠o)，并作出图形.
提示： = ，
令
并记 =k≠0， 则原方程化简为 .
因此，原函数的图象按向量a= 平移后得 的图象，故其图象是以 为中心的，以x= 为渐近线的双曲线.
例3.将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.
分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一.就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+π)，y=2sin(2x-π)等等.因此，向量a不唯一.
要求∣a∣的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于∣a∣的目标函数.
解 向量a不唯一.平移后的图象对应解析式可以为y=2sin(2x+kπ)， k∈Z
考察原函数表达式 ，
可令 (k∈Z)
即 ，
∴ a=(- ，-1)， ( k∈Z)，
| a | (k∈Z).
∴ 当k=2 时，∣a∣取最小值，最小值为 .
点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一.本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力.
例4. 设A(1，1)，B(5，5)，且P在直线AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ?若能，求出P点坐标;若不能;说明理由.
分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需λ∈(0，1).为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于λ的方程，解出λ，检验λ∈(0，1)是否成立.
解 AB→ =(5，5)-(1，1)=(4，4)，
设P(x，y)，则AB→ =λAP→ =λ2 PB→ .
(4，4)=λ2(5-x，5-y)=λ(x-1，y-1)，
且
依据两个方程组的第一个方程，消去x，得
5λ2-λ(4+λ)=4，即λ2-λ-1=0，
∴ λ= .
数形结合知，在AB→ =λAP→ 时，要P落在线段AB的延长线上，则需λ∈(0，1)，所求两个λ的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上.
【知能集成】
基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式.
基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比.
基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算.②用基本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比较观点，确定平移公式.
【训练反馈】
1.点(4，3)关于点(5，-3)的对称点坐标是 ( )
A.(4，-3) B.(6，-9) C.( ，0) D.( 12 ，3)
2.点A(0，m)按向量a平移后得到点B(m，0)，则向量a的坐标是 ( )
A.(m ， m) B.(m ， -m) C.(-m ， m) D.(-m ， -m)
3. 按向量a可把点(2，0)平移到点(-1，2)，则点(-1，2)按向量a平移后得到的点是( )
A.(2，0) B.(-3，2) C.(2，4) D.(-4，4)
4.将函数 的图象，按向量a平移后得到的图象对应函数y=f(x)是奇函数，则a可以是 ( )
A. (- ，-4) B. (- ，4) C. ( ，4) D. (- ，-4)
5.已知点P(2，3)，分P1P2所成的比为2，且点P2(1，2)，则点P1的坐标为( )
A.(4，5) B.(0，1) C.(3，4) D.(5，6)
6.将函数y=x2+mx+n图象的顶点P按向量a平移到原点O，则a= .
7. 函数 的图象按向量a=(2，1)平移后得到函数 的图象.
8.已知A(2，2)，B(-3，4)，C(4，-1)，则ΔABC的重心坐标为 .
9.若∣P1P2∣=5 cm，点P在线段P1P2的反向延长线上，且∣P1P∣=1 cm，则P分P1P2所成的比为 .
10. 已知O为原点，m∈R且m≠0，OA=(m，2m)，OB=(2，2)，求点B关于直线OA的对称点C的坐标.
11. 已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =(1，2)平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一?若唯一，求出该函数的解析式;若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征.
12.已知A、B、C三点在一条直线上，且OA→ -3OB→ +2OC→ =0 ，求点A分BC→ 所成的比λ.
第33课 平面向量的应用
【考点指津】
1. 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题.
2. 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型.
3. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解.
4. 能结合实际意义，正确表述问题的解.
5. 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题.
【知识在线】
1.下列各个量：①物体的位移;②汽车的速度;③物体的质量;④某液体的温度.其中能称为向量的有 .
2.已知三个力F1=(1，3)，F2(-2，1)，F3=(x，y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= .
3.设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30o走3 km，该人行走的路程是 ，他的位移是 .
4.用向量方法证明勾股定理.
5.一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东.一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形(角度可用反三角函数表示).
【讲练平台】
例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度3km/h，
方向正东，风向北偏西30o，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.
略解：设水的速度为v1 ，风的速度v2，v1+v2=a，
易求得a的方向是北偏东 30o，a的大小为 3 km/h .
设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，则a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西60o，大小为3 km/h..
点评 这是一个与“知识在线”第5题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础.
四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略.每一次合成只相当于求解了一个简单题.
例2 已知O为ΔABC所在平面内一点，满足
|OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2=|OC→|2+|AB→|2.试证明O是ΔABC的垂心.
分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA→ 与BC→ 、OB→与CA→、OC→与AB→ 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难.
但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是ΔABC的垂心，只需证得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，联想向量的数量积，只需证OA→ ?BC→ =OB→?CA→=0.
|OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2 ，得
a2+(c-b)2=b2+(a-c)2 ， c?b=a?c ，即(b-a)?c=0.
OC→?AB→=0， 故 AB→⊥OC→.
同理 CA→⊥OB→，BC→ ⊥OA→ .
故O是ΔABC的垂心.
点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化.
例3.如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体(m1≠m2)，
另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：
(1) ∠AOB为定值;
(2) >2.
分析 依据题意，我们可以作出物体的受力图，
引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2问结论努力.
解(1)设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为
F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F1+F2+F=0.
如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得
F2cosβ+F1cos(π-α)=0，
F2sinβ+F1sin(π-α)+F=0.
即 m2cosβ-m1 cosα=0 ， ①
m2sinβ+m1 sinα=m. ②
在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sinα∶sinβ，将m1∶m2= sinα∶sinβ代入①，得
sinβcosβ= sinαcosα，即sin2β= sin2α.
∵m1≠m2 ，∴OA≠OB. ∴α≠β，2α+2β=180o.
∴α+β=90o， 即∠AOB=90o.
(2)由α+β=90o，得 cosβcosα=sinβsinα.
将①②平方相加，得m2=m12+m22 .
由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m2)2>0 ，得m2>2m1m2.
∴ >2.
点评向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为0，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解.本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为0得到.
【知能集成】
向量知识是一种基础性、工具性知识，在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中，我们应逐步增强阅读理解能力，数学建模、解模能力，和分析问题解决问题能力.
【训练反馈】
1. 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 ( )
A. s>|a| B. s
2. 当两人同提重|G|的书包时，用力都为|F|，夹角为θ，则|F|、|G|、θ之间的关系为|F| = |G|2cosθ2;当θ= 时，|F|取得最小值;当|F|=|G|时，θ= .
3. 一条河宽为d，水流速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船在静水中的速度为v1，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为 ( )
A.| v1| B.| v1|2+| v2|2 C.| v1|2-| v2|2 D.| v1|-| v2|
4.一艘船以4km/h的速度，沿着与水流方向成120o的方向航行，已知河水流速为2 km/h，该船若航行6 km，所须时间为 ( )
A.3 h B.23 h C.3 h D.2 h
5. 已知向量OA1→ =3i+2j，AnAn+1→ =2i+2j(n∈N+)，则OAn→= .
6. 已知A(k，12)，B(4，5)，C(10，k)，若点C在线段AB上，则k值等于 ( )
A.11 B.-2 C.-11或2 D.485 或252
7.已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，则下列推理不正确的是 ( )
A. 若a?b=b?c，则ΔABC为等腰三角形
B. 若a?b>0，则ΔABC为钝角三角形
C. 若a?b=0，则ΔABC为直角三角形
D. 若c?(a+b+c)=0，则ΔABC为正三角形
8.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时，风向是北偏东30o，风速是20 km/h.;水的流向是正东，流速为20 km/h.，若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 .
9.已知a=(sinα， sinα-cosα)，b=(cosα，0)，O为坐标原点，OP→=a+b，
则|OP→|= .
10.一个30o的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力?若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上静止不动的推力f′又如何表示?
11. 已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找一点C，使∠ACB=90o，若能，求出C点坐标;若不能，说明理由.
12. 已知O为坐标原点，OA→ =(3，0)，OB→ =( )，两个质点甲、乙分别从A、B两点同时出发，速度均为4km/h，且甲沿AO→方向运动，乙沿OB→方向运动.
(1) 甲乙两个质点之间的初始距离是多少?
(2) 用包含t的式子f(t)表示t小时后，两个质点之间的距离;
(3) 什么时候两个质点之间相距最近.
单元练习五 (平面向量)
(考试时间120分钟 总分150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 向量a=(1，-2)，向量a与b共线，且|b|=4|a|.则b= ( )
A.(-4，8) B.(-4，8)或(4，-8)
C.(4，-8) D.(8，4)或(4，8)
2. 已知a=(2，1)，b=(x，1)，且a+b与2a-b平行，则x等于 ( )
A.10 B.-10 C.2 D.-2
3.已知向量a和b满足|a|=1，|b|= ，a⊥(a-b).则a与b的夹角为 ( )
A.30o B.45o C.75o D.135o
4.设e1、e 2是两个不共线向量，若向量 a=3e1+5e2与向量b=me1-3e2共线，
则m的值等于 ( )
A.- 53 B.- 95 C.- 35 D.- 59
5.设□ABCD的对角线交于点O，AD→ =(3，7)，AB→ =(-2，1)，OB→ = ( )
A.( -52 ，-3) B.(52 ，3) C.(1，8) D.(12 ，4)
6.设a、b为两个非零向量，且a?b=0，那么下列四个等式①|a|=|b|;
②|a+b|=|a-b|;③a?(b+a)=0;④(a+b)2=a2+b2.
其中正确等式个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.将y=2x的图象 ( )
A.按向量(0，1)平移 B.按向量(0，-1)平移
C.按向量(1，0)平移 D.按向量(-1，0)平移
再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象.
8.a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)用a、b作基底可将c表示为c=pa+qb，则实数p、q的值为 ( )
A.p=4 q=1 B. p=1 q=4
C. p=0 q=4 D. p=1 q=0
9.将函数y=2sin2x的图象按向量a的方向平移得到函数y=2sin(2x+π3 )+1的图象，则向量a的坐标为 ( )
A.(-π3 ，1) B.(-π6 ，1) C.(π3 ，-1) D.(-π6 ，-1)
10.设平面上四个互异的点A、B、C、D，已知(DB→ +DC→ -2DA→ )?(AB→ -AC→ )=0.则ΔABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
11.将函数y=2x的图象按向量a平移后得到函数y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是(-3，0); ② a的坐标可以是(0，6);
③a的坐标可以是(6，0); ④ a的坐标可以有无数种情况.
其中真命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.设F1、F2是双曲线 x24 -y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→ ?PF2→ =0，则|PF1→ |?|PF2→ |的值为 ( )
A.2 B.22 C.4 D.8
二、填空题：每小题4分，共16分.
13.设线段P1P2的长为10cm，P在P1P2的延长线上，且P2P=20cm，则P分P1P2→ 所成的比为 .
14.已知向量a=(2 ，-2 )，b=(3 ，1)那么(a+b)?(a-b)的值是 .
15.若a=(2，3)，b=(-4，7)，a+c=0，则c在b方向上的投影为 .
16.若对n个向量 a1，a2，a3，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1 a1+k2a2+…+knan=0成立，则称a1，a2，…，an为“线性相关”.依此规定，能使a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)“线性相关”的实数k1，k2，k3 依次可以取 .
三、解答题
17.(本题满分12分)
如图，一艘船从点A出发以23 km/h的速度向垂直于对岸
的方向AD→ 行驶，同时河水的流速为2 km/h.求船实际航行
速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
18.(本题满分12分)
已知△OFQ的面积为S，且OF→ ? FQ→ =1 ，若12
19.(本题满分12分)
已知点H(-3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ，当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.
20. (本题满分12分)
已知向量OA→ =3i-4j，OB→ =6i-3j，OC→ =(5-m)i-(4+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.
(1)若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件;
(2)若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.
21.(本题满分12分)
已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120o.
(1)求证(a-b)⊥c;
(2)若│ka+b+c│>1(k∈R)，求k的取值范围.
22. (本题满分14分)
已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a+(x2-3)b，d=-ya+xb，如果a⊥b，c⊥d，且|c|≤10 .
(1)求x、y的函数关系式y=f(x)及定义域;
(2)(供部分考生选做)判断f(x)的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值.
