圆的内接四边形。

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圆的内接四边形1.知识结构
2.重点、难点分析
重点:圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理,同时也是转移角的常用方法.
难点:定理的灵活运用.使用性质定理时应注重观察图形、分析图形,不要弄错四边形的
外角和它的内对角的相互对应位置.
3.教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例),组织学生自主观察、分析和探究;
(2)在教学中以“发现——证实——应用”为主线,以“非凡——一般”的探究方法,引导学生发现与证实的思想方法.
一、教学目标:
(一)知识目标
(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念;
(2)把握圆内接四边形的概念及其性质定理;
(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证实.
(二)能力目标
(1)通过圆的非凡内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究,培养学生观察、分析、概括的能力;
(2)通过定理的证实探讨过程,促进学生的发散思维;
(3)通过定理的应用,进一步提高学生的应用能力和思维能力.
(三)情感目标
(1)充分发挥学生的主体作用,激发学生的探究的热情;
(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
二、教学重点和难点:
重点:圆内接四边形的性质定理.
难点:定理的灵活运用.
三、教学过程设计
(一)基本概念
假如一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形,而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆.
(二)创设研究情境
问题:一般的圆内接四边形具有什么性质?
研究:圆的非凡内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)
教师组织、引导学生研究.
1、边的性质:
(1)矩形:对边相等,对边平行.
(2)正方形:对边相等,对边平行,邻边相等.
(3)等腰梯形:两腰相等,有一组对边平行.
归纳:圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.
2、角的关系
猜想:圆内接四边形的对角互补.
(三)证实猜想
教师引导学生证实.(参看思路)
思路1:在矩形中,外接圆心即为它的对角线的中点,∠A与∠B均为平角∠BOD的一半,在一般的圆内接四边形中,只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连,能得到什么结果呢?
∠A=,∠C=
∴∠A∠C=
思路2:在正方形中,外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各顶点相连,与各边所成的角均方45°的角.在一般的圆内接四边形中,把圆心与各顶点相连,能得到什么结果呢?
这时有2(αβγδ)=360°
所以αβγδ=180°
而βγ=∠A,αδ=∠C,
∴∠A∠C=180°,可得,圆内接四边形的对角互补.
(四)性质及应用
定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内对角.
(对A层学生应知,逆定理成立,4点共圆)
例已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.
求证:CE∥DF.
(分析与证实学生自主完成)
说明:①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法.对于这道例题,连结AB以后,可以构造出两个圆内接四边形,然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决.
②教师在课堂教学中,善于调动学生对例题、重点习题的剖析,多进行一点一题多变,一题多解的练习,培养学生发散思维,勇于创新.
巩固练习:教材P98中1、2.
(五)小结
知识:圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质.
思想方法:①“非凡——一般”研究问题的方法;②构造圆内接四边形;③一题多解,一题多变.
(六)作业:教材P101中15、16、17题;教材P102中B组5题.
探究活动
问题:已知,点A在⊙O上,⊙A与⊙O相交于B、C两点,点D是⊙A上(不与B、C重合)一点,直线BD与⊙O相交于点E.试问:当点D在⊙A上运动时,能否判定△CED的外形?说明理由.
分析要判定△CED的外形,当运动到BD经过⊙A的圆心A时,此时点E与点A重合,可以发现△CED是等腰三角形,从而猜想对一般情况是否也能成立,进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变,△CED的外形保持不变.
提示:分两种情况
(1)当点D在⊙O外时.证实△CDE∽△CAD’即可
(2)当点D在⊙O内时.利用圆内接四边形外角等于内对角可证实△CDE∽△CAD’即可
说明:(1)本题应用同弧所对的圆周角相等,及圆内接四边形外角等于内对角,改变圆周角顶点位置,进行角的转换;
(2)本题为图形外形判定型的探索题,结论的探索同样运用图形运动思想,证实结论将一般位置转化成非凡位置,同时获得添辅助线的方法,这也是添辅助线的常用的思想方法;
(3)一般地,有时对几种不同位置图形探索得到相同结论,但不同位置的证实方法不同时,也要进行分类讨论.本题中,假如将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时,
△CDE仍然是等腰三角形.

相关知识

四边形级

课案（学生用）
平行四边形性质及判定
(复习课)
【学习目标】
1．知识技能
熟练掌握平行四边形的定义、平行四边形的性质及平行四边形的判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算．
2．数学思考
（1）通过学习懂得如何正确使用性质、判定，发展逻辑思维能力．
（2）通过学习过程中题目的变式训练，发展一题多变的能力，增强分析问题、解决问题的能力．
3．解决问题
（1）通过归纳、整理平行四边形的性质及判定，感受数学思考过程的条理性，发展收集、整理、总结、概括等方面能力．
（2）通过题型的变换，感受学数学的乐趣．
4．情感态度
（1）在整理知识点的过程中培养独立思考习惯，提高归纳总结能力．
（2）经历合作探究的过程，培养我们合作交流意识和探索精神．
【学习重难点】
1．教学重点：理解和掌握平行四边形的性质及判定定理，并能熟练运用．
2．教学难点：平行四边形的性质与判定的综合运用，以及几何推理方法的应用．

课前延伸
1．回顾平行四边形的性质及判定．
2．在ABCD中，，则____°
3．已知ABCD的周长为30cm，，则____cm．
4．ABCD中，AC、BD相交于点O，，则的周长为_______，的面积为_______，ABCD的面积为_______．
5．已知四边形ABCD中，AB∥DC，则可以添加条件____________________，使四边形ABCD是平行四边形．
6．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A．AB平行且等于CDB．
C．D．（O为AC、BD的交点）
课内探究
一．学生自主探究题1：如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，．
（1）求证：．
（2）请连结，试判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由．

二．学生自主探究题2：如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，OE=OF，OA=OC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

聪明的你一定能把本题结论改为开放性问题，并作出正确解答．

三．小组合作探究题：如图，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
猜想：
证明：

四．当场训练反馈题：如图，D、E在三角形ABC的边BC上，F、G分别在AC、AB边上，DF与EG互相平分，且DF∥AB，EG∥AC．
求证：BD=DE=EC．

课后提升
如图，在ABCD中，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点．
求证：四边形ENFM是平行四边形．

平行四边形的识别

22.2平行四边形的识别
教学目标
1．在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生合情推理的能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力。
2．在理解平行四边形的简单识别方法的活动中，让学生获得成功的喜悦，体验到数学活动充满着探索和创造，感受到数学推理的严谨性。
3．培养学生独立思考的习惯。
教学重点与难点
重点：探索平行四边形的识别方法。
难点：理解平行四边形的识别方法与应用。
教学准备方格纸、直尺、图钉、剪刀。
教学过程
一、提问。
1．平行四边形对边（），对角（），对角线（）。
2.()是平行四边形。
二、探索，概括。
1．探索。
(1)按照下面的步骤，在力格纸上画一个有一组对边平行且相等的四边形。
步骤1：画一线段AB。
步骤2：平移线段AD到BC。
步骤3：连结AB、DC，得到四边形ABCD，其中AD∥BC，AD=BC。
(2)如图，沿四边形的边剪下四边形，再在一张纸上沿四边形的边画出一个四边形。把两个四边形重合放在一起，重合的点分别记为A、B、C、D。通过连结对角线确定对角线的交点O，用一枚图钉穿过点O，把其中一个四边形绕点O旋转，观察旋转180°后的四边形与原来的四边形是否重合，重复旋转几次，看看是否得到同样的结果。
根据上述的过程，能否断定这个四边形是平行四边形?
2．概括。
我们可以看到旋转后的四边形与原来的四边形重合，即C点与A点重合，B点与D点重合。这样，我们就可以得到∠_BAC=∠ACD，从而AB∥DC，又AD∥BC，根据平行四边形的定义，可知道四边形ABCD是平行四边形。由此可以得到：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(一步一步的引导学生得出结论，然后让学生用自己的语言叙述。)
三、应用举例。
例4如图，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形。
四、巩固练习。
如图，在平行四边形ABCD中，已知M和N分别是AB、CD上的中点，试说明四边形BMDN也是平行四边形。
五、拓展延伸。
在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形?
六、看谁做的既快又正确?
七、课堂小结。
这节课你有什么收获?学到了什么?还有什么疑问吗?
八、布置作业。
补充习题

中考数学四边形与平行四边形复习教案

一、中考要求：
1．探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念；掌握多边形的内角和定理与外角和定理；了解n边形的对角线的条数公式。
2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
3．掌握平行四边形的定义、性质和判定方法(从边、角、对角线三个方面);知道平行四边形是中心对称图形，具备不稳定性，
4．会用平行四边形的性质与判定解决简单的问题。
二、知识要点：
1．一般地，由n条不在同一直线上的线段连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
2．如果多边形的各边都，各内角也都，则称这个多边形为正多边形。
3．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的。
4．n边形的内角和为。正n边形的一个内角是。
5．任意多边形的外角和为。正n边形的一个外角是。
6．从n边形的一个顶点可引条对角线，n边形一共有条对角线。
7．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个角时，这几个多边形就能拼成一个平面图形。两种图形的平面镶嵌：正三角形可以与边长相等的
镶嵌。
8．平行四边形的定义
两组对边分别的四边形叫做平行四边形。
9．平行四边形的性质
(1)边：
(2)角：
(3)对角线：
(4)对称性：
10．两条平行线间的距离：
11．平行四边形的识别
从边考虑是平行四边形。
从角考虑：(4)两组对角的四边形是平行四边形。
说说此判定的证明方法：
从对角线考虑(5)对角线的四边形是平行四边形。
三、典例剖析：
例1.如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．
求证：四边形GEHF是平行四边形．

例2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是
边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列
结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；
④S△AMB=S△ABC.其中正确的结论是（只填序号）.
例3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断
①OA＝OC②AB＝CD③∠BAD＝∠DCB④AD∥BC
请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题：
①构造一个真命题：；
②构造一个假命题：，
举反例加以说明.
例4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点A出发沿AB向点B移动，（点P与点A、B不重合），作PD//BC交AC于点D，在DC上取点E，以DE、DP为邻边作平行四边形PFED，使点F到PD的距离，连接BF，设（1）△ABC的面积等于
（2）设△PBF的面积为，求与的函数关系，并求的最大值；
（3）当BP=BF时，求的值

随堂演练：
1．图中是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，
则图中∠ABC的度数是.
2．如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下列的正多边形中，
不能镶嵌成一个平面的是（）．
A．正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
3.一个多边形内角和是，则这个多边形是（）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
4．在平行四边形中，点，，，和，，，分别是和的五等分点，点，和，分别是和的三等分点，已知四边形的面积为1，则平行四边形的面积为（）
A．B．C．D．
5．边长为的正六边形的面积等于（）
A．B．C．D．
6．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为
7．下列四种边长均为的正多边形中，能与边长为的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（）
①正方形②正五边形③正六边形④正八边形
A．4种B．3种C．2种D．1种
8.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为.

9.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CEBD于E，则．
10.如图是对称中心为点的正八边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处）把这个正八边形的面积等分．那么的所有可能的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个

11.问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积，
△EFC的面积，△ADE的面积．
探究发现
（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．
14．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．

九年级数学复习作业二十
1．如图下面对图形的判断正确的是()
A．非对称图形B．既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．是轴对称图形，非中心对称图形D．是中心对称图形，非轴对称图形
2．如图所示，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到菱形EFGH，
这个由矩形和菱形所组成的图形()
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．没有对称性

3．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）
A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形
4．A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()
A．3种B．4种C．5种D．6种
5．平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线把长边分成两条线段之比是()
A．3:2B．3:1C．4:2D．4:1
6．如果平行四边形的一条边长是4，一条对角线长是10，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是()
A．6＜m＜14B．1＜m＜9C．3＜m＜7D．2＜m＜18
7．三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使
点C落在ABC内(如图)，若∠1=20°，则∠2的度数为。

8．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直三角形沿方向平移得到．如果，，，则图中阴影部分面积为．
9．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是．

10.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，
且四边形ABCD的面积为8，则BE=
11．如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，
则ΔCEF的周长为

12．如图△ABC中，∠BAC=90°将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACP重合，如果AP=2，那么△APP的面积为。

13．如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上且AE＝CF．
（1）求证：DE＝BF；（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
14．将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分(如图1中的阴影部分)我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形。
(1)以下6个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有。(分别用图形的代号A、B、C、D、E填空)。

A、(二瓣图形)B、(三瓣图形)C、(四瓣图形)D、(五瓣图形)E、(六瓣图形)
(2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据上题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性(轴对称或中心对称)之间的规律。
(3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形的对称性：
①十二瓣图形是；②十五瓣图形是
15．在□ABCD中，，以为直径作，
（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；
（2）当取何值时，与相切．

16．如图，△ABC中，AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,点E在边AC上，以CE、CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF与点G。连接BG、DE。
（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由。
（2）求证：△BCG≌△DCE.

17．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1）当点E在线段BC上运动时，求△BEF和△CEG的周长之和．
（2）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？