中考数学二轮专题复习：几何综合题。

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中考数学专题复习之十二几何综合题

几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法．

【范例讲析】：

1.⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．

2.如图，已知AB是⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连结AC.

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)若AD=3，AC=，求直径AB的长。

【闯关夺冠】

1.已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．

4.如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD．

（1）求证：AB2=AQAC：

（2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，

求证：PC=PQ．

延伸阅读

中考数学二轮复习：几何探索题巡视

二．几何探索题巡视

探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。

一、实验型探索题

例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△ABC中，AB＝AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。

图1

问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？

探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？

如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。

图2

（1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。

图3

（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。

（3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？

图4

（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）

图5

分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。

解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。

（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。

理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。

（3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。

（4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。

二、操作型探索题

例2.已知线段AC＝8，BD＝6。

（1）已知线段AC⊥BD于O（O不与A、B、C、D四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1＝_________，S2＝_________，S3＝_________；

图6

（2）如图6（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论；

（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。

分析：题（1）实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（2）是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。

解：（1）242424

（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下：

显然，

（3）所围成的封闭图形的面积仍为24。

三、观察猜想型探索题

例3.（山西省）如图7，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。

图7

（1）观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。

分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。

解：（1）BE＝DG，证明如下：

在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC＝CD，CE＝CG，

∴△BCE≌△DCG。故BE＝DG。

（2）将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG重合。

四、图形计数型探索题

例4.如图8，在图（1）中，互不重叠的三角形有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图（n）中互不重叠的三角形有_______个（用含n的代数式表示）。

图8

分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。

解：图（1）：1＋1×3＝4；图（2）：1＋2×3＝7；图（3）：1＋3×3＝10。

所以图（n）中有1＋3n个互不重叠的三角形，应填3n＋1。

五、其他类型探索题

例5.如图9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。

(1)(2)

图9

（1）在图9（1）中，判断能否在AB上确定一点E，使得AC2＝AEAB，并说明理由；

（2）在图9（2）中，在条件（1）的结论下，延长EC到P。连接PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由。

分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（1）是作出满足线段关系式的图形，题（2）是判断图形中的一些线段的相互关系。

解：（1）作法有多种，这里举一例。如图10，在⊙O上取点D，使＝，连接CD交AB于点E，则有AC2＝AEAB。连接BC，显然△ACE∽△ABC，则AB：AC＝AC：AE，故AC2＝AEAB。

图10图11

（2）如图11，过点B作⊙O的直径BF，连接CF、BC。可以证明∠PBC＋∠FBC＝90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切线。

中考数学二轮专题复习：找规律

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中考数学专题复习之十四找规律

1.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个.

2.已知：，，，…，

观察上面的计算过程，寻找规律并计算．

3.（中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。

4.（杭州）给出下列命题：

命题1.点(1,1)是直线y=x与双曲线y=的一个交点;

命题2.点(2,4)是直线y=2x与双曲线y=的一个交点;

命题3.点(3,9)是直线y=3x与双曲线y=的一个交点;

…….

（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);

（2）证明你猜想的命题n是正确的.

5.（连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出34＋342＋343＋…＋34n＝________．

中考数学二轮复习：几何计算题选讲

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八．几何计算题选讲
几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。
一、三种常用解题方法举例
例1．如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.
解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT=AB＝5
BC=OT=5,AC==
∵BC是⊙O切线，∴BC2=CPCA.
∴PC=，∴AP=CA-CP=.
∵PE∥BC∴，PE=×5=4.
说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.
解法二：（代数法）
∵PE∥BC，∴.∴.
设：PE=x，则AE=2x，EB=10–2x.
连结PB.∵AB是直径，∴∠APB=900.
在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE.
∴.∴EP=2EB，即x=2（10–2x）.
解得x=4.∴PE=4.
说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.
解法三：（三角法）
连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α
在Rt△APB中，AP=10COSα，
在Rt△APE中，PE=APsinα,∴PE=10sinαCOSα.
在Rt△ABC中,BC=5,AC=.∴sinα=,
COSα=.∴PE=10×=4.
说明：在几何计算中，必须注意以下几点：
（1）注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.
（2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.
（3）注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.
二.其他题型举例
例2.如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.
分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.
解：连结OE，∵CE切⊙O于E，∴OE⊥CF∴△EFO∽△BFC，∴，又∵OE=AB=BC，∴EF=FB
设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a
∵FE切⊙O于E∴FE2=FAFB，∴x2=（2x–2a）2x
解得x=a，∴EF=a.
例3．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=
（1）求证：EF是⊙O1的切线；
（2）求线段CF的长；
（3）求tan∠DAE的值.
分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知
EF是⊙O1的切线.
（2）由已知条件DE=2，AE=，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=EDEC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF=x，则FE=x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2=x2+102，解得x=.即CF=.
（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.
解：（1）连结O1A，
∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF
∴EF是⊙O1的切线..
（2）∵DE=2，AE=，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线
∴EA2=EDEC，∴EC=10
由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF=x，则FE=x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2=x2+102，解得x=.即CF=.
（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）
作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△AO1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥AO1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG=从而tan∠DAE=.
解法二：（等角转化）
连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE，.从而tan∠ACD=，即tan∠DAE=.
说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.
（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.
例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.
（1）求⊙A的半径；
（2）求CF的长和△AFC的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，∴（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3.
（2）A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴CE=
由CECF=CD2，得CF=.又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴，即S△AFC=CFAG=.
例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.
（1）求∠B的度数；
（2）求CE的长.
分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.
解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-4cosB）2-4=0.∴cosB=，或cosB=-（舍去）.
又∵∠B为锐角，∴∠B=600.
（2）点A作AH⊥BC，垂足为H.S△ABC=BCAH=BCABsin600=，解得AB=6
在Rt△ABH中，BH=ABcos600=6×=3，AH=ABsin600=6×，∴CH=BC-BH=4-3=1.在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴AC=（负值舍去）.∴AC=.连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC.又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC=.
例6.已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+r2–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长.
分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.
解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC，，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+r2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；ACBC=r2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.
（2）CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD.∵∠CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，.∴CD=.
说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.
例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值.
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线.
（2）设CE=6a,AE=2x,则ED=5a，EB=3x.
由相交弦定理，得2x3x=5a6a∴x=a.连结AD.由△BCE∽△DAE，得.连结BD.由△BED∽△CEA，得.
∴BD=.由勾股定理得BC=，AD=.
∴.两边平方，整理得，∴（负值舍去）.
∴AD=.∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB=tan∠BAD=.
解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.