圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)教学目标:
(1)理解圆的旋转不变性,把握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;
(2)培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力;
(3)通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育,渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系),激发学生的求知欲.
教学重点、难点:
重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.
难点:从感性到理性的熟悉,发现、归纳能力的培养.
教学活动设计
教学内容设计
(一)圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆,对折、观察得出:圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.
引出圆心角和弦心距的概念:
圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角.
弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
应用电脑动画(实验)观察,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力,又可以充分调动学生的学习的积极性.
定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.
(三)剖析定理得出推论
问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(学生分小组讨论、交流)
举出反例:如图,∠AOB=∠COD,但ABCD,.(强化对定理的理解,培养学生的思维批判性.)
问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(学生分小组讨论、交流,老师与学生交流对话),归纳出推论.
推论:在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)
(四)应用、巩固和反思
例1、如图,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,求证:AB=CD.
解(略,教材87页)
例题拓展:当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢?
(让学生自主思考,并使图形运动起来,让学生在运动中学习和研究几何问题)
练习:(教材88页练习)
1、已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空:.
(1)假如AB=CD,那么______,______,______;
(2)假如OE=OG,那么______,______,______;
(3)假如=,那么______,______,______;
(4)假如∠AOB=∠COD,那么______,______,______.
(目的:巩固基础知识)
2、(教材88页练习3题,略.定理的简单应用)
(五)小结:学生自己归纳,老师指导.
知识:①圆的对称性和旋转不变性;②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系,它反映出在圆中相等量的灵活转换.
能力和方法:①增加了证实角相等、线段相等以及弧相等的新方法;②实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力.
(六)作业:教材P99中1(1)、2、3.
第二课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)
教学目标:
(1)理解1°弧的概念,能熟练地应用本节知识进行有关计算;
(2)进一步培养学生自学能力,应用能力和计算能力;
(3)通过例题向学生渗透数形结合能力.
教学重点、难点:
重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用.
难点:理解1°弧的概念.
教学活动设计:
(一)阅读理解
学生独立阅读P89中,1°的弧的概念,使学生从感性的熟悉到理性的熟悉.
理解:
(1)把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.
(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.
(二)概念巩固
1、判定题:
(1)等弧的度数相等();
(2)圆心角相等所对应的弧相等();
(3)两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等()
2、解得题:
(1)度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么?
(2)5°的圆心角对着多少度的弧?5°的弧对着多少度的圆心角?
(3)n°的圆心角对着多少度的弧?n°的弧对着多少度的圆心角?
(三)疑难解得
对于①弧相等;②弧的长度相等;③弧的度数相等;④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.学生在学习中有疑难的老师要及时解得.
非凡是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”,一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等,而不是“角与弧”相等,因为角与弧是两个不同的概念,不能比较和度量.
(四)应用、归纳、反思
例1、如图,在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的,圆的半径为2cm,求AB的长.
学生自主分析,写出解题过程,交流指导.
解:(参看教材P89)
注重:学生往往重视计算结果,而忽略推理和解题步骤的严密性,教师要非凡关注和指导.
反思:向学生渗透数形结合的重要的数学思想.所谓数形结合思想就是数与形互相转化,图形带有直观性,数则有精确性,两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题.
例2、如图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,弦CE∥AB,=40°,求∠BOD的度数.
题目从“分析——解得”让学生积极主动进行,此时教师只需强调解题要规范,书写要准确即可.
(解答参考教材P90)
题目拓展:
1、已知:如上图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,弦CE∥AB,求证:=.
2、已知:如上图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,弦=,求证:CE∥AB.
目的:是培养学生发散思维能力,由学生自己分析证实思路,引导学生思考出不同的方法,最后交流、概括、归纳方法.
(五)小节(略)
(六)作业:教材P100中4、5题.
探究活动
我们已经研究过:已知点O是∠BPD的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,则AB=CD;现在,若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,请你结合图形,添加一个适当的条件,使OP为∠BPD的平分线.
解(略)
①AB=CD;
②=.(等等)
扩展阅读
《弧弦圆心角之间的关系》教案设计
《弧弦圆心角之间的关系》教案设计
教学目标：
知识与能力：
（1）了解圆心角的概念。
（2）掌握弧弦圆心角的定理和推论。
（3）能灵活应用弧弦圆心角定理及推论解决问题。
过程与方法：
（1）复习旋转的知识，得到圆心角的概念，然后用圆心角和旋转探索圆心角定理，最后应用它解决一些问题。
（2）在教学过程中，学生与同伴交流，提高学生的合作交流意识。
情感态度价值观：
经历探索弧弦圆心角定理及其结论的过程，提高学生的数学能力。
重点：弧弦圆心角定理及推论的应用。
难点：定理及其推论的探索与应用。
教学环节：
一、导语
1、判断圆是中心对称图形吗？对称中心在哪里？
二、探究
（一）圆心角的定义
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
（二）弧、弦、圆心角定理
2、（1）将∠AOB=∠A′OB′,将∠A′OB′旋转到∠AOB的位置，它能否与∠AOB完全重合？
（2）如能重合，你会发现哪些等量关系？为什么？
（3）如果两个角在两个等圆中，能否得到相似的结论？
综合上述所得，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系定理。
（4）分析定理，去掉“在同圆或等圆中”条件，行吗？
3、定理拓展：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？
综上所得，在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，其中有一组量相等，其余各组量也分别相等。
（三）定理应用
1.判断下列说法是否正确。
（1）相等的圆心角所对的弧相等。（）
（2）相等的弧所对的弦相等。（）
（3）相等的弦所对的弧相等。（）
（4）弦相等所对的圆心角相等。（）
（5）等弧所对的圆心角相等。（）
《弧弦圆心角之间的关系》教学设计
2、如图，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么，。
（2）如果弧AB=弧CD，那么，。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么，。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
（四）典例分析
例1如图，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,
《弧弦圆心角之间的关系》教学设计
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
证明：∵AB=AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例2、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
《弧弦圆心角之间的关系》教学设计
证明：∵BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
（五）小结归纳
1、圆心角的概念。
2、在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧三个量之间的关系。
（六）作业设计
作业：复习巩固作业和综合应用为全体学生做，拓广探索为成绩中上游学生做。
板书设计：
课题圆心角、弧、弦之间的关系
关系定理应用
1、2、
圆周角和圆心角的关系
为了促进学生掌握上课知识点，老师需要提前准备教案，大家在仔细规划教案课件。将教案课件的工作计划制定好，未来工作才会更有干劲！你们会写一段优秀的教案课件吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“圆周角和圆心角的关系”，仅供参考，欢迎大家阅读。
《圆周角和圆心角的关系》说课稿
南昌市育新学校骆文娟
下面我从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、设计说明四个方面来谈谈我是如何分析教材和设计教学过程的。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本课是在学习了圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是圆这章的重点内容之一。
2、依学情定目标
我们面对的是已具备一定知识储备和一定认知能力的个性鲜明的学生，他们有较强的自我发展意识，根据新课程标准的学段目标要求，结合学生实际情况制订以下三个方面的教学目标：
1）知识目标：了解圆周角和圆心角的关系，有机渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。
2）能力目标：引导学生能主动地通过：实验、观察、猜想、验证“圆周角和圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力、实践能力和创新精神，从而提高数学素养。
3）情感目标：创设生活情境激发学生对数学的“好奇心、求知欲”，营造“民主、和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养学生以严谨求实的态度思考数学。
3、教学重点、难点
重点：经历探索“圆周角和圆心角的关系”的过程，了解“圆周角和圆心角的关系”
难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。
二、教法、学法分析
数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法和学法是密不可分的。本课采用以探究式教学法为主，发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合，以学生的活动为主线，突出重点突破难点，发展学生的数学素养。注重数学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想；注重学生的个性差异，因材施教，分层教学；为了转变以往学生只是认真听讲、机械记忆、练习巩固的被动学习方式，以探究式学习和有意义接受式学习为指导，引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知、发展能力，充分发挥学生的主体作用。教师运用多元的评价对学生适时、有度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”。
三、教学过程分析
1、创设情境，导入新课
新课标指出“对数学的认识应处处着眼于人的发展和现实生活之间的密切联系”。根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情境，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望。
1）欣赏一段精彩的足球视频。
2）学生依据自已在体育课上踢球的经验，思考：球员射中球门的难易程度与什么有关?
设计意图：通过设计足球场景，联系中国足球现状，既能对学生进行爱国主义教育，又让学生在两种思维的碰撞中带着悬念进入新课的学习。
2、读书指导，初步认知
1）阅读教材，了解圆周角的概念，根据对概念的理解画圆周角，一学生板演。
设计意图：充分利用教材，学好基础知识、基本概念，培养学生的读书能力和理解力，体现“学生是学习的主人”发挥学生的主体作用，掌握圆周角的定义。
2）巩固练习，看谁最棒。（运用多媒体）
判别下列各图形中的角是不是圆周角。
设计意图：巩固圆周角概念，明确圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，角的两边分别与圆还有一个交点。
3、分组讨论，解决问题
荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”数学教学模式强调：以学生的独立学习为基础的小组合作，全班交流，教师启导。本活动的设计让学生有自主探索、合作交流的时间和空间，使学生经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，体会由特殊到一般的思想方法。在学生分组探索“圆周角和圆心角的关系”的过程中教师深入课堂对学生适时的点拨、指导。师生互动，彼此形成一个“学习共同体”。
1）动手操作，发现规律
请同学们动手画出⊙O中弧AB所对的圆周角和圆心角。各小组总结出一共画了几种不同的情况？小组派代表板演。
设计意图：通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生独立思考、合作交流的能力，渗透化归思想，初步认识圆周角和圆心角的这三种位置关系。
特别说明：若学生不能准确地归纳出圆周角和圆心角的这三种位置关系，教师可利用几何画板动态演示，让学生在教师的启发下达成这一教学目标。
量一量弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，看看有什么发现？
设计意图：如果直接给出“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”这一结论，学生会感到困惑，而让学生通过动手实践，对圆周角和圆心角度数的观察，自已发现规律，会让学生体验到成功的喜悦，为下面圆周角定理的证明打好桥铺好路。若在测量时没有发现这样的规律也不要紧，教师要对学生的实践过程而不只是对结果进行评价，教师仍可借助几何画板进行说明。
2）团结合作，验证猜想
有了实践的支撑，必须有理论的证明。学生按小组分组合作，自行探讨证明的方法。教师在巡视中若发现某一小组的活动出现了偏差，就深入其中进行引导，大声的进行点拔，让其它学生也能有所启发。学生在充分的合作交流后，已小有收获，于是分小组进行汇报，其它小组进行评价。在汇报的过程中，可能有的组只汇报了一种情况的证明过程，那么别的组就会依据自已的结果进行补充，从而让学生认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。
特别说明：由于“圆心在圆周角的一边上”这种情况，学生完全可以自己通过交流完成，这一步是第二、第三种情况证明的基础，如果对第二、第三种情况没有一个组想到证明的思路，教师就可利用几何画板进行启发，第二、第三种情况是否可转化成第一种情况解决，使学生认识到转化的条件是：加以角的顶点为端点的直径为辅助线。
4、关注差异，分层教学
设计意图：理解巩固“圆周角和圆心角的关系”和它的应用．满足不同层次学生需求，让不同的人在数学上得到不同的发展
A层：一起试试看（运用多媒体）
1.求圆Ｏ中角X的度数?
设计意图：即可巩固圆周角定理，又可培养学生的竞争意识，以适应现代生活的需要。同时，对回答积极准确的同学及时表扬，激发学习的积极性。
B层：再帮一个忙
2.如图，A、B是圆O上的两点，且∠AOB=100°，C是圆O上不与A、B重合的任意一点，求∠ACB的度数。
设计意图：因圆中有关点、线、角的位置关系复杂，学生往往对已知条件分析不够全面，会忽视某个条件，某种特殊情况，导致漏解。采用小组讨论的方式进行，并及时进行小组评价。
C层：请你帮帮我
如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，且∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
设计意图：让不同的人在数学上获得不同的发展，使一部分学生通过练习能灵活运用圆周角定理进行几何题的证明，规范步骤，提高利用定理解决问题的能力。
5、课堂反思，师生小结
学生谈收获和感受，教师小结。（提示学生从三方面入手：①学到了什么知识；②掌握了哪些数学方法；③体会到了哪些数学思想。）（运用多媒体）
设计意图：使学生体验交流的快乐，感受成功的喜悦。使学生对本节内容有一个更系统、更深刻的认识，提高学生自主建构知识网络、解决问题的能力，达到触类旁通。
6、学以致用，作业适量（附：板书设计）
圆周角和圆心角的关系
圆周角概念：探究活动
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
数学思想
四、设计说明
本教学设计突出以下五点：
1.设计足球场景，数学联系生活；
2.加强教材利用，培养读书能力；
3.强化合作意识，创设沟通氛围；
4.电脑辅助教学，课堂轻松简捷；
5.注重因材施教，合理分层教学。
《圆心角》集体备课教案
《圆心角》集体备课教案
教学目标：
知识目标1．经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程;．
2．理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理．
3．理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质．
能力目标体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法,进一步培养学生观察、猜
想、证明及应用新知解决问题的能力。
情感目标用生活的实例激发学生学习数学的浓厚兴趣，体验数学与生活的密切联
系，坚定学好数学的信心，进一步培养学生尊重知识、尊重科学，热爱
生活的积极心态。
教学重点：圆心角定理
教学难点：根据圆的旋转不变性推导出圆心角定理
教学过程：
一、设疑引新
你可曾想过：水杯的盖子为什么做成圆形？利用了圆的什么性质？
前面我们已经探究了圆的轴对称性，利用这一性质我们得到了垂径定理及逆定理，它帮助解决了圆的许多问题，那么圆还有哪些性质呢？
二、探究新知
1、圆绕圆心旋转180°后,仍与原来的圆重合——圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合——圆的旋转不变性。
集体备课3.1《圆心角》解决课前疑问。
3、顶点在圆心的角叫圆心角。如图，集体备课3.1《圆心角》就是一个圆心角．
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
4、探究圆心角定理：
集体备课3.1《圆心角》(1)实验操作：设集体备课3.1《圆心角》，把∠COD连同集体备课3.1《圆心角》、弦CD
绕圆心O旋转，使OA与OC重合，结果发现OB与OD重合，
弦AB与弦CD重合，集体备课3.1《圆心角》和集体备课3.1《圆心角》重合．
(2)让学生猜想结论，并证明。
(3)同圆变等圆，结论成立。
5、圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等(补充）。
几何表述：∵∠AOB=∠COD∴集体备课3.1《圆心角》=集体备课3.1《圆心角》，AB=CD，OE=OF
分析定理：.去掉“在同圆或等圆中”定理还成立吗？
反例：两个同心圆，显然弦AB与弦CD不相等，集体备课3.1《圆心角》与集体备课3.1《圆心角》不相等。
集体备课3.1《圆心角》提醒学生注意：定理的成立必须有大前提“在同圆或等圆中”．
6、应用新知：
例已知：如图,∠1=∠2.求证：集体备课3.1《圆心角》
【变式】已知：如图,∠1=∠2.
求证：AC=BD.
7、再探新知：你能将⊙Ｏ二等分吗？
用直尺和圆规你能把⊙Ｏ四等分吗？
你能将任意一个圆六等分吗？
若按刚才这种方法把一个圆分成360份，则每一份的圆心角的度数是1，因为相等的圆心角所对的弧相等，所以每一份的圆心角所对的弧也相等。
我们把1的圆心角所对的弧叫做1的弧.。弧的度数等于它所对的圆心角的度数．
集体备课3.1《圆心角》写法：若∠COD=80°，则CD的度数是80°
注：不可写成集体备课3.1《圆心角》=∠COD=80°,但可写成集体备课3.1《圆心角》=m∠COD=80°
8、巩固新知：如图：已知在⊙O中，∠AOB=45°,∠OBC=35°，
求弧AB的度数和弧BC的度数。
9、拓展提高：
集体备课3.1《圆心角》三、课堂小结
通过本节课的学习，你对圆有哪些新的认识？
1．圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性．
2．、圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等
3、弧的度数：
1的圆心角所对的弧叫做1的弧。
弧的度数等于它所对的圆心角的度数．
四、作业布置
作业本3.3.1节
