九年级上册数学第22章一元二次方程导学案。

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第14--15课时《一元二次方程》小结与复习

学习

目标1、一元二次方程的相关概念；

2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；

3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；

4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；

5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；

学习重点运用知识、技能解决问题。

学习难点解题分析能力的提高．

教学互动设计

一、知识梳理

1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac，当⊿0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。

5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）

当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1x2=。

若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2==-p，x1x2=q。

6、一元二次方程的应用。

二、基本知识训练

1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【C】

A．B．C．D．

2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。

3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【B】

A．1B．﹣1C．0D．无法确定

4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。

5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【A】

A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=16

6、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【B】

A．B．C．D．

7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【D】

A．x2+2x-4=0B．x2-4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x-5=0

8、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则-。

三、典型例题分析

【例1】用适当的方法解下列方程：

⑴x2﹣4x+2=0⑵⑶

解：⑴x=；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=。

【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式的值．

解：∵==

=

又∵x2+2x-8＝0，

∴x1＝-4，x2＝2，

但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式==

【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.

解：（1）∵原方程有两个实数根，

∴⊿=9-4(m-1)≥0，

解之得：.

（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2=m-1，

∴2×(-3)+(m-1)+10=0

解之得：m=-3.

【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；

（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

解：（1）设x2＋mx＋n＝0(n≠0)的两根为x1，x2．

∴x1＋x2＝－m，x1x2＝n．∴＋＝＝－，＝．

∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．

（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，

∴a＋b＝15，ab＝－5．

∴＋＝＝＝＝－47．

②当a＝b时，＋＝1＋1＝2．

∴＋＝－47或2．

（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝．

∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0．

∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．

【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元。

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。

解：（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程：

解这个方程，得，

因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，

符合题目要求的是%

答：平均每次下调的百分率是20%。

（2）小华选择方案一购买更优惠。

理由：方案一所需费用为：（元）

方案二所需费用为：（元）

∵1440015000，

∴小华选择方案一购买更优惠。

四、经典考题训练

1、下列方程，是一元二次方程的是①④⑤。

①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③，④x2=0，⑤

2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=-2。

3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为-2，则实数k的值为【C】

A．1B．C．2D．

4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【B】

A、1B、C、1或D、0.5

5、方程的解是．

6、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如x2=1等．

7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．

8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）=-6．

9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1．

10、用适当的方法解下列方程：

⑴x2-2x-3=0⑵x(x-2)+x-2=0⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8⑷x2-3x-1=0

解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷

11、先化简，再求值：

，其中是方程的根．

解：原式=

===

∵是方程的根，∴

∴原式==

12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根

∴(k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-160

∴k且k≠2

13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求的值.

解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，

∴====-．

14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．

（1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．

∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,

∴原方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵；∴，

∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0,

解得：m1=-3，m2=1．

当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：．

当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：

15、阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．

解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，

解得y1=6，y2=－2．

由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．

由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，

b2－4ac=1－4×2=－70，此时方程无解．

所以原方程的解为x1=－3，x2=2．

16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．

根据题意可得，x（50﹣2x）=300，

解之得：x1=10，x2=15，

当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，

故x1=10（不合题意舍去），

答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．

17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，∴x=80，答：该校共购买了80棵树苗．

一元二次方程单元测试题（一）

一、填空题（每题2分，共计12分）

1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.

2.已知关于x的二次方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，那么k=__________________.

3.若分式的值为0，则x的值是________________.

4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为___________________.

5.如果关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________________.

6.已知关于x的方程x2-（a＋b)x＋ab-2=0.x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：

（1）x1≠x2;（2）x1x2＞ab;(3)x12＋x22＞a2＋b2.

则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号）

二、选择题（每题5分，共计20分）

7.方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积等于（）

A.-18B.18C.-3D.3

8.以1，-2为根的一元二次方程是（）

A.x2+x-2=0B.x2-x+2=0C.x2-x-2=0D.x2+x+2=0

9.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A.9B.11C.13D.11或13

10.某钢厂今年1月份生产某种钢2000吨，3月份生产这种钢2420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（）

A.2000（1+2x）=2420B.2000（1+x2）=2420

C.2000（1+x）2=2420D.2420（1-x）2=2000

三、解答题

11.不解方程判断根的情况.（每题3分，共计9分）

（1）x2-2x-4=0;（2）2x2+4x+2=0;（3）x2-x+2=0.

12.解下列方程（每题5分，共计15分）

（1）3x2+x-2=0;（2）4（x-3）2=25;（3）x2+6x-10=0(配方法).

13.（10分）已知x1，x2是方程3x2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x12x2+x22x1;（2）+.

14.列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）

（1）在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？

（2）△ABC中，∠B=90°,AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2？②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2？

15.（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

一元二次方程单元测试题（二）

一、选择题

1、一元二次方程的解是（）

A．B．C．D．

２、方程的解是（）

A．，B．，C．，D．，

３、如果2是方程的一个根，那么c的值是()

A．B．－4C．2D．－2

４、已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（）

A．B．C．D．

５、某商品原价100元，连续两次涨价后售价为120元，下面所列方程正确的是（）

A．B．;CD．

６、下列方程中，有两个不等实数根的是（）

A．B．C．D．

７、已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是（）

A．没有实数根;B．可能有且只有一个实数根;C．有两个相等的实数根;D．有两个不相等的实数根

８、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）

A.＞B.＞且C.＜D.且

９、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（）

A．1B．2C．1或2D．0

11、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．B．

C．D．

12、已知代数式的值为9，则的值为

A．18B．12C．9D．7

13、如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是（）．

A.2B.－2C.±2D.±4

14、5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（）

15、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（）

A.甲B.乙C.丙D.乙或丙

二、填空题

16、关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为

17、若为方程的两个实数根，则___

18、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是．

19、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程为.

20、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．

21、方程的解是.

22、若x＝1是一元二次方程x2＋x＋c＝0的一个解，则c2＝．

23、阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系，.=根据该材料填空：已知，是方程的两实数根，则的值为_____

24、关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是．

25、一元二次方程的解是．

26、已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是.

28、已知一元二次方程的一个根为，则

30、一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是．

31、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．

32、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是（填上一个符合条件的方程即可）．

三、解答题

33、（1）解方程：（配方法）

34、解方程：（1）．（2）

35在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

36、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.

（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；

（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？

37、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．

⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?

⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?

38、某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧的侧内墙保留3m宽的空地.其它三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?

39如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图17②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．

４０、本题满分8分．

已知关于的一元二次方程2--2=0………①．

a)若=-1是这个方程的一个根，求的值和方程①的另一根；

b)对于任意的实数，判断方程①的根的情况，并说明理由．

精选阅读

一元二次方程复习导学案

老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家应该开始写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“一元二次方程复习导学案”，仅供您在工作和学习中参考。

《一元二次方程复习》导学案

时间：12.29

1、复习一元二次方程，一元二次方程的解的概念；

2、复习4种方法解简单的一元二次方程；

3、会建立一元二次方程的模型解决简单的实际问题。

[学习过程]

一、回顾知识点

1、一元二次方程具有三个显著特点，它们是①_________________；②_________________；③_________________。

2、一元二次方程的一般形式是_______________________________。

3、一元二次方程的解法有____________、____________、____________、____________。

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为△=b2-4ac。

①当△＞0时，方程有__________；②当△=0时，方程有__________；③当△＜0时，方程有__________。

5.一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下

关系：，

二巩固练习

一、填空题：

1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④+x2=1中，是一元一次方程的是_____。

2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。

3、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。

4、关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。

5、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________；______________。

6、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。

7、解方程5（x-）2=2(x-)最适当的方法是_____________。二、填空题：（每题3分，共24分）

8．一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为；

9.方程的解为

10．已知关于x一元二次方程有一个根为1，则

11．当代数式的值等于7时，代数式的值是；

12．关于实数根（注：填“有”或“没有”）。

13．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两

位数为；

14．已知一元二次方程的一个根为，则．

15.阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下

关系：，．根据该材料填空：已知，是方程的两

实数根，则的值为______．

二、选择题：（每题3分，共30分）

1、关于x的方程是一元二次方程，则（）

A、a＞0B、a≠0C、a＝0D、a≥0

2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）

A、B、C、D、

3．方程的根是（）

A、B、C、D、

4．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）

A、B、C、D、

5．关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是()

A、有两个不相等实数根B、没有实数根

C、有两个相等的实数根D、不能确定

6．已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是()

A、1B、0C、0或1D、0或-1

7．为执行“两免一补”政策，某地区2008年投入教育经费2500万元，预计2010年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（）

Ａ、Ｂ、

Ｃ、Ｄ、

8.已知、是方程的两个根，则代数式的值（）

A、37B、26C、13D、10

9．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是（）

A、8B、10C、8或10D、不能确定

10．一元二次方程化为一般形式为（）

A、B、C、D、

三、解答题：（共46分）

19、解方程（每题4分，共16分）

（1）（2）

22、已知a、b、c均为实数，且，求方程

的根。（8分）

23．在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，

每件盈利40元。为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。

经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套。要想平均每天在销售吉祥物上盈利

1200元，那么每套应降价多少？（10分）

24．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几来，通过拆迁旧房，植草。

栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图）（12分）

（1）根据图中所提供的信息，回答下列的问题：2003年的绿地面积为______公顷，比2002年增加了________

公顷。在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加最多的是___________年。

(2)为了满足城市发展的需要,计划到2005年使城区绿地总面积达到72.6公顷,试求这两年(2003～2005年)

绿地面积的年平均增长率.

一元二次方程

每个老师不可缺少的课件是教案课件，大家在仔细设想教案课件了。教案课件工作计划写好了之后，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写一段适合教案课件的范文吗？下面是小编帮大家编辑的《一元二次方程》，仅供参考，大家一起来看看吧。

第二十二章一元二次方程
教材内容
本单元教学的主要内容：
1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.
2.本单元在教材中的地位和作用：
教学目标
1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。
2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
教学重点、难点
重点：
1．一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。
难点：
1.一元二次方程及其有关概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用
课时安排
本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）
22．1一元二次方程1课时
22．2降次7课时
22．3实际问题与一元二次方程3课时
教学活动、习题课、小结
22.1一元二次方程
教学目的
1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．
2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．
3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．
教学重点、难点
重点：一元二次方程的定义．
难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
教学过程
复习提问
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新课
1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）
学过的几类方程是
没学过的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化为：x2+5x-150=0．
从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．
【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
课堂练习P271、2题
归纳总结
1．方程分为两大类：
判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．
2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．
布置作业：习题22.11、2题．
达标测试
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是
5.方程4x2=3x-+1的二次项是,一次项是,常数项是
课后反思：

22.2解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例1解方程x2-4=0．
解：先移项，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
练习：P281、2
归纳总结
1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作业：习题22.14、6题
达标测试
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解为
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程无实根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是
A.不论c为何值,方程均有实数根B.方程的根是
C.当c≥0时,方程可化为:
D.当c=0时,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
课后反思

一元二次方程学案

第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程
出示目标
1.了解一元二次方程的概念.应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的有关概念.
预习导学
自学指导阅读教材第1至4页，并完成预习内容.
问题1如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为100-2x，宽为50-2x.得方程(100-2x)(50-2x)=3600，
整理得4x2-300x+1400=0.化简，得x2-75x+350=0.①
问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为28.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛1场，所以全部比赛共_____场.列方程_____=28.化简整理得x2-x-56=0.②
知识探究
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？1个
(2)它们最高次数分别是几次？2次
方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是二次的整式方程.
自学反馈
1.一元二次方程的概念.
2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.
合作探究
活动1小组讨论
例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：2x2-13x+11=0；2，-13，11.
将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.
例2判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1-ｘ2=0；(2)2(x2-1)=3y；(3)2ｘ2-3x-1=0；
(4)=0；(5)(x+3)2=(x-3)2；(6)9x2=5-4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断.
例3下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？-2，3.
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
直接将x值代入方程，检验方程两边是否相等.
活动2跟踪训练
1.下列各未知数的值是方程3x2+x-2=0的解的是(B)
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
2.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1，则m的值是6.
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)5x2-1=4x；(2)4x2=81；
(3)4x(x+2)=25；(4)(3x-2)(x+1)=8x-3.
解：(1)5x2-4x-1=0；5，-4，-1；
(2)4x2-81=0；4，0，-81；
(3)4x2+8x-25=0；4，8，-25；
(4)3x2-7x+1=0；3，-7，1.
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：(1)4x2=25；4x2-25=0；(2)x(x-2)=100；x2-2x-100=0；
(3)x=(1-x)2；x2-3x+1=0.
5.求证：关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
证明：∵二次项系数a=m2-8m+17=m2-8m+16+1=(m-4)2+10.∴二次项系数恒不等于零.∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
第5题可用配方法说明二次项系数不为零.
活动3课堂小结
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)特别强调a≠0.
3.使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
当堂训练
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.